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Veröffentlicht von:Irmgard Stroh Geändert vor über 10 Jahren
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Constraints in orthogonal Graph Drawing
Thomas Rothvoß Ziel: Orthogonalisieren eines Graphen mit den Nebenbedingungen Anzahl der Kantenknicke minimieren So wenig wie möglich vom Ausgangsgraphen abweichen
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Inhalt des Vortrags Allgemeiner Ansatz zum Orthogonalisieren: Topology-Shape-Metrics-Ansatz Verschiedene Verfahren für den Shape-Schritt Tamassia: Graph mit max. Grad ≤ 4 Im Kandinsky-Modell: allgemeiner Graph Brandes, Eiglsperger, Kaufmann, Wagner: zusätzliche Nebenbedingung
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Topology-Shape-Metrics-Ansatz
Ein aus 3 Schritten bestehendes Verfahren, um einen Graphen zu orthogonalisieren: Topology: Lege die Topologie des Graphens fest Planarisiere den Graphen Shape: Lege die Form (bzw. das Aussehen) des Graphens fest Setze Winkel und Knicke Metric: Bestimme die Metrik des Graphen Setze Kantenlängen und Knotengrößen
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Schritt 1: Topology Verändert die Anordnung der Graphelemente zueinander Wird auch Einbettung genannt Beispiel: Ergebnis: planare Repräsentation
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Schritt 1: Topology Problem: Was tun, wenn der Graph gar nicht
planarisierbar ist? Lösung: Ersetze Kantenkreuzungen durch neue Knoten Ziel: Minimiere Anzahl einzufügender Knoten
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Schritt 2: Shape Lege Kantenknicke und Winkel zwischen den Kanten fest Auch Orthogonalisierung genannt Ziel: Minimiere Anzahl der Kantenknicke Ergebnis: orthogonale Repräsentation
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Schritt 3: Metric Bestimme die Länge der Kanten und die Größe der Knoten Wird auch Kompaktierung genannt Ziel (z.B.): Minimiere Fläche des Graphens Ergebnis: orthogonale Gittereinbettung
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Eigenschaften des Topology-Shape-Metrics-Ansatzes
Vorteil: Jeder Schritt kann separat angepasst/verbessert werden Nachteil: Manchmal „verbaut“ ein Schritt eine bessere Lösung im nachfolgenden Schritt Hier: Verfahren für den 2. Schritt, also das Orthogonalisieren
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Tamassia‘s Algorithmus
Für einen eingebetteten Graphen wird ein Flussnetzwerk erstellt, in dem Kanten Kosten und Kapazitäten zugewiesen bekommen. Knoten erhalten Supply-Wert Supply > 0 Knoten muss Fluss in Stärke des Supply abgeben Supply < 0 Knoten muss Fluss in Stärke des Supply erhalten Eine Kosteneinheit über einer Kante entspricht einem Kantenknick Ein kostenminimaler Fluss liefert einen Graphen mit minimaler Anzahl von Kantenknicken
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Erstellen des Netzwerkes
Einen Node für jeden Knoten und jede Fläche Setze Supply Knotennode: Supply = 4 – Grad des Knotens Node einer inneren Fläche: Supply = 4 – Grad der Fläche Node der äußeren Fläche: Supply = –4 – Grad der Fläche Verbinde benachbarte Flächen mit Kante der Kapazität ∞ und Kosten 1 Verbinde Knoten mit angrenzenden Flächen mit Kante der Kapazität ∞ und Kosten 0
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Beispiel für Tamassia‘s Algorithmus
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Beispiel für Tamassia‘s Algorithmus
Kosten 1 -9 Kosten 0 Alle Kanten haben Kapazität ∞ 2 1 Knotennode Flächennode 1 2 1 2 Jeder Fluss zwischen 2 Flächennodes entspricht einem Knick einer der Kanten zwischen den beiden Flächen Ein Fluss von x von einem Knotennode zu einem Flächennode entspricht einem Winkel von (x+1)90° zwischen Knoten und Fläche
