Planarisierung von Cluster Graphen Bihui Dai PG478

Übersicht Struktur eines Clustergraphs Motivation Zeichnung eines Clustergraphs Planarisierungsalgorithmus PG478

Struktur eines Clustergraphs PG478

ein zugrundliegende Graph Ein ClusterGraph C(G, T) ein Inklusionsbaum Sub-Cluster V(E) Sub-Cluster V(E) Root Root E F 13 A B 2 4 F E 1 3 5 A C B D C 6 7 D 10 8 9 11 12 1 2 3 6 7 8 9 4 5 13 10 11 12 ein zugrundliegende Graph Ein ClusterGraph C(G, T) ein Inklusionsbaum Der von V(E ) induzierte Teilgraph G(E) PG478

Motivation Viele Anwendungen erfordern das Zeichnen von Clustergraphen. Zum Beispiel: Netzwerke : lokale Netzwerke und Router in autonomen Systemen, autonome Systeme als Cluster Informationssysteme: Entity-Relationship Schema, anhand ähnlicher Eigenschaften in Cluster verpacken PG478

Zeichnung eines Clustergraphs PG478

Zeichnung Der Clustergraph C = ( G,T ) wird gezeichnet  Punkte als Knoten  Kurven als Kanten  Regionen als Cluster PG478

c-planarer Clustergraph Hat es in der Zeichnung keine diese Situationen, dann ist der Clustergraph c-planar 1. Kantekreuzung 2. Die Kanten überqueren die Regionsgrenze mehr als einmal PG478

Zusammenhängender Clustergraph Der Zusammenhang spielt auch eine bedeutende Rolle in unserem Planarisierungsalgorithmus: In dem Planarisierungsalgorithmus ist gegeben für nicht c-planarer zusammenhängender Clustergraph. Ein clustergraph ist cluster-zusammenhängend , wenn für jeden Knoten  von T, G() zusammenhängend ist. Root E F A B 2 4 1 3 5 C 6 7 D 10 8 9 11 12 Zusammenhängender Clustergraph Nicht zusammenhängender Clustergraph PG478

Planarisierung Sei ein nicht planarer Graph G = (V, E) gegeben, dann ist eine Planarisierung von G ein eingebetteter planarer Graph G = (V, E), mit:  V  = VD; D sind unechte Knoten, jeder repräsentiert eine Kreuzung zwischen zwei Kanten;  Ein Kanten-Pfad von G ist ein Pfad mit Knoten u,d1,…,dk,v; (u ,v) ist eine Kante von E und di sind unechte Knoten. PG478

 G ist eine Planarisierung von G; Sei ein nicht c-planarer Clustergraph C =(G, T) gegeben, dann ist eine Planarisierung von C ein c-planarer Clustergraph C =(G, T), mit:  G ist eine Planarisierung von G;  T ist ein Baum abgeleitet aus T, wobei ein Blatt für jeden unechten Knoten von G hinzugefügt wird. PG478

Planarisierungsalgorithmus PG478

Ablauf: Planarisierungsalgorithmus hat zwei Schritte Problem: Gegebenein zusammenhängender nicht c-planar Clustergraph, Wie realisiert man diese Planarisierung? Lösung: Der Planarisierungsalgorithmus wird eingeführt. Ablauf: Planarisierungsalgorithmus hat zwei Schritte 1. Maximal-cPlanar 1.1 Spannbaum 1.2 SimpleReinsertion 2. Wiedereinfügung PG478

Maximal-cPlanar In Maximal-cPlanar wird ein maximaler c-planarer Subgraph des gegeben Clustergraph berechnet. Idee: Anfang mit einem "einfachen" zusammenhängenden c-planaren Subgraph PG478

Die Berechnung besteht aus zwei Schritten: 1. Spannbaum Ein Subgraph wird berechnet, so dass sein zugrundeliegender Graph ein Spannbaum von G ist. 2. SimpleReinsertion Der maximale c-planare Subgraph wird berechnet dadurch, dass die Kanten, die die c-Planarität nicht verletzen, in Spannbaum eingefügt werden. PG478

Spannbaum Nun konstruieren wir den Spannbaum von Cluster: v PG478 F(V) ST(V) PG478

SimpleReinsertion Idee: Einfügen einiger Kanten in schon konstruiertem Cluster-Spannbaum, die keine Kreuzungen verursachen können. PG478

wir führen jetzt SimpleReinsertion aus: Durchlaufe T von unten nach oben Überprüft für jeden Cluster v Füge eine Kante aus G(v)-ST(v) hinzu Dabei kann keine Kreuzung entstehen Danach: Für jede noch nicht eingefügte Kante e Überprüfe c-Planarität wenn Kante e eingefügt wird Füge Kante e ein, falls planar PG478

Wiedereinfügen der verworfenen Kanten Mit Cmp = ( Gmp, T) von C =( G, T) bezeichnen wir einen maximal c-planaren zusammenhängenden eingebetteten Sub-ClusterGraph. Problem: Kanteneinfügen, wobei Cluster nicht c-planar bleiben Die Kanten überqueren mehr als einmal die Regiongrenze PG478

 Lösungsidee: (Schritt für Schritt) -- Es wird ein planarer eingebetteter dualer Graph G‘mp von Gmp konstruiert. --Der kürzeste Weg in G‘mp wird berechnet. --Die Restkanten werden wiedereingefügt . PG478

Die Konstruktion der dualer Graph G‘mp von Gmp Wir materialisieren die Grenze der Cluster v2 v1 Einfügen der Grenzkante Einfügen des kreuzungsknoten v1 Die Kante überquert die Regiongrenze PG478

Die Berechnung des kürzeste Weg Die Ausrichtung und das Entfernen der Kanten von G‘mp . B D E C u v A A B E D C u PG478 v

Ende von Planarisierungsalgorithmus die Komplexität des ganzen Planarisierungsalgorithmus . Gegeben: n..... die Anzahl der Knoten von G m..... die Anzahl der Kante von G c.......die Anzahl der Clustern von T. .......die Anzahl der unechten Knoten Dann Der Algorithmus Maximal-cPlanar benötigt O(mn²); Der Algorithmus Wiedereinfügung benötigt O( m + m²c). Insgesamt: Der Planarisierungsalgorithmus berechnet eine Planarisierung von C in O( m + m²c + mn²). PG478

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit PG478