Mit Zahlen spielen Fachwissenschaftliches Seminar Prof. Dr. R. Hochmuth Referentinnen: Nina Fiethen, Christiane Grundkötter und Tanja Przyklenk Universität Kassel WiSe 2005/ 2006

Gliederung Regeln und Muster - Spielereien mit Ziffern Stellenwertsysteme Ursprung, Idee, Umwandlung und Rechnen Spielereien für den Alltag

Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Erläuterung des Themas: Innermathematische Entdeckungen mathematische Muster erkennen und mit Zahlen spielen Eigenaktive Durchdringung vertrauter Kenntnisse über Zahlen

Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern ANNA- Zahlen Finde den Fehler: 9449 7272 6116 -4994 -2727 -1661 4455 4545 4455 Wie wäre die Aufgabe richtig? Was fällt auf?

Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Definition von ANNA- Zahlen: Es sind vierstellige Zahlen „Zu je zwei verschiedenen Ziffern lassen sich genau zwei ANNA- Zahlen bilden“ Aufgabe: Versuche durch das Berechnen von weiteren Differenzen von ANNA - Zahlen noch zwei andere Ergebnisse herauszufinden! Dividiere jedes Ergebnis durch 891!

Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Erläuterung an Hand der Stellenwerttafel, mit dem Beispiel 3443: T H Z E ●●● ●●●● +1000 - 100 + 1 - 10 900 - 9 ______ 900 ______ - 9 ______ 891

Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Weitere Zahlenmuster: NANA- Zahlen 5454 - 4545 909 AABB- Zahlen 3322 - 2233 1089

Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Muster bei der Addition Löse folgende Aufgaben: 45678 56789 123456 345678 +41976 +41976 +530865 +530865 87654 98765 654321 876543 Welches Muster kannst du entdecken?

Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern „Warum funktioniert das?“

Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Regeln zur Multiplikation Beispiel, 5·8: 1.Regel 50 Setze hinter die kleinere Ziffer eine 0, Ziehe die größere Zahl von 10 ab und multipliziere den Rest mit der kleineren Zahl, das Ergebnis wird nun vom Zehnfachen der kleineren Zahl abgezogen. 50 - (5· ) (10-8) =40

Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Algebraische Formeln Zur 1. Regel: a·b = a·10 - (a · (10 - b) ) = a∙10 – (a∙10 – a ∙ b) = a∙10 - a∙10 + a∙b = a∙b

Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern 8 5 3 Addiere die beiden Ziffern schriftlich und notiere nur die Einerziffer vom Ergebnis, Multipliziere die jeweiligen Reste, die beim Subtrahieren der Ziffern mit 10 herauskommen und schreibe wie folgt das Ergebnis neben die vorhergehende Rechnung. Sollte bei der Multiplikation eine Zahl mit zwei Ziffern herauskommen, so addiere die erste Ziffer zu der bereits aufgeschriebenen. 8.2 5.5 40

Regeln und Muster – Spielereien mit Ziffern Algebraische Formeln Zur 2. Regel: a·b = 10·(a+b-10)+(10-a) ·(10-b) = 10·a+10b-100+(100 - 10a -10b +a∙b) = 10·a+10b-100+100 - 10a -10b +a∙b = a·b

Muster bei der Multiplikation 77∙13 77∙26 77∙52 77 1540 3850 231 462 154 1001 2002 4004 Dadurch, dass man einen der beiden ursprünglichen Faktoren verdoppelt, verdreifacht, …wird auch das Ergebnis verdoppelt, verdreifacht. 77∙39 2370 693 3003 77∙38 2310 616 2926 77739

Andere Muster 111∙111 = 12321 1111∙1111 = 1234321 11111∙11111 = 123454321 111111∙111111 = 12345654321 Hier kann man das Ergebnis von vorne nach hinten und andersrum lesen.

Spielereien mit Zahlen „Immer 1089“ Wir suchen uns eine dreistellige Zahl, deren Ziffern nicht alle gleich sind. Differenz der Umkehrzahl bilden Dazu die Umkehrzahl des Ergebnisses addieren Nullen berücksichtigen

Spielereien mit Zahlen 625 634 912 -526 -436 -219 099 198 693 +990 +891 +396 1089 1089 1089

Spielereien mit Zahlen Begründung: Im ersten Schritt kommen bei der Differenz nur Zahlen in Frage, bei denen die Zehnerziffer, sowie die Summe der Einer- und Hunderter Ziffer jeweils 9 betragen. (099,198,297,…,891) Im zweiten Schritt entsteht in der Zehnerspalte ein Übertrag, der zu dem Ergebnis 1089 führt.

