V9: Finite-Elemente-Methode Teil 3: Numerische Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen V9: Finite-Elemente-Methode -Grundlagen und Anwendungen Inhalt: Das Verfahren der Finiten-Elemente (FEM) Lösung von elliptischen Gleichungen mit der FEM 1D Experiment: Lösung einer elliptischen Gleichung mit der FEM (in Vorbereitung)

Das sollten Sie heute lernen Wie löst man partielle Dglen numerisch Was ist die Finite Elemente Methode und wie wird sie zur Lösung von Differenzialoperatoren angewandt Wie sind FE- Programme zur Lösung partieller Differentialgleichungen aufgebaut

Numerische Lösung von partiellen Dglen - prinzipielles Vorgehen 1. Beschreibung des Lösungsgebietes durch Zonen und Maschen 2. Beschreibung der Gebiete mit gleichem Lösungsansatz durch Basisgebiete 3. Auswahl des Lösungsansatzes - punktweise Darstellung - Entwicklung nach bekannten Funktionen - stochastisch 4. Diskretisierung der Operatoren 5. Aufstellung der Systemgleichungen 6. Lösung des linearisierten Gleichungssystems 7. Darstellung der Ergebnisse

Numerische Lösung von partiellen Dglen - Das Finite Elemente-Verfahren 1. Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Gebiete beliebiger Form (FiniteElemente), über die Differentialgleichung integriert werden kann 2. Maschen und Basisgebiete identisch - Lösungspunkte auf FE-Rand 3. 4. Integration so, daß am Rand Stetigkeitsbedingungen erfüllt 5. Unregelmäßig strukturierte Gleichungssysteme, schwach diagonal-dominant 6. Lösen auf Basis konjugierter Gradienten-Verfahren oder direktes Lösen 7. Darstellung von Zuständen in Gebieten über Postprozessoren

Lagrange-Interpolation mit Galerkin-Wichtung Folgende Festlegungen werden in der Regel verwendet: Entwicklungsfunktionen Lagrange-Polynome Entwicklungskoeffizienten Werte der genäherten Funktion an Stützstellen (Knoten) Wichtungsfunktionen sind mit Entwicklugnsfunktionen identisch (Galerkin-Wichtung). Ergebnis der Näherung Verstümmelungsfehler Modifikation Aufspaltung des Näherungsgebietes in Teilgebiete mit separaten Annäherungen.

Wahlen der Entwicklungskoeffizienten Folgende Wahlen sind besonders häufig: d.h. Lösung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen die Lagrange-Funktionen d.h. Steigung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel Hermitesche Funktionen. d.h. mittlere Lösung im Gebiet. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel problemabhängige Spezialfunktionen. d.h. mittlere Steigung (häufig für ein Oberflächenelement definiert).

FEM - Vorbemerkungen Ausgang sind integrale Formulierungen und im folgenden speziell das Galerkin-Verfahren. Anders als bei den Lösungen nach Galerkin wird nicht versucht, spezielle, über das ganze Lösungsgebiet gültige und an das Problem angepasste Entwicklungsfunktionen zu finden. Stattdessen wird das Lösungsgebiet in nicht überlappende Gebiete zunächst beliebiger Gestalt, die sog. Finiten Elemente, unterteilt. In jedem Element wird die Lösung nach Funktionen entwickelt, die nur in diesem Element definiert sind und außerhalb verschwinden. Dadurch wird die Integralgleichung in eine Reihe von Teilintegralen zerlegt. Über Koppelungsbedingungen - Randbedingungen für die finiten Elemente - werden die Teillösungen zusammengesetzt. In der Regel gelten die Koppelungen über den ganzen Elementrand. Sie sind daher sehr stark. Das Vorgehen wird wieder am Beispiel der Helmholtz-Gleichung erläutert.

Beschreibung des Lösungsgebietes Beschreibung des Lösungsgebietes durch Zonen Unterteilung der Maschen in Basisgebiete oder finite Elemente Für das Beispiel werden eine Zone und zwei bzw. drei finite Elemente verwendet. Wahl der Entwicklungsfunktionen. Für das Beispiel wurde Lagrange-Funktion 1. Ordnung gewählt. Dann gilt im Element m

Darstellung der Lösung Für die gesamte Lösung gilt Anmerkungen: 1. Es ist möglich, in verschiedenen Elementen verschiedene Ansätze zu wählen. 2. Wählt man die Knoten i so, dass je ein Knoten auf dem linken und auf dem rechten Rand eines Elements liegen und gilt so gibt es keine Sprünge im Verlauf von 3. Durch die in 2) getroffene Knotenwahl ist die Zahl der Knoten der Elemente (lokale Knoten) kleiner als die Zahl der Knoten im System (globale Knoten).

