Asset Liability Management Ein Modell zur mehrperiodigen Portfoliooptimierung unter Berücksichtigung von Zahlungsverpflichtungen

Gliederung Motivation Binomialmodell Optimierungsproblem Zustandsaggregation

Ziele des ALM Vermeidung des Ruins Minimierung des Bilanzrisikos Maximierung der Rendite

Unterschiede zu Markovitz Anfangsportfolio Portfoliowert abzüglich Zahlungsverpflichtung > 0 Endportfolio t = 0 t = i t = T Es besteht bereits ein Portfolio Es müssen Nebenbedingungen zu vielen Zeitpunkten und je nach zukünftiger Situation sichergestellt werden. Es kann zu jedem Zeitpunkt unter Kenntniss der dann vorliegenden Situation gehandelt werden.

Vorgehen Erstellen eines Modells welches unsichere Szenarien abbildet. Suchen einer dynamischen Handelsstrategie, welche sichere Deckung der Zahlungsverplichtungen gewährleistet.

Binomialmodell Underlying Optionspayoff Risikolose Anlage

Idee Replikation Konstruiere ein Portfolio aus der risikolosen einperiodigen Anlage und dem Underlying, welches zum Folgezeitpukt dem Preis der Option entspricht. 1 2 Kaufe x Anteile der risikolosen Anlage und y Anteile der Aktie =>

Replikation anhand des Beispiels

Mehrere Perioden Vom Endzeitpunkt angefangen kann induktiv der einperiodige Replikationsschritt durch- gefuehrt werden. Das Ergebnis ist dan „Payoff“ der Option für die Vor- periode (Rückwärts-induktion oder backward induction). Problem: Die Anzahl der Zustände wächst exponen- tiell mit der Periodenzahl.

Vereinfachung Falls ds > 1 Drift nach oben. Falls ds = 1 stationär. Rekombinierender Baum: Preis des Underlying nach uptick und anschliessendem downtick invariant. Rückwärtsinduktion funktioniert gleich. Weniger Zustaende, da Pfade zusammengefasst. Dafür werden Zustände mit groesserer W-Keit erreicht. Falls ds > 1 Drift nach oben. Falls ds = 1 stationär. Falls ds < 1 Drift nach unten.

Auszahlung zum Zeitpunkt t im Zustand i. Allgemeiner Schritt Auszahlung zum Zeitpunkt t im Zustand i. mit: also

Risikoneutrales W-Maß Setze Dann muss bei Arbitragefreiheit gelten: und es gilt:

Satz von Harrison und Kreps Die Wertpapierpreise in einem vollkommenen Zustandsraum sind genau dann arbitragefrei, wenn es ein positives risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Zustandsraum derart gibt, dass in jedem beliebigen Zustand der erwartete einperiodige Ertrag bezogen auf das Wahrscheinlichkeitsmaß identisch ist für alle Wertpapiere.