Verbindet man das räumlich abzubildende Objekt mit Axonometrie: Verbindet man das räumlich abzubildende Objekt mit einem räumlichen KOS und projiziert beide parallel, dann bezeichnet man das projizierte Bild als axonometrisches Bild, wenn keine der abgebildeten Koordinatenachsen zusammenfallen oder zu einem Punkt entarten. Sind die Projektionsstrahlen senkrecht zur Bildebene, so spricht man von einem normal axonometrischen Riss, sonst von einer schiefen Axonometrie. Aufgabe: geg. sei: axonometrisches KOS = 3 nach Länge und Richtung beliebige Strecken der Ebene, die von einem Punkt OA ausgehen und deren Endpunkte nicht sämtlich auf einer einzigen Geraden liegen. • x P y z O  OA zA xA yA Finde Parallelprojektion, die ein räumliches KOS auf das axonometrische KOS abbildet.

Herleitung der Abbildungsvorschrift: Sind v1, v2, v3 die Verzerrungsfaktoren, die die Längen- verzerrung der Koordinatenachsen bei der Parallelprojekt. angeben, so gilt für jeden Punkt P mit räumlichen Koordi- naten P = (P1, P2, P3) PA = (v1 P1, v2 P2, v3 P3) zA • x PA 1 R • • yA v1 · xA xA

Sei etwa O = OA xA xs yA   zA = yS so folgt Matrixform:

(i) Die Daten vi, ,  ergeben sich aus der Wahl des axon. Bem.: (i) Die Daten vi, ,  ergeben sich aus der Wahl des axon. KOS. Die zugehörige Parallelprojektion ist i.allg. schief. Gelten jedoch die folgenden Beziehungen zwischen den Winkeln ,  der Koordinatenachsen und den Verzer- rungsfaktoren vi, so ist die zugehörige PP orthogonal: zA 90° < i < 180° 3 1 2 xA yA Die Beziehung vi  i ist nicht eindeutig. (ii) Eine Koordinatenebene des Objektraumes wird unver- zerrt dargestellt, wenn sie parallel zur Bildebene  liegt Die Bilder der zugehörigen Koordinatenachsen schlie- ßen dann einen rechten Winkel ein. Die Bildwirkung ist jedoch i.allg. besser, wenn keine der Koordinatenebenen parallel zur Bildebene sind.

Spezielle Axonometrien: 1. orthogonale Axonometrien a) Sind die Verzerrungsfaktoren aller drei Achsen gleich groß, d.h. v1 : v2 : v3 = 1 : 1 : 1, so spricht man von einer isometrischen Axonometrie (Isometrie) zA 30° 30° 2 30° 1 Winkel zur Bildhorizontalen: 30° xA yA 1 = 2 = 3 = 120° b) Dimetrie: {manchmal auch v1 : v2 : v3 = 1 : 1 :beliebig} c) Trimetrie: a, b, c paarw. versch. z. B.:

a) Militärperspektive (Vogelperspektive) 2. schiefe Axonometrien a) Militärperspektive (Vogelperspektive) zA • yA xA b) Kavalierperspektive (Frontalperspektive) zA • yA xA

Bei einer Axonometrie ergeben sich zwei Möglichkeiten Sichtbarkeit: Bei einer Axonometrie ergeben sich zwei Möglichkeiten der Sichtbarkeit: Obersicht und Untersicht. Die Sichtbarkeit kann aus der Lage der Vektoren XA, YA entschieden werden. Sind XA, YA positiv/negativ orientiert, so liegt Obersicht/Untersicht vor. zA zA yA xA xA yA

Übersicht Projektionen Projektionsmethoden Zentralprojektion Parallelprojektion orthogonal schiefwinklig Mehrtafel- projektion normale Axonometrie Kavalier- perspektive Militär- perspektive isometrisch dimetrisch trimetrisch

