Arithmetik als Prozess Stellenwertsysteme Teil II Christian Becker Fachwissenschaftliches Seminar für Lehrämter Grundschule: Arithmetik als Prozess FB17.210 WS 08/09 Prof. Dr. Werner Bley

Vorstellung der Themen für Stellenwertsysteme Teil II 3.1.5 Anwendungen a.) Zauberkarten b.) Spiel: „NIM“ 3.1.6 Systembrüche a.) Stellenwerttafel für gebrochene Zahlen wie entstehen Nachkommastellen b.) Bruchrechnung / Division in anderen Systemen c.) Die Wiederholung hinter dem Komma / Die Periode

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN Eine große Karte mit 3 x 5 Symbolen Der Zauberer errät das Gedachte

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN Karte 1 Karte 2 Karte 3 Karte 4

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN Wie funktioniert dieser Trick ? Wichtig sind eigentlich die Zahlen auf der Großen Karte, die nur der Zauberer kennt: Das sind die „Zuordnungsnummer“, die nun wichtig werden.

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN Auf den vier Auswahlkarten befinden sich unterschiedliche Anzahlen der Ziffer „0“: Die für die Lösung wichtig sind. 00 0000 00000000

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN 0 + 00 + 0000 + 00000000 = 15 Man zählt also die Anzahl der Ziffern „0“ auf den einzelnen Karten zusammen und sucht mit dieser Zahl das Symbol auf der Lösungskarte. ( Die nur der Zauberer kennt )

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN Was hat der Trick mit Stellenwertsystemen zu tun ? Genauer betrachtet geht es hier um das Zweiersystem. Die Anzahlen der Ziffer „0“ stellt die ausgerechnete Zahl im Zehnersystem, der Zweierpotenz da. Was meine ich damit: 15 = (1 x 2^0) + (1 x 2^1 ) + ( 1 x 2² ) + ( 1 x 2³ ) 1 2 4 8 Diese Zahlen stehen auch auf den Karten in Form der Anzahl der Ziffer „0“ 1 2 4 8

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN Ich bilde also durch Zweierpotenzen die Zahl 15, da ich das Symbol des Herzens auf Karte 1: 1x habe ( 1x 2^0 ) 1 x 1 Karte 2: 1x habe ( 1x 2^1) 1 x 2 Karte 3: 1x habe ( 1x 2² ) 1 x 4 Karte 4: 1x habe ( 1x 2³ ) 1 x 8 1 + 2 + 4 + 8 = 15 Und jetzt sieht man schon anhand der fett markierten Zahlen: 1111(2) = 15 So kann ich anhand der zutreffenden Karten die Zehnerzahl errechnen, weil die zutreffenden Karten mir die Positionen im Zweiersystem aufzeigen.

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN Frage: Wenn ich jetzt eine große Karte mit 48 verschiedenen Motiven habe, wie viele Fragekarten brauche ich und wie viele Symbole sind auf jeweils einer Fragekarte aufgezeichnet ? Am vorherigen Beispiel waren es 15 Motive und vier Fragekarten mit je acht Symbolen. Ich weiß, dass ich mit Zweierpotenzen alle realen Zahlen bilden kann. Ich weiß, dass ich mit der höchsten vorhandenen Potenz 2³ maximal die Zahl 15 bilden kann. ( 8 + 4 + 2 + 1 ) Das bedeutet ich brauche - um 48 Motive darzustellen ( um die Zahl 48 zu bilden ) mehr Potenzen. 2^4 = 16 ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 ) reicht nicht 2^5 = 32 ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 reicht. Das bedeutet ich brauche mindestens sechs 2er Potenzen um die Zahl 48 zu bilden

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN Dies würde also so aussehen: Was man aber beachten muss: Die Reihenfolge der Potenzen muss geändert werden, eigentlich steht die größte Potenz vorne und die kleinste hinten. Die Zahl 48 würde ich also im Zweiersystem: 110000 (2) schreiben. Da mir die Anzahl der Potenzen ( also in diesem Fall ^5 immer die Anzahl der Fragekarten angeben weiß ich, dass ich insgesamt sechs Fragekarten benötige. Wie viel Symbole müssen aber nun pro Karte abgebildet sein, damit das System weiter funktioniert ?

