Beispiele für Gleichungssysteme 1.) A volle Matrix 3.) A tridiagonale Matrizen 2.) A Diagonalmatrix D 4.) A untere Dreiecksmatrix L

Leicht invertierbare Matrizen Leicht invertierbare Matrizen sind a) Diagonalmatrizen, b) tridiagonale Matrizen, c) blockdiagonale Matrizen, d) Dreiecksmatrizen. Im Folgenden werden Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen, deren Systemmatrix eine dieser Formen hat, angegeben. Für Diagonalmatrizen gilt

Leicht invertierbare Matrizen - Tridiagonale Matrizen Die Lösung von Gleichungssystemen mit tridiagonalen Matrizen erfolgt in 2 Schritten. Im ersten Schritt wird aus jeder Gleichung eine Unbekannte eliminiert. Im 2. Schritt wurden die Gleichungen dann aufgelöst. Dazu berechnet man zuerst die Hilfsgröße h1 = -b1 / a1 rechte Seite p1 = d1 / a1 und x1 = p1 + h1 x2 Dann für i = 2 bis n-1: hi = -bi / (ai + hi-1 ci) pi = (di - pi-1 ci) / (ai + hi-1 ci) und xi = pi + hi xi+1 Für i = n kann dann xn berechnet werden: xn = pn = (dn - pn-1 cn) / (an + hn-1 cn) Aus der rückläufigen Sequenz i = n-1 bis 1 folgen die restlichen Lösungen: xi = pi + hi • xi+1

Anwendung auf Diskretisierung partieller Dgl‘en Abbildung K = j + (i-1) JM K A3) Abbildung nach red-black ordering K K K

Leicht invertierbare Matrizen - Blocktridiagonale Matrizen Bei blocktriagonalen Matrizen werden die Matrixelemente selber Matrizen und entsprechend die Vektorelemente Vektoren: Ai, Bi und Ci sind quadratische kxk-Matrizen und Xi, Di sind Vektoren der Länge k. Der Algorithmus für tridiagonale Matrizen kann auf blocktridiagonale Matrizen erweitert werden: Beachte: Statt der Rechnung mit Zahlen sind hier Matrizenoperationen und die Lösung von Gleichungssystemen erforderlich.

Leicht invertierbare Matrizen - Dreiecksmatrizen Die beiden tridiagonalen Gleichungssysteme lassen sich mit folgenden Formeln lösen: Vorwärts-Substitution Rückwärts-Substitution Gelingt es also, die Matrix [A] in das Produkt zweier Dreiecksmatrizen aufzuspalten, so kann man mit den angegebenen Formeln das Gleichungssystem lösen. Die Algorithmen von Gauss und Cholesky leisten solche Aufspaltungen.

Aufspaltung einer Matrizen A in Dreiecksmatrizen Eine Matrix A lässt sich als Produkt einer unteren Dreiecksmatrix L und einer oberen Dreiecksmatrix U darstellen. Wegen gilt A = L • U, und aus dem Gleichungssystem Ax = b wird ein System von 2 Gleichungssystemen mit Dreiecksmatrizen Ax = L • U • x = L • y = b mit U • x = y Für die Berechnung der n (n+1)-Elemente von L und U stehen aus n2-Gleichungen zur Verfügung. n weitere Werte müssen festgelegt werden. Häufige Wahlen sind 1. lii = 1 Gauß‘scher Algorithmus 2. lii = uii Cholesky-Verfahren Die Aufgabe der Lösung eines allgemeinen Gleichungssystems ist damit, reduziert auf die Aufgabe zwei Gleichungssysteme, mit leicht invertierbaren Matrizen zu lösen.

