Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern - eine Einführung Prof. Dr. Horst W. Hamacher Fachbereich Mathematik, Universität Kaiserslautern Seite 1

Was ist Wirtschaft? Da, wo man seine Cola, sein Bier ... trinkt, und ... oder Bezeichnung für alle Aktivitäten und Einrichtungen, die der Produktion, Distribution und Konsumtion von Gütern und Dienstleistungen dienen. Das Ziel dieser Aktivitäten besteht nach der gängigen Volkswirtschaftslehre ganz allgemein darin, über knappe Mittel (RessourcenHWH) so zu verfügen, dass sich die menschlichen Bedürfnisse befriedigen lassen. "Wirtschaft", Microsoft® Encarta® 99 Enzyklopädie. © 1993-1998 Seite 2

Was ist Mathematik? Das, was man in der Schule lernt. Untersuchung der Beziehungen zwischen Mengen, Größen und Eigenschaften sowie der logischen Operationen, aus denen unbekannte Mengen, Größen und Eigenschaften hergeleitet werden können. "Mathematik", Microsoft® Encarta® 99 Enzyklopädie. © 1993-1998 Seite 3

Was ist Wirtschaftsmathematik? Einsatz von mathematischen Methoden zur Lösung von wirtschaftlichen Problemen Beispiele: Problem Ressource Mathematische Methoden Lagerhaltung Platz, Zeit Simulation, Stochastik psb Nahverkehr Zeit, Umwelt Graphentheorie, Flußprobleme ÖV Krebsbestrahlung Gesundheit Multikriterielle Optimierung Krebs Notfallplanung Leben Standorttheorie Tirol Transporte Platz, Geld Ganzzahlige Optimierung IP Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern KL Seite 4 andere Mathe

Was ist Wirtschaftsmathematik? Einsatz von mathematischen Methoden zur Lösung von wirtschaftlichen Problemen Beispiele: Problem Ressource Mathematische Methoden Lagerhaltung Platz, Zeit Simulation, Stochastik psb Nahverkehr Zeit, Umwelt Graphentheorie, Flußprobleme ÖV Krebsbestrahlung Gesundheit Multikriterielle Optimierung Krebs Notfallplanung Leben Standorttheorie Tirol Transporte Platz, Geld Ganzzahlige Optimierung IP Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern KL Seite 5

Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in KL? 60% 20% 20% Seite 6 zurück

Notfall- rettung durch Hubschrauber E2 E1 Seite 7 zurück

Mittelpunkt zwischen E1 und E2: Seite 8 zurück

Notfall- rettung durch Hubschrauber Seite 9 zurück

Mittelsenkrechte zwischen E1 und E2: Seite 10 zurück

Der beste Standort eines Hubschraubers für 3 Einsatzorte : MS23 E2 MS12 E3 E1 MS13 Seite 11 zurück

E2 E3 E1 Seite 12 zurück

Library of Location Algorithms Standorttheorie Verbotene Gebiete Barrieren Multi- kriteriell Wege, Kreise Distanz- maße Library of Location Algorithms LOLA Industrie- anlagen Notfall- Roboter Buslinien Krebs- therapie GIS SAP IBM Kommunen Verkehrsverbünde DKFZ Arcview Markant Krankenhäuser ptv Standortanwendungen Seite 13 zurück

Parallellager- und Materialflußplanung Parallellager mit Durchfluß von 500-1000 Transporteinheiten (TE) pro Stunde , Pirmasens, Germany Seite 14 zurück

Erwartete Anzahl aktiver Stockwerke Annahme: n = Anzahl der Stockwerke m = Anzahl von Lagerplätzen/Stockwerk nT= Anzahl der TEen (unabhängig, gleichförmig verteilt, nT>n) Rechentest: Man kann nur 70% bis 90% aktiver Stockwerke erwarten (in der Praxis) Seite 15 zurück

Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -1- Ziel: Gleichmäßige Verteilung auf Ebenen Gleichmäßige Auslastung der Kommissionierplätze Von den n! vielen möglichen Permutationen können (m+1)!(m+1)n-m-1 realisiert werden Seite 16 zurück

Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -2- Kosten der Plazierung von TE i auf Ebene j z.B. #TE derselben Farbe TE i auf Ebene j s.t. Seite 17 zurück

Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -3- Die zulässigen Permuationen entsprechen zulässigen Matchings in einem bipartiten Graphen Seite 18 zurück

Systemoptimierung durch (dynamische) Netzwerkflußprobleme Hubrahmen Materialflußnetzwerk Seite 19 zurück

IP Model für Wabenproblem Minimiere Abweichung von alten Tarifen: neuer (k,l) Wabentarif alter (i,j) Entfernungstarif s.t. NP-schweres Problem einfach, falls Zonen gegeben sind Zonen können unzusammenhängend sein. Zone k - Haltestelle i Zuordnung Seite 20 zurück

Bestrahlungstherapie Applikation von hochenergetischer Strahlung zur Tumorkontrolle Tumorzerstörung Seite 21 zurück

Problemstellung Seite 22 zurück

InverseTherapieplanung Berechnung der physikalischen Setup-Parameter aus den Dosisvorgaben Seite 23 zurück

3-stufige Vorgehensweise Phase I: Wahl der Einstrahlgeometrie Standortproblem Phase II: Bestimmung der Intensitätsprofile multikriterielles Problem Phase III: Durchführung der Bestrahlung Ganzzahliges Problem Seite 24 zurück