3.1.5 Anwendungen: ZAUBERKARTEN Gehen wir kurz zurück auf die 15er Karte vom Anfang. Hier waren pro Fragekarte 8 Symbole abgebildet. Und hier gibt es auch eine Regel. Die letzte Zweierpotenz wird ausgerechnet und diese Zahl gibt mir vor, wie viele Symbole auf einer Fragekarte abgebildet sein müssen. Im Fall von 48 Motiven und sechs Fragekarten bedeutet das: Die letzte Potenz war 2^5, ausgerechnet bedeutet das 32 und somit müssen pro Karte 32 Motive abgebildet sein. Warum solltet ihr das wissen ? Wenn ihr wollt könnt ihr Euch später ein eigenes Zauberspiel erstellen, egal ob mit Symbolen oder Ziffer oder anderen Dingen, der Aufbau muss aber bekannt sein, damit es funktioniert.

3.1.5 Anwendungen: „NIM“ - Spiel für zwei Personen - Gespielt wird mit Spielsteinen - Spieler ziehen abwechselnd - Es darf immer nur von einem Haufen genommen werden - Wer den letzten Stein nimmt, gewinnt Wer es mal zu Hause nachspielen will: http://www.connect-ed.de/~ernstgro/Nimmweg13.html

3.1.5 Anwendungen: „NIM“ Wie funktioniert´s ? Anfangskonstellation: 3er - 4er - 5er Haufen ( Kann aber auch anders gewählt werden ) Das Spiel ist berechenbar - somit kann man nie verlieren. Was hat das mit Stellenwertsystemen zu tun ? Das Zweiersystem hilft einem zu gewinnen. Wenn man selbst keinen Fehler macht - ist der Gegner machtlos. Der Trick:

3.1.5 Anwendungen: „NIM“ Jeder Spielposition / Haufen wird eine Kennzahl zugeordnet: 1.) Anzahl der Steine pro Haufe ins Zweiersystem übersetzen 3 = 11 4 = 100 5 = 101 010 Wenn in einer Spalte eine gerade Anzahl von „1“ steht, schreibt man eine „0“, ungerade bleibt „1“ Kennzahl der Position

3.1.5 Anwendungen: „NIM“ Der Trick dabei ist: Wenn jemand eine Kennzahl ungleich „0“ hat fängt er an und versucht während des Spiels immer die Kennzahl ungleich „0“ zu belassen. Hat jmd. die Kennzahl gleich „0“ sollte er den Gegner anfangen lassen, damit die Kennzahl wieder ungleich „0“ wird.

3.1.5 Anwendungen: „NIM“ Wir sind in der Mathematik, also müssen wir auch irgendwie das mathematisch Ausdrücken können und somit gilt folgende allgemeine Formel: K ungleich 0 = U K gleich 0 = G K = Kennzahl U = unsichere Position ( Verlierer ) G = sichere Position ( Gewinner )

3.1.5 Anwendungen: „NIM“ Kommen wir zurück zum Beispiel, damit die allg. Formel nochmal erklären kann. Ausgangssituation: 3 = 11 1 = 1 4 = 100 4 = 100 5 = 101 5 = 101 010 000 Im Moment befinde ich mich Jetzt befinde ich mich in einer in einer unsicheren Position. sicheren Position. Egal welchen Deswegen beginne ich und bringe Zug mein Gegner jetzt macht mich in eine sichere Position. er wird sich immer in eine Also: Kennzahl muss gleich 0 sein. Unsichere Position stellen weil: Kennzahl ungleich 0 wird.

3.1.5 Anwendungen: „NIM“ Zug 2 Gegner Zug 3 Ich Zug 4 Gegner 1 = 1 1 = 1 1 = 1 4 = 100 4 = 100 2 = 10 5 = 101 3 = 11 3 = 11 000 110 00 Ich: Situation S Ich: Situation U Ich: Situation S Zug 5 Ich Zug 6 Gegner Zug 7 Ich usw.. 2 = 10 0 = 0 0 = 0 1 = 1 1 = 1 0 = 0 010 110 00 Ich: Situation U Ich: Situation S Ich: Situation U

3.1.5 Anwendungen: „NIM“ Was hat das mit Stellenwertsystemen zu tun ? Weil man für das Spiel die Anzahl der Plättchen, pro Haufen, in´s Zweiersystem umwandeln muss um die Kennzahl zu erhalten, welche Vorgibt wer Anfangen sollte, damit man selbst immer als Sieger den Platz verlässt. Es ist eine Theorie. Macht in der Praxis so gut wie keiner, weil man ungeheuer viel im Kopf rechnen muss, erst die Umwandlung in ein anderes System und dann auch noch die Kennzahl bestimmen anhand von ungleich oder gleich 0.