Der verkettete Gauß‘sche Algorithmus

Der verkettete Gauß‘sche Algorithmus 4) Im nächsten Schritt werden Zeile 2 der Matrix und alle Spalten der Matrix multipliziert. Daraus bestimmt man die Elemente u2i . 5) Entsprechend dem Vorgehen in 3 werden jetzt die Elemente li2 bestimmt. Das Ergebnis dieses Vorgehens läßt sich allgemein angeben:

Der verkettete Gauß‘sche Algorithmus Für i > j gilt: Der verkettete Gauß‘sche Algorithmus Für i > j gilt:

Der verkettete Gauß‘sche Algorithmus Aus diesem Vorgehen lassen sich leicht eine Reihe von Folgerungen ableiten: a) Sind in einer Zeile die Elemente ai1 bis aim je 0, so sind auch die Elemente li1 bis lim je 0 b) Sind in einer Spalte j die Elemente a1j bis amj je 0, so sind auch die Elemente u1j bis umj je 0. c) Ist ein Element aij ungleich 0, so sind auch die entsprechenden Elemente der triangularisierten Matrix ungleich 0 und es können zu allen folgenden Elementen von L bzw. U Beiträge erwartet werden. Durch die Triangularisierung wird die Form der von Null verschiedenen Matrixteile nicht verändert: Es werden aber Gebiete aufgefüllt. Für die Triangularisierung sind also nursolche Speichertechniken möglich, die dieses Auffüllen erlauben. Die Zahl der Operationen (Multiplikationen) läßt sich nach diesem Vorgehen abschätzen zu ~ Ein einfacher Trick erlaubt es, das Verfahren auch auf symmetrische Matrizen zu erweitern.

Das Cholesky-Verfahren Für symmetrische Matrizen gilt AT = A und die Zerlegung nach Gauß ergibt Wobei der Index I andeutet, dass die Hauptdiagonalelemente 1 sind. Da diese Zerlegung eindeutig ist, gilt: Das bedeutet für A: Für i = j gilt: a):

Das Cholesky-Verfahren Für i < j gilt: b): Aus Gleichung (a) kann das Diagonalelement uii der Zeile i berechnet werden. Die übrigen Elemente der Zeile i ergeben sich aus (b). So wird [U] zeilenweise (i = 1, ..., n) berechnet. Notwendig ist, dass die Matrix [A] positiv definiert ist, andernfalls kann sich in a) ein negativer Radikand ergeben. Ein Beispiel soll das Vorgehen beim Cholesky-Verfahren veranschaulichen.

Beispiel Cholesky Verfahren 1 Gegeben sei das Gleichungssystem Wir schreiben die Matrix als Produkt UTU, d.h. Und bestimmen die Elemente von U. Aus der ersten Zeile der Matrizengleichung erhalten wir die drei Gleichungen Wir bestimmen daraus die Unbekannten

Beispiel Cholesky Verfahren 2 Die zweite Zeile liefert die Gleichungen u11 und u12 sind schon bekannt, so dass nur noch die restlichen beiden Gleichungen gelöst werden müssen. Die Lösung lautet Schließlich bestimmen wir aus der dritten Zeile die letzte Unbekannte Durch Vorwärtssubstitution bestimmen wir nun die Komponenten des Hilfsvektors y

Beispiel Cholesky Verfahren 3 Daraus ergeben sich die drei Gleichungen Damit lassen sich durch Rückwärtssubstitution die Komponenten von x bestimmen: Durch „Rückwärtseinsetzen“ erhalten wir die Lösung

Anmerkung zu Cholesky Verfahren Man vermeidet das Wurzelzeichen, wenn man auf folgende Darstellung zurückgreift: Dann wird für alle i  j

Iterative Verbesserung Bei den direkten Lösungsverfahren treten Rundungsfehler hauptsächlich bei der Triangularisierung auf. Löst man über so erhält man eine Lösung . Bildet man das Produkt der ursprünglichen Matrix und der Lösung so kann man ein Residuum berechnen: Den Beitrag von zur Lösung erhält man aus Damit kann man verbessern Wiederholt man diesen Vorgang, so werden die Auswirkungen der Triangularisierung immer kleiner. Der Aufwand pro Iterationsschritt beträgt weniger als der für zwei Auflösungen mit dem triangularisierten System.