Aufstellung der Residuengleichung -1 Bei Verwendung der Galerkin-Methode sind Wichtungs- und Entwicklungsfunktionen gleich und je nur im zugehörigen Element definiert. Im Element m gilt: Differentialgleichung Zur Lösung sind Randbedingungen erforderlich. Es gilt l und r meinen linken und rechten Rand. m-1 und m+1 linkes und rechtes Nachbarelement.

Aufstellung der Residuengleichung -2 Der Beitrag zum Residuum, der durch die Wichtungsfunktion geleistet wird, ist dann Wendet man die Regeln der partiellen Integration an, wird daraus

Aufstellung der Residuengleichung -3 Das Residuum für das Gesamtsystem erhält man als Summe der Teilresiduen Bei der Summe gilt: Der Randbeitrag am linken und rechten äußeren Rand verschwindet wegen der Randbedingung. Wegen der Anschlussbedingung heben sich Beiträge innerer Elemente gerade auf. Man erhält ein Gleichungssystem für die globalen Entwicklungskoeffizienten (Lösungen an globalen Knoten).

Bestimmung der Elementintegrale Die Versuchsfunktionen und ihre Ableitungen sind Zur Durchführung der Integration über die Elemente transformieren wird die Elemente in das Einheitselement mit 0  x  h. Dort lauten die Versuchsfunktionen Dann gilt im Element

Lösung 1: 2 Elemente Lösung für 2 Elemente  3 globale Variablen h = 1

Lösung 2: 3 Elemente

Vergleich der Ergebnisse zur Lösung

Lösung der Helmholtz-Gleichung im Dreiecksgebiet Weitere Potentiale der FEM zeigen wir an folgendem Problem: Folgende Aufgaben sind zu lösen: a) Diskretisierung des Lösungsgebietes b) Generierung der Elementintegrale c) Erzeugung der Systemmatrizen d) Lösung des Gleichungssystems e) Darstellung der Ergebnisse

Diskretisierung des Lösungsgebietes Zur Diskretisierung wird das Lösungsgebiet in Elemente unterteilt. Die Elemente werden durch folgende Daten charakterisiert: - globale Nummern der lokalen Knoten (Element-Knoten-Liste) - Koordination der Knoten (Knoten-Koordinaten-Liste) - Typ des Elementes - Material im Element - Randdaten des Elements oder Randelemente. Die Daten werden in Listen gehalten. Die Erzeugung und die Überprüfung dieser Listen ist ein Problem, das zumindest nicht einfach lösbar ist. Es gibt zwei Grenzfälle: a) Die Daten werden elementweise eingelesen, das ist immer möglich, aber sehr aufwendig. b) Die Daten werden halbautomatisch generiert und durch kleine Korrekturen auf aktuelle Fälle angepasst. Dies ist vor allem für häufig wiederkehrende Netze interessant. Zur Überprüfung der Listen müssen graphische Methoden verwendet werden. Bei dreidimensionalen Problemen ist jedoch auch dieses Vorgehen aufwendig.

Diskretisierung mit 6 Elementen Für das Beispiel sollen nur Dreiecke mit einem Ansatz 1. Ordnung verwendet werden (Typ-Angabe entfällt). Außerdem sei das Gebiet homogen (Materialangabe entfällt). Wir verwenden 5 Elemente und 7 Knoten Die Elementknotenliste lautet dann: Die Knotenkoordinatenliste enthält 14 Einträge. Ihre Werte sind hier nicht von Bedeutung. Für die Elemente V und VI sind Randbedingungen je für die den lokalen Knoten 1 gegenüberliegende Seite vorzugeben. 7 VI 3 6 IV 4 III V I II 1 2 5

Bildung der Elementintegrale Verwendet man im Element einen linearen Ansatz, so gilt: Unter Verwendung von Lagrange-Polynomen für ein Dreieck wird daraus wo die Lösungswerte an den Dreiecksecken (Knoten) sind. Die Bestimmung des und die Bildung der Integrale über die Elementfläche kann auf verschiedene Arten geschehen. Dazu wird auf die Literatur bzw. Teil 1 der Vorlesung verwiesen.