3.1.5 Anwendungen: „NIM“ Aufgabe: Wer sollte bei folgendem Spiel anfangen: Du oder Dein Gegner, damit Du, als Sieger hervorgehst: 5 - 9 - 12 - 16

3.1.5 Anwendungen: „NIM“ Aufgabe: Wer sollte bei folgendem Spiel anfangen: Du oder Dein Gegner, damit Du, als Sieger hervorgehst: 5 - 9 - 12 - 16 Lösung: 5 = 101 9 = 1001 12 = 1100 16 = 10000 10000 Ich fange an, da Kennzahl ungleich 0 ist.

3.1.6 Systembrüche Bisher haben wir nur ganze Zahlen betrachtet. Wie sieht es aber bei gebrochen rationalen Zahlen aus ? die Stellenwerttafel kann durch ein Komma unendlich weiter nach rechts gerückt werden. Links: bekannte Einer, Zehner,... Rechts: Neu: Zehntel, Hundertstel,... Das bedeutet: es entstehen Brüche mit einer Stufenzahlen als Nenner. In diesem Fall ist die Stufenzahl die 10er Potenz ( 10, 100, 1000, 10000, ...usw. in anderen Systemen wird hier jeweils die Basis eingesetzt. Bsp.: (5) 5, 25, 125, ... usw. ) Die gezeigte Aufgabe lautet: 22 : 7 22/7 = 3+ 1/10 + 4/100 + 2/1000 + 8 / 10000 + ....

3.1.6 Systembrüche Wie entstehen die Nachkommastellen ? Ausgangsaufgabe: 22 : 7 oder 22/7 Hier ist 22 = 3 x 7 + 1, also 22/7 = 3 + 1/7 Bei 3 Einern ist nichts mehr zu tun, es bleibt noch Rest 1/7.

3.1.6 Systembrüche

3.1.6 Systembrüche Das Augenmerk liegt auf der sukzessiven Division mit Rest durch Nenner 7 und nachfolgenden Multiplikatoren des Restes mit der Basis 10 22 = 3 x 7 + 1 10 = 1 x 7 + 3 30 = 4 x 7 + 2 20 = 2 x 7 + 6 60 = 8 x 7 + 4 40 = 5 x 7 + 5 50 = 7 x 7 + 1 die Rechenkette geht wieder weiter.

3.1.6 Systembrüche Also allgemein kann man sagen - um es wieder mathematisch auszudrücken: Umgewandelt in eine Zahl, wäre das 0, z1, z2, z3, z4, z5, z6, ... Umgewandelt in andere Stellenwertsysteme bedeutet es: g = Basis des Systems, also Bsp: Zweiersystem, Fünfersystem, o.a..

3.1.6 Systembrüche Wie rechnet man einen Bruch, bzw die Nachkommastelle in einem anderen System aus ? Das Prinzip ist das gleiche, wie im Zehnersystem. Vereinfacht dargestellt hier das schriftliche Verfahren: Wir bleiben bei einem Rest von 1/7 um die erste Nachkommastelle zu berechnen - diesmal aber im Fünfersystem

3.1.6 Systembrüche

3.1.6 Systembrüche Wiederholung der Periode: Erkennungsmerkmal: Die periodische Systembruchentwicklung ( also das Auftreten sich wiederholender Zahlenfolgen ) sind typisch für Bruchzahlen und zwar egal in welchen Systemen man rechnet. Generell gilt: Die Periodenlänge ( also die Anzahl der Zahlen, die sich wiederholen ) ist nie größer, als die Zahl, die im Nenner steht. 1/7 = Nach max. 7 Nachkommastellen tritt spätestens die Periode ein 1/7 im Fünfersystem = 1/12, also hier nach maximal 12 Nachkommastellen Dies ist für Euch eine Kontrollinstanz.

3.1.6 Systembrüche Durchhalten - dies ist die letzte Folie. Was sollt ihr aus diesem Vortrag mitnehmen: Ihr solltet am Ende dieses Seminars von Euch behaupten können zu wissen was andere Leute denken während Ihr den Personen das letzte Streichholz aus der Tasche zieht und somit beweisen könnt, dass ein gebrochenes Stück Holz viele einzelne Splitter hinterlässt die Ihr dann prima zur Verwendung für die Bestimmung von Nachkommastellen in der Stellenwerttafel verwenden könnt, in dem Ihr die einzelnen Splitter anzahlig in die vorgesehene Tabelle legt und somit zeigt, dass Nachkommastellen auch periodische Eigenschaften haben. Ein Satz der den gesamten Inhalt des Vortrages zusammenfassen soll. Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit und Geduld und jetzt Fenster auf und Luft rein.