Spielereien mit Zahlen 912 -219 Zehnerziffer, sowie 693 Summe der Einer- und +396 Hunderterziffer ergibt 9 1089 Übertrag in der Zehnerspalte 1

Ursprung des Ziffernrechnens Die griechische Mathematik (3.Jh.v.Chr.) nutze kein Stellenwertsystem sondern ein alphabetisches Ziffernsystem

Aus Müller, Steinbring, Wittmann: „Arithmetik als Prozess“ S. 24

Welche Zahl verbirgt sich hinter diesen Buchstaben? y = 700 p = 80 h = 8 788 yph

Welche Zahl verbirgt sich hinter diesen Buchstaben? ´asld ´a = 1.000 s = 200 l = 30 d = 4 1234 Ein Apostroph vor einem Buchstaben bedeutet: mal 1.000

Die Idee der Stellenwertsysteme Die Anzahl dieser Objekte abzuzählen erweist sich als schwierig. Eine Strichliste ist hierbei sinnvoll. ///////////////////////////

Die Idee der Stellenwertsysteme Es ist übersichtlicher die Objekte zu bündeln. Z.B. in Fünfer-päckchen. //// //// //// //// //// /// = 28 Striche

Die Idee der Stellenwertsysteme Nun kann man je 5 Bündel zu einem großen Bündel mit 5∙5 = 52 = 25 zusammenfassen. //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// //// /// 2∙52 +1∙5 +3 =58 Dieses Bündeln ist die Idee des Stellenwertsystems

Die Idee der Stellenwertsysteme „Die Anzahl g der Objekte pro Bündel heißt Basis. Unser Stellenwertsystem hat die Basis 10.“ 1547 =1∙1000 +5∙100 +4∙10 +7 =1∙103 + 5∙102 + 4∙101 + 7∙100 T H Z E 1 5 4 7

Die Idee der Stellenwertsysteme Im 5er-System ist die Basis 5. Der mögliche Rest bei der Division durch g ist 0, 1, 2, 3, 4. 58 = 2∙52+1∙51+3∙10= 213(5) 53 52 51 10 2 1 3

Die Idee der Stellenwertsysteme Wichtig: Die jeweilige Basis wird in Klammern als Index hinzugefügt (außer im 10er-System) Ziffernweise lesen, sonst würde das zu einer Verwechslung mit dem 10er-System führen

Die Idee der Stellenwertsysteme Ausmessen Wir wollen nun das Gewicht 58 = 213(5) auf dieser Waage darstellen.

Die Idee der Stellenwertsysteme Beginnend mit dem größten Gewicht Nächst kleinere Bis hin zum kleinsten 2∙25 + 1∙5 + 3∙1 = 58 = 213(5) 58 = 2∙52+1∙5+3 = 213(5)

Umwandeln in verschiedene Systeme Was bedeutet 125? 125 = 12 · 10 + 5 12 = 1 · 10 + 2 1 = 0 · 10 + 1

Umwandeln in verschiedene Systeme Wie stelle ich die Zahl 350 im 6er System dar? 350 = 58 · 6 + 2 58 = 9 · 6 + 4 9 = 1 · 6 + 3 1 = 0 · 6 + 1 350(10) = 1342(6)

Stelle 205 im 7er System dar 205(10) = 412(7) 205 = 29 · 7 + 2 29 = 4 · 7 + 1 4 = 0 · 7 + 4

Umwandeln mit dem Horner-Schema Was ist 21303(5) im 10er System? 2 1 3 0 3 10 55 290 1450 ·5 2 11 58 290 1453 21303(5) = 1453(10)