3.4 3D-Sichttransformationen und Clipping 3D-Graphik Standards: GKS-3D (graph. Kernsystem) Phigs (Programmer's Hierarchical Interactive Graphics System) Verwendung des synthetischen Kameramodells zur Festlegung der Betrachtungsparameter für die Abbildung des 3D-Raumes auf eine 2D-Darstellungsfläche. zu definieren: Position und Orientierung der Kamera, Abbildung sowie Ausschnittsbildung View Reference Point (VRP): Referenzpunkt im Szenen- KOS (WKOS), Ursprung des SichtKOS View Plane (VP): Bildebene Angabe der VP erfolgt über - View Plane Normal (N): Normalenvektor - View Plane Distance (D): Abstand zum VRP N entspricht der Richtung, aus der die Kamera die Szene aufnimmt (Blickrichtung) View Reference Plane: Ebene durch VRP parallel zu VP VuP v • N VRP U view plane

View Coordinale System: (Sichtkoord.system) zv-Achse N yv-Achse Projektion des View up Vectors (VuV) auf die View Plane xv-Achse gemäß Anforderungen des Rechtssystems oBdA: nehme an, dass view plane den VRP enthält. Festlegung des Szenenausschnitts, der abgebildet wird, geschieht durch 1) Wahl eines view windows 2) Festlegung der Projektion durch Projection Reference Point bei ZP ist PRP der Augpunkt bei PP ist die Proj.richtung durch die Richtung PRP  center of window (cw) gegeben view volume: durch front und back plane begrenzter Bildraum

Durchführung der Sichttransformation 1. Transformation des Welt-KOS in das Sicht-KOS 2. Abbildung des Sichtvolumens auf ein normalisiertes achsenparalleles Sichtvolumen PP: VP FP cw BP PRP ° FP VP BP PRP ° Diese Abb. erleichtert sowohl das Clipping als auch die Parallelprojektion 3. Clipping gegen das normalisierte Sichtvolumen (6-Bit-Code) 4. Projektion in die Bildebene (Weglassen der z-Koord.) 5. Transformation in Gerätekoordinaten

Abbildungsvorschrift bei Zentralprojektion: 1. Schritt: Abbildung auf einen regelmäßigen Pyramidenstumpf yv (ymax,d) (d,d) PRP • • dmin PRP d dmax zv dmin d dmax FP FP VP (ymin,d) (-d,d) Viewwindow in x-, y-Ebene (xmin, ymin) u. (xmax, ymax) Abbildung der y- und z-Koordinaten: y' = a y + b z (kein Translationsanteil) z‘ = z dabei wird (ymax, d)  (d, d) (ymin, d)  (-d, d) abgebildet. Einsetzen liefert (2 Gleichungen, 2 Unbek.) analog für die x-Koordinate.

2. Schritt: Abbildung auf den Einheitswürfel y ° • (1, 1) y ° (dmax, dmax,) ° • • • ° z FP VP BP z • (0, 0) -dmin, dmin ° Abbildung der y- und z-Koordinaten: proj. Abb. hat die Form in affinen Koord.

Aufgrund der Homogenitätseigenschaft der projektiven Koordinaten lässt sich einer der 9 Koeffizienten normieren. Da die gesuchte Abb. den Punkt (0, 0) auf einen Fernpunkt (z = ) abbildet, enthält die Abb. den Anteil , d. h. der Koeff. c2 ist und kann daher normiert werden. Durch Einsetzen der Punktpaare (dmin, dmin)  (0, 1), (-dmin, dmin)  (0, 0) (dmax, -dmax)  (1, 0), (dmax, dmax)  (1, 1) erhält man die Abb.: Matrixform:

Beachte, dass man vor der Projektion (Weglassen der z-Kompon.) die affinen Koordinaten erzeugen muss, d.h. Division durch letzte homogene Koordinaten. Gesamtmatrix (für x-,y-,z-Koord. u. beide Abb.schritte) Dx = xmax - xmin Dy = ymax - ymin Sx = xmax + xmin Sy = ymax + ymin  = dmax - dmin