Phase I: Einstrahlgeometrie Isozentrisches Modell: Wahl von N Einstrahlrichtungen Wahl eines Isozentrums Seite 25 zurück

Phase II: Intensitätsprofile Ansatz Diskretisierung Approximation der Dosisverteilung Seite 26 zurück

K-kriterielles Problem K Organe von Interesse ( Ziel, Risiken ) „maximale Dosisabweichung“ tk = tk( x ) für Intensität x  0 ( Organ k=1,..,K ) „K-kriterielle lineare Optimierungsaufgabe“ t1 Min, t2 Min, .. , tK Min ( es existiert i. A. keine „Nullösung“ ) Seite 27 zurück

Ergebnisdatenbank Generierung einer Datenbank mit Setup-Parametern Visualiserungen Isodosen DVHs t-Vektoren Nachbarschaftsstruktur intelligenter Online-Suchhilfe Isodosen: Seite 28 zurück

Durchführung: Multileaf Collimator Idee: Benutze dünne Metall“blätter“, hoch genug um die Bestrahlung abzublocken 5-7cm 0.5-1cm Seite 29 zurück

Linke Blätter Rechte Blätter Seite 30 zurück

Patientenblick Seite 31 Quelle: Mitsubishi zurück

Multileaf Collimators: Mechanik Seite 32 zurück

Multileaf Collimator Ein Beispiel Maximale Größe des Bestrahlungsfeldes Setup für 1. Zeiteinheit 1 eine Zeile der ersten Reliefmatrix + Setup für 2. Zeiteinheit 1 eine Zeile der zweiten Reliefmatrix 1 2 eine Zeile der Intensitätsmatrix Seite 33 zurück

Verschiedene Aufteilung in Reliefmatrizen Beam-on Zeit: 16 Setups : 4 Beam-on Zeit: 5 Setups: 2 Seite 34 zurück

Mathematische Modellierung: Ganzzahlige Optimierung Lijt=2 Rijt=6 Kanal i zur Zeit t: ... ... 1 2 5 6 7 Spaltennr. j yijt = 0 0 1 1 1 0 0 Seite 35 zurück

Ganzzahlige Variable beschreiben MLC: In jedem Kanal und zu jeder Zeit gibt es ein linkes und ein rechtes Blatt: Seite 36 zurück

Ganzzahlige Variable beschreiben MLC: Kollisionen zwischen benachbarten Blätterpaaren werden ausgeschlossen: Seite 37 zurück

Ganzzahlige Optimierung: Formulierung I Seite 38 zurück

Beispiel: Transport von Gefahrengütern Wieviel Einheiten eines Gutes 1 bzw. 2 kann man transportieren, wenn pro Einheit: Gut 1 Gut 2 Profit: 2 7 (Mill. Euro) Kapazität: 1 4 (Platzeinheiten) Gefahrenwert: 9 -4 ( -10 bis +10 Skala) (additiv) Dabei Gesamtkapazität: 14 Gefahrenhöchstwert: 36 Seite 39 zurück

Mathematisches Modell Ganzzahliges, Lineares Programm pro Einheit: Gut 1 Gut 2 Gesamt Profit: 2 7 (Mill. ECUs) Kapazität: 1 4 (Platzeinheiten) 4 wissensch. Wert: -9 4 ( -10 bis +10 Skala) 36 Maximiere 2x1 + 7x2 unter den Nebenbedingungen 1x1 + 4x2 < 4 9x1 - 4x2 < 36 Vorzeichenbedingungen x1,x2 > 0 Ganzzahligkeitsbedingungen x1,x2 ganzzahlig Seite 40 zurück

Lösung der Relaxation Zielfunktion: Optimallösung ohne Ganzzahligkeit: Maximiere 2x1 + 7x2 unter den Nebenbedingungen 1x1 + 4x2 < 4 9x1 - 4x2 < 36 Vorzeichenbedingungen x1,x2 > 0 Ganzzahligkeitsbedingungen x1,x2 ganzzahlig Lösung der Relaxation 2 1 4 3 x1 x2 9x1- 4x2 < 36 x1+ 4x2 < 14 Optimallösung ohne Ganzzahligkeit: x1*=5, x2*=2.25 Zielfunktionswert: 2x1 + 7x2 =25,75 Zielfunktionswert: 2x1 + 7x2 =8 Zielfunktion: 2x1 + 7x2 = 0 Seite 41 zurück

Partition des Problems in zwei Teilprobleme x2 9x1- 4x2 < 36 x1+ 4x2 < 14 x2* > 3 3 x1*=5, x2*=2.25 2 x2* < 2 1 x1 1 1 2 3 4 Seite 42 zurück

Gomory Schnitt 117x1 + 108x2 < 788 zurück x2 9x1- 4x2 < 36 Zielfunktion: 2x1 + 7x2 Seite 43 zurück

Ziel: Finde eine Beschreibung der konvexen Hülle der ganzzahligen Lösungen x2 9x1- 4x4 < 36 x1+ 4x4 < 14 3 2 Zielfunktion: 2x1 + 7x2 =25 1 x1 1 1 2 3 4 Zielfunktion: 2x1 + 7x2 Seite 44 zurück

THE END Seite 45 zurück