Erzeugung der Systemmatrix Zur Erzeugung der Systemmatrix müssen alle lokalen Beiträge zu einem globalen Knoten und seinen Verknüpfungen zu Nachbarknoten aufsummiert werden. Im vorliegenden Fall erhalten wir folgende Matrixstruktur:

Analyse und Lösung Die Matrix enthält auf allen besetzten Positionen sowohl Beiträge vom Diffusionsterm als auch vom Absorptionsterm. Dadurch wird sie zum einen weniger empfindlich gegen Maschenvergrößerung, zum anderen aber auch weniger diagonaldominant, ihre Konditionszahl verschlechtert sich (sie wird größer). Die Struktur der Matrix ist unregelmäßig und kann nicht allgemein vorhergesagt werden. Die Eigenschaften der Systemmatrix erfordern besondere Anstrengungen zur Lösung des Gleichungssystems. Sowohl direkte als auch iterative Verfahren finden Verwendung. Als direktes Verfahren ist das Cholesky-Verfahren verbreitet. Unter den iterativen Verfahren haben sich konjugierte Gradienten-Verfahren bewährt.

Finite Elemente in der Automobilentwicklung -1 (von Hans Möller,Spektrum der Wissenschaften , März 1997) Die Entwicklungsabteilungen der Automobilindustrie müssen immer umfang-reichere Leistungen in sehr kurzer Zeit und unter erheblichem Kostendruck erbringen. In den letzten Jahren hat sich hierbei die numerische Simulation als unentbehrliches Hilfsmittel etabliert, denn sie liefert die geforderten Aussagen schnell und reproduzierbar, macht Modifikationen und Variantenuntersuchungen einfach und bietet fast unbegrenzte Analysemöglichkeiten. Zudem ist sie in der Regel sehr kostengünstig. Ihre Bedeutung wird in Zukunft noch weiter zunehmen, denn die Berechnungs-methoden werden immer noch zügig weiterentwickelt, und ein Ende des Preisver-falls für Hardware ist nicht absehbar. Berechnet werden heute routinemäßig unter anderem Bauteilsteifigkeiten und -festigkeiten, Schwingungen und akustische Eigenschaften, das Crashverhalten, die Aerodynamik, das Fahrverhalten, die Verbrennungsprozesse im Motor, die Wärmeleitung sowie Blechumformvorgänge. Die folgenden Beispiele für Finite-Elemente-Analysen stammen aus der Karosserieentwicklung bei Mercedes-Benz.

Finite Elemente in der Automobilentwicklung -2 Das links abgebildete Rechenmodell der Rohkarosserie des Mercedes SLK wird für Steifigkeitsuntersuchungen eingesetzt, beispielsweise um sicherzustellen, dass sich auch dann alle Türen und Klappen einwandfrei öffnen und schließen lassen, wenn das Fahrzeug auf extrem unebenem Untergrund steht. Es besteht aus ungefähr 107.000 Schalenelementen und hat etwa gleich viele Knoten; wie für Verformungsanalysen typisch, sind die Elemente von annähernd gleicher Größe.

Finite Elemente in der Automobilentwicklung -3 Weil die üblichen Belastungen nur kleine Geometrieänderungen hervorrufen (geometrische Linearität), das Material im linear elastischen Bereich bleibt (Materiallinearität) und dynamische Effekte keine Rolle spielen (Statik), spricht man von einer linear statischen Analyse. Rechts die berechnete verformte Struktur. Der Deutlichkeit zuliebe sind die lokalen Verschiebungen um den Faktor 30 überhöht dargestellt. Die Einfärbung kennzeichnet ihre Größe (ansteigend von hellblau nach rot). Für Schwingungs- und Akustikanalysen wird ein anderes Modell verwendet (unten); es besteht aus etwa 105.000 Elementen und enthält sämtliche dynamisch relevanten Komponenten des Fahrzeugs wie die Karosserie mit Einbauten, Motor und Triebstrang, die Abgasanlage sowie das Fahrwerk mit der Lenkung und das Pedalwerk.

Finite Elemente in der Automobilentwicklung -4 Beispiel für eine dynamische Simulation ist eine Fahrt über eine schlechte Wegstrecke. Dabei werden die Radaufstandspunkte in unregelmäßiger Weise gehoben und gesenkt (rechts). Andere untersuchte Anregungen sind Schwingungen von Motor und Triebstrang oder Unwuchten von Rädern und Antriebswellen. Die Simulation liefert als Ergebnis zum Beispiel Beschleunigungen am Lenkrad, die für den Fahrer spürbar sein können, oder - bei einer akustischen Analyse - den nach Frequenzen aufgeschlüsselten Schalldruck am Ohr des Fahrers (unten).