2 1 3 0 3 denn: (2·5 ( ( +1) ·5+3)· 5+0)· 5+3 Horner-Schema 2 1 3 0 3 21303(5) = 1453(10) 10 55 290 1450 ·5 2 11 58 290 1453 denn: (2·5 ( ( +1) ·5+3)· 5+0)· 5+3 =((2·5² +1·5+3)·5+0)·5+3 =(2·5³+1·5²+3·5+0)·5+3 = 1453(10) =2·54+1·5³+3·5²+0·5+3 =2·54+1·5³+3·5²+0·5+3

Umwandeln in verschiedene Systeme Was ist 21443(5) im 10er System? 2 · 54 + 1 · 53 + 4 · 52 + 4 · 51 + 3 · 50 = 2·625 + 1·125 + 4·25 + 4·5 + 3·1 = 1250 + 125 + 100 + 20 + 3 = 1498 21443(5) = 1498(10)

. Rechnen im 5er System 322 Zur Erinnerung: + 43 1 1 420 + 43 Zur Erinnerung: 5(10) schreibt man als 10(5) 6(10) schreibt man als 11(5) 1 1 420 Zur Kontrolle: 322(5) = 3·5² + 2·5 + 2·1 = 87(10) . 43(5) = 4·5 + 3·1 = 23(10) 420(5) = 4·5² + 2·5 = 110(10)

Das 1x1 wird wieder anspruchsvoll Rechnen im 5er System Das 1x1 wird wieder anspruchsvoll • 1 2 3 4 10 13 22 100 Zur Erinnerung: 5(10) schreibt man als 10(5) 10(10) schreibt man als 20(5) 6(10) schreibt man als 11(5)

Rechnen im 5er System • 1 2 3 4 10 11 13 20 14 22 30 31 40 100

Warum piepsen Ladenkassen? 4 9 0 2 0 3 0 1 4 5 6 3 7 Produkt- nummer Herkunfts-land Prüfziffer Hersteller Die Prüfziffer wird so gewählt, dass die Prüfsumme ein Vielfaches von 10 ergibt.

Berechnen der Prüfsumme: 4 9 0 2 0 3 0 1 4 5 6 3 7 4 0 0 0 4 6 7 9 2 3 1 5 3 4•1 + 9•3 + 0•1 + 2•3 + 0•1 + 3•3 + 0•1 + 1•3 + 4•1 + 5•3 + 6•1 + 3•3 + 7•1 =90

Fehlende Ziffer wird mit 3 multipliziert. Welche Ziffer passt? EAN: 40017_6015520 1 Prüfsumme: 47 (4+0+0+3+7+x·3+6+1+15+5+6) Fehlende Ziffer wird mit 3 multipliziert. Prüfsumme :50

Welche Ziffer ist falsch? 2 EAN: 5097748693624 Prüfsumme: 114 (5+0+9+21+7+12+8+18+9+9+6+6+4) Prüfsumme: 110 (5+0+9+21+7+12+8+18+9+9+6+6+0·1) oder Prüfsumme: 120 (5+2·3+9+21+7+12+8+18+9+9+6+6+0)

Werden alle Fehler von der Kasse erkannt? Wird eine Ziffer falsch gelesen, so verändert sich die Prüfsumme um eine Zahl (1-9) oder um das Dreifache einer Zahl (1-9). Die Prüfsumme ergibt dann nicht mehr ein Vielfaches von 10. => Fehler wird erkannt

Nicht jeder Fehler wird von der Kasse erkannt Das Vertauschen von zwei Ziffern mit gleichen Multiplikatoren wird nicht erkannt. Fehler die sich zu Vielfachen von 10 ergänzen, werden von der Ladenkasse nicht erkannt.

Spielereien im Alltag Aus Müller, Steinbring, Wittmann: „ „Arithmetik als Prozess“ “ S. 195

Spielereien im Alltag

Erklärung: = 1 = 2 = 4 = 8 Karten Karten Karten Bleistift = 1 (1) Fahrrad = 6 (2,3) Dia = 11 (1,2,4) Briefkasten = 2 (2) Bücher = 7 (1,2,3) Zeitung = 12 (3.4) Hammer = 3 (1, 2) Sanduhr = 8 (4) Auge = 13 (1,3,4) Satellit = 4 (4) Maus = 9 (1,4) Peperoni = 14 (2,3,4) Stern = 5 (1,3) Bild =10 (2,4) Herz = 15 (1,2,3,4)