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Beispiel für Tamassia‘s Algorithmus
Kosten 1 2 -9 Kosten 0 2 1 Alle Kanten haben Kapazität ∞ 2 1 Knotennode 1 Flächennode 1 2 2 1 2 1 Jeder Fluss zwischen 2 Flächennodes entspricht einem Knick einer der Kanten zwischen den beiden Flächen Ein Fluss von x von einem Knotennode zu einem Flächennode entspricht einem Winkel von (x+1)90° zwischen Knoten und Fläche
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Nachteil von Tamassia‘s Modell
Problem: In Tamassia‘s Modell sind Knoten mit Grad > 4 nicht erlaubt. Grund: In orthogonalisiertem Graphen wären 0° Winkel nötig. Aber ein Fluss von x über einen Knotennode entspricht einem Winkel von (x+1)90°, also entspricht ein 0°-Winkel einem Fluss von -1 Negativer Fluss nicht erlaubt! Lösung: Erweitere Modell, so dass Knoten mit Grad > 4 erlaubt sind und erstelle im Netzwerk Kanten in Gegenrichtung, so dass Fluss auch zurückfliessen kann
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Das Kandinsky-Modell Verboten: Erlaubt: oder
Eigenschaft des Kandinsky-Modells: Einem 0° Winkel lässt sich stets ein eindeutiger 270° Knick zuordnen Verboten: Erlaubt: oder
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Non-Empty-Face Eigenschaft der Kandinsky-Modelle
Problem: 3 x 0°-Winkel, aber nur 2 Knicke Aber: Dieses Problem tritt nur bei dieser speziellen Art der leeren Fläche zwischen 3 Knoten auf.
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Non-Empty-Face Eigenschaft der Kandinsky-Modelle
Problem: 3 x 0°-Winkel, aber nur 2 Knicke Aber: Dieses Problem tritt nur bei dieser speziellen Art der leeren Fläche zwischen 3 Knoten auf. LEERE FLÄCHEN VERBOTEN!!
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Änderungen am Netzwerk
Also eigentlich: Fluss der Stärke 1 von Flächennode f zu Knotennode v Winkel zwischen e1 und e2 ist 0° f 1 v g h Problem: Wenn der Winkel zwischen e1 und e2 0° ist, dann müssen wir erzwingen, dass entweder von g nach f ein Fluss geht (also die Kante e1 einen Knick macht) oder von h nach f ein Fluss geht (also die Kante e2 einen Knick macht).
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Lösung Da ein 0° Winkel sowieso einen Knick einer
der beiden Kanten impliziert, lassen wir den Fluss über diejenige Kante laufen, die einen „Kandinsky- Knick“ erhält. Fluss von g nach v über Kante e1 e1 und e2 schließen 0-Winkel ein, e1 macht Knick Fluss von h nach v über Kante e2 e1 und e2 schließen 0-Winkel ein, e2 macht Knick f f 1 1 v v g h g h
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Ausschnitt Kandinsky-Netzwerk
v
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Ausschnitt Kandinsky-Netzwerk
f v g h Alle Kanten haben Kapazität 1 Kosten -C Kosten 0 Kosten 2C+1 Hilfsknoten
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Kandinsky-Netzwerk – Effekt 1
Interpretation: f -1 1 g v v Ergebnis: g h v Fluss von g über e1 nach v mit Kosten von 2C+1-C-C = 1 e1 und e2 schließen 0°-Winkel ein, e1 macht Knick Effekt: Kein Fluss von f über e1 nach v findet statt, denn dieser wäre mit Kosten 2c+1 zu teuer
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Kandinsky-Netzwerk – Effekt 2
Interpretation: f -2 1 1 g v h Kapazität überschritten v g h Angegebener Fluss in unserer Hilfskonstruktion entspricht von der Semantik her einem Fluss von -2 von v nach f. Aber Fluss von x entspricht Winkel von (x+1)90°, also hier -90°. Dieser illegale Winkel ist über die Kantenkapazität verboten.