Finite Elemente in der Automobilentwicklung -5 Rechenmodell für die Frontalaufprallsimulation

Finite Elemente in der Automobilentwicklung -6 Die Berechnung eines Aufpralls konfrontiert den Ingenieur mit fast allen Problemen, die eine strukturmechanische Simulation bieten kann. Geometrische Nichtlinerarität (große Geometrieänderungen) und Materialnichtlinearität (Fließen, Reißen) sind Teil eines hoch-dynamischen Vorgangs, bei dem nicht nur Trägheits- und Dämpfungseffekte zu berücksichtigen sind, sondern auch Unstetigkeiten in den Randbedingungen (sich öffnende und schließende Kontakte zwischen Flächen) sowie Gleit- und Reibeffekte. Das Rechenmodell für die Frontalaufprallsimulation (wieder vom Mercedes SLK) besteht aus ungefähr 84.000 Elementen. Im vorderen Bereich, wo die größten Deformationen zu erwarten sind, ist die Diskretisierung im Interesse einer möglichst genauen Abbildung besonders fein. Bereiche, die ohnehin nicht oder kaum verformt werden, kann man zur Verringerung des Rechenaufwands gröber vernetzen.

Finite Elemente in der Automobilentwicklung -7 Ergebnis einer typischen Seitenaufprallsimulation mit etwa 80.000 Schalenele-menten. In diesem Fall ist die Seite des Aufpralls besonders fein elementiert. Eine Barriere mit deformierbarem Stoßkopf aus Aluminiumwaben rammt das Fahrzeug seitlich mit einer Geschwindigkeit von 61 Stundenkilometern. Nach 0,07 Sekunden ist der Deformationsvorgang beendet. Ein Höchstleistungsrechner wie die CRAY T90 benötigt für die Simulation eines Frontalaufpralls etwa 10 Stunden Rechenzeit (netto) bei etwa 400 bis 500 Millionen Rechenoperationen pro Sekunde. Dabei wird der gesamte Crashvorgang von etwa einer Zehntel-sekunde Dauer in rund 170.000 Zeitabschnitten zerlegt.

Finite Elemente in der Automobilentwicklung -8 Leistungsfähige Workstations setzen die Berechnungsergebnisse in realitätsnah schattierte Bilder um (rechts: Simulation eines Aufpralls mit 50 Stundenkilometern gegen eine ebene Wand). Bei Bedarf läßt sich auch ein kompletter Film des fiktiven Ereignisses erzeugen, der die Ergebnisinterpretation erheblich erleichtert. Je nach Bedarf kann man dabei beliebige Strukturteile ein- und ausblenden; so gewinnt man Einblicke, die ein Film von einem echten Crash niemals liefern könnte. Weitere Crash-Berechnungen befassen sich mit anderen Arten des Frontal-aufpralls, dem Heckaufprall, dem Überschlag, dem Zusammenstoß zweier Fahrzeuge in unterschiedlichen Konfigurationen sowie Schlittenversuchen zur Entwicklung von Rückhaltesystemen.

Numerische Lösung von partiellen Dglen - Volumenverfahren 1. Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Gebiete beliebiger Form, für die integrale Bilanzierung möglich ist 2. Statt Maschen und Baisisgebiete Komponenten 3. Mittleres Verhalten aus lokalen Bilanzen 4. Euler-Diskretisierung der Zeit 5. Unregelmäßig strukturierte Gleichungssysteme primär für die Zeitfortschaltung 6. Lösen analog iterativer Verfahren - Iteration als Zeitfortschaltung 7. Darstellung von Zuständen im System

Volumen(Komponenten)basiertes Modell eines Kreislaufs

Diese Fragen sollten Sie beantworten können Wie löst man partielle Dglen numerisch, geben Sie die wichtigsten Methoden und ihre Unterschiede an Was ist die Finite Elemente Methode Geben Sie die Struktur der Matrix einer diskretisierten Helmholtz Gleichung an. Wie unterscheiden sich die Matrizen bei Diskretisierung nach FDM und FEM Wie sind Programme zur Lösung partieller Dglen nach der FEM aufgebaut