Präsentation zu Milestone 1: Planaritätstest, Planarisierierung und Orthogonalisierung Gruppenmitglieder: cku, ocl, pdo, bra

Gliederung 1.Was ist Planarität ? 2.Momentaner Projektstatus Offene / abgeschlossene Tickets Grunddatenstruktur 3.Geplante Implementationen Boyer-Myrvold-Algorithmus Links-Rechts-Planaritätskriterium Planarisation durch Knoteneinfügen Orthogonalisierung von planaren Graphen

Was ist Planarität ? Def.: Ein Graph ist dann planar, wenn er sich ohne Kantenüberkreuzung zeichnen lässt. Beispiel:

Projektziele Zu gegebenen Graphen überprüfen, ob dieser planar ist (und ggf. planare Einbettung ermitteln) Falls der Graph nicht planar ist, diesen z.B. durch Einfügen von zusätzlichen Knoten zu einem planaren Graphen umwandeln Darstellung eines planaren Graphen mithilfe eines (quasi-)orthogonalen Ansatzes

Datenstruktur (erste Idee)

Datenstruktur für Boyer /Myrvold

Planare Einbettung über Kanteneinfügen ocl

Planare Einbettung über Kanteneinfügen Basiert auf John M. Boyer, Wendy J. Myrvold: On the Cutting Edge: Simplified O(n) Planarity by Edge Addition Liefert relativ schnell (lineare Laufzeit) eine planare Einbettung für planare Graphen Seit 2004 state-of-the-art Algorithmus für Planaritätstests

Überblick Tiefensuche erzeugt Baum und ordnet Knoten an Knoten werden in umgekehrter Reihenfolge durchlaufen Zu jedem Knoten wird versucht, die Rückwärtskanten soweit wie möglich planar einzufügen Ergebnis ist planare Einbettung (wenn möglich) oder planare Einbettung eines Subgraphen

Der Links-Rechts-Planaritätstest pdo Quelle: Brandes, U.: The Left-Right-Planary Test

Der Links-Rechts-Planaritätstest Entwickelt von H. de Fraysseix, P. Rosenstiehl, P.O.Mendes Algorithmus, der in linearer Zeit auf Planarität testet und ggf. planare Einbettung liefert. Aufgrund mangelnder Dokumentation und bislang nur weniger Implementierungen bisher kaum bekannt.

Grundidee Der Graph wird mehrmals mittels DFS durchlaufen: 1. Phase: Baum- und Rückwärtskanten werden identifiziert und charakteristische Merkmale (Lowpoints, Verschachtelungsreihenfolge) werden ermittelt. 2. Phase: Rückwärtskanten werden unter Berücksichtigung von Konfliktkanten (solche, die nicht überschneidungsfrei in eine Partition passen) rechter oder linker Partition zugeordnet. Gelingt dies nicht: Graph nicht planar 3. Phase: Einbettung (wenn planar) ergibt sich aus Phase 2

Beispiel einer LR-Partition:

Einfügen einer Kante in einen planaren Graphen cku

Quelle C. Gutwenger, P. Mutzel, R. Weiskircher: "Inserting an edge into a planar graph," In Proceedings of the Twelfth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA 01), pp , 2001.

Planarisierungsmethode Lösche Kanten aus Eingabegraphen bis dieser planar ist Füge diese nacheinander hinzu und ersetze die möglichst wenigen Kreuzungen mit Dummyknoten mit 4 inzidenten Kanten Es liegt jederzeit ein planarer Graph vor Umwandeln der Dummyknoten in Kreuzungen ergibt Zeichnung des ursprünglichen Graphen

Einbettungsbeispiele

Bisheriger Ansatz Beliebige Einbettung des planaren Graphen gewählt und darin den kürzesten Pfad im dualen Graphen errechnet. Problem: für die gewählte Einbettung sind die Kreuzungen minimal. Allerdings kann es für andere Einbettungen bessere Lösungen geben.

Neuer Ansatz Minimiert die Anzahl der Kreuzungen über alle Einbettungen Nutzung von SPQR-Bäumen Anwendung von dualen Graphen:

Grundideen Graph wird in Zusammenhangskomponenten (ZHK) zerlegt Falls zu verbindende Knoten in unterschiedlichen ZHK liegen so kann man sie verbinden ohne eine Kreuzung zu riskieren Falls sie in derselben ZHK liegen greift der Algorithmus

Orthogonales Zeichnen eines planaren Graphen bra Quelle: Klau, G. W.; Mutzel, P.; Quasi-Orthogonal Drawing of Planar Graphs

Orthogonalisierung Erster Ansatz entwickelt von R. Tamassia 1987 Seitdem Entwicklung anderer Ansätze (Giotto, Kandinsky, Quod) Orthogonalität aus Gründen der Lesbarkeit und der Ästhetik sehr beliebt

Grundidee Algorithmus arbeitet mit gegebenem planaren Graphen: 1. Phase: Knick-Minimierung (nach Tamassia) durch Flussnetzwerkminimierung 2. Phase: Quasi-orthogonale Einbettung des Graphen in ein Gitter