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Algorithmus von Brandes, Eiglsperger, Kaufmann, Wagner
Gegeben: Eine „Skizze“ des Graphens Grund z.B.: Skizze ist vom Benutzer mit einem Editor erstellt Die Knoten haben vorgegebene relative Positionen zueinander Ziel: Orthogonalisiere den Graphen unter den Bedingungen Möglichst wenige Knicke Weiche möglichst wenig von der Skizze ab
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Grobes Vorgehen Ausgangsskizze ..runde Winkel auf Vielfache von 90°
..dann optimiere Graphen
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Datenstrukturen Gegeben sind: Eingebetteter, planarer Graph G=(V,E,F)
Menge von Flächen: F Orthogonale Form: Q Q(f) liefert für die Fläche f eine Liste von Tupeln (ei,ai,bi) Q(f,i): i-tes Tupel von Q(f) a(Q,f,i): Winkel in Q(f,i) b(Q,f,i): Biegungseintrag in Q(f,i)
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Terme der Zielfunktion
Anzahl der Kantenknicke: Warum Faktor ½? Die Summenformel zählt jeden Knick doppelt.
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Terme der Zielfunktion
Abweichungen der Winkel zwischen orthogonalen Formen Q und S S: Q:
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Terme der Zielfunktion
Abweichung der Kantenknicke gibt dabei die Anzahl an Lösch- und Einfügeopera-tionen, um aus dem String b1 den String b2 zu machen
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Zielfunktion Minimiere die Zielfunktion
α,β,γ: geeignet zu wählende Gewichtungsfaktoren Änderung eines Winkels: Kosten α Neuer Knick: Kosten β+γ Knick entfernen: Kosten β-γ
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Wahl der Gewichtungsfaktoren
Ausgangsgraph: Ergebnis mit α und β klein, γ groß: Gewicht auf Lesbarkeit Ergebnis mit β groß, α mittelgroß, γ klein: Gewicht auf Stabilität
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Modifikation an Knoten-Nodes
g h
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Modifikation an Knoten-Nodes
Flussstärke 1 Supply 1 g h Kosten 0, Kapazität 3
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Modifikation an Knoten-Nodes
1 g h Kosten 0, Kapazität 3 Kosten -C Kosten 0 Kosten 2C+1
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Modifikation an Knoten-Nodes
1 g h Kosten α, Kapazität ∞ Kosten 0, Kapazität 3 Knoten erhalten als Supply denjenigen Wert, der dem den Winkel erzeugenden Fluss in der Skizze entspricht. Veränderung eines Winkels verursacht Kosten von α Kosten -C Kosten 0 Kosten 2C+1
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Modifikation an regulären Knicken
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Modifikation an regulären Knicken
Kapazität 2 Kosten 0 Supply von 2 2 Kapazität 1 Kosten β-γ Supply je um 1 gesenkt f Fluss von 2 von Knoten zu g Winkel besteht weiterhin 270°, Kosten 0 Fluss von 1 von Knoten nach f Knick wird entfernt mit Kosten β-γ
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Beispiel Skizze: Orthogonalisierter Graph:
Beispiel ER-Diagramm aus dem verwendeten Paper
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Nachteil des Verfahrens
Probleme mit baumartigen, nur einfach zusammen- hängenden Graphen: Veränderung eines einzelnen Winkels kann das Aussehen des Graphens komplett verändern.
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Nachteil des Verfahrens
Probleme mit baumartigen, nur einfach zusammen- hängenden Graphen: Veränderung eines einzelnen Winkels kann das Aussehen des Graphens komplett verändern.
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Lösung des Problems Füge einen Rahmen ein, der mit den „äußeren“ Knoten verbunden wird. Ein äußerer Knoten ist dabei ein Knoten, der auf der konvexen Hülle des Graphen liegt.
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Zusammenfassung Allgemeiner Ansatz zum Orthogonalisieren:
Topology = Planarisieren Shape = Winkel + Knicke festlegen Metrics = Kantenlängen festlegen Verschiedene Verfahren für den Shape-Schritt Tamassia: Graph mit max. Grad ≤ 4 Min-Cost-Flow Kandinsky-Modell: Min-Cost-Flow mit negativen Kosten Brandes, Eiglsperger, Kaufmann, Wagner: Min-Cost-Flow mit eingearbeiteten Strafkosten für Abweichen von Skizze
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Quellen Sketch-Driven Orthogonal Graph Drawing, Ulrik Brandes, Markus Eiglsperger, Michael Kaufmann, Dorothea Wagner erschienen: Graph Drawing Paper unter: Automatisches Layout von UML-Klassendiagrammen, Diplomarbeit, Martin Siebenhaller, Uni Tübingen
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