Fehlererkennende Codes Paritätsprüfung Paritätsbit / Prüfbits Ergänzt Bitsumme zu gerader (even) oder ungerader (odd) Anzahl  unterschiedliche Paritätsprotokolle Ungerade Anzahl von Bitfehlern kann erkannt, aber nicht behoben werden Weiterentwicklungen: Hamming-Code, ECC Beispiel (even) 10011101 | P = 1 (5 Einsen) 10100110 | P = 0 (4 Einsen) 1

Fehlererkennende Codes Hamming-Distanz Richard W. Hamming (1915 – 1998) Hamming-Distanz zweier binärer Blöcke gleicher Länge ergibt sich aus Anzahl der Nicht-Übereinstimmungen im bitweisen Vergleich ( Einsen bei XOR-Operation) Hamming-Distanz eines Codes aus Wörtern gleicher Länge: Minimum der paarweisen Hamming-Distanzen

Fehlererkennende Codes Hamming-Distanz kleine Hamming-Distanz  Fehlerkorrektur schwieriger Allgemein: um r Bitfehler korrigieren zu können, muss für die Hamming-Distanz h eines Codes gelten: h ≤ 2r + 1 Beispiel h = 3, c = {010, 101}  alle ungültigen Code- wörter können erkannt und korrigiert werden  {000, 110, 011} für 010

Fehlererkennende Codes Hamming-Code Fehlerkorrigierender Code mit Mindest-Hammingabstand von 3 (7,4) ist einfachster Hamming-Code: 4 Bit Nutzdaten, 3 Prüfbits Hamming-Codes sind perfekt, d.h. jedes Wort ist entweder Codewort oder hat Hamming-Abstand von 1 zu gültigen Codewort Bits werden durchnummeriert, Positionen mit Zweierpotenz werden Prüfbits Paritäten für Reihen von Einzelbits bestimmen ( jedes Bit kann in mehrere Prüfbits eingehen) Erstellung der Kontrollmatrix, Bestimmung der Prüfbits

Fehlererkennende Codes Hamming-Code – Beispiel (15,11)-Code: 00 01 01 11 00 1 1 P3 P2 P1 P0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P0 (20 = 1) P1 (21 = 2) P2 (22 = 4) P3 (23 = 8)

Fehlererkennende Codes Hamming-Code – Beispiel (15,11)-Code: 00 01 01 11 00 1 1 P3 P2 P1 P0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P0 (20 = 1) x P1 (21 = 2) P2 (22 = 4) P3 (23 = 8)

Fehlererkennende Codes Hamming-Code – Beispiel (15,11)-Code: 00 01 01 11 00 1 1 P3 P2 P1 P0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P0 (20 = 1) x P1 (21 = 2) P2 (22 = 4) P3 (23 = 8)

Fehlererkennende Codes Hamming-Code – Beispiel (15,11)-Code: 00 01 01 11 00 1 1 P3 P2 P1 P0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P0 (20 = 1) x P1 (21 = 2) P2 (22 = 4) P3 (23 = 8)

Fehlererkennende Codes Hamming-Code – Beispiel (15,11)-Code: 00 01 01 11 00 1 1 P3 P2 P1 P0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P0 (20 = 1) x P1 (21 = 2) P2 (22 = 4) P3 (23 = 8)

Fehlererkennende Codes Hamming-Code – Beispiel (15,11)-Code: 00 01 01 11 00 1 1 P3 P2 P1 P0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P0 (20 = 1) x P1 (21 = 2) P2 (22 = 4) P3 (23 = 8)

Fehlererkennende Codes Hamming-Code – Beispiel (15,11)-Code: 00 01 01 11 00 1 1 P3 P2 P1 P0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P0 (20 = 1) x P1 (21 = 2) P2 (22 = 4) P3 (23 = 8) usw.

Fehlererkennende Codes Hamming-Code – Beispiel (15,11)-Code: 00 01 01 11 00 1 1 P3 P2 P1 P0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P0 (20 = 1) x P1 (21 = 2) P2 (22 = 4) P3 (23 = 8)

Fehlererkennende Codes Hamming-Code – Beispiel (15,11)-Code: 00 01 01 11 00 1 1 P2 P1 P0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P0 (20 = 1) x P1 (21 = 2) P2 (22 = 4) P3 (23 = 8)  gerade Anzahl

Fehlererkennende Codes Hamming-Code – Beispiel (15,11)-Code: 00 01 01 11 00 1 1 P1 P0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P0 (20 = 1) x P1 (21 = 2) P2 (22 = 4) P3 (23 = 8)

Fehlererkennende Codes Hamming-Code – Beispiel (15,11)-Code: 00 01 01 11 00 1 1 P0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P0 (20 = 1) x P1 (21 = 2) P2 (22 = 4) P3 (23 = 8)

Fehlererkennende Codes Hamming-Code – Beispiel (15,11)-Code: 00 01 01 11 00 1 P0 = 1, P1 = 1, P2 = 0, P3 = 1 1 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P0 (20 = 1) x P1 (21 = 2) P2 (22 = 4) P3 (23 = 8)

Fehlererkennende Codes Hamming-Code – Beispiel (Erkennung) (15,11)-Code: 000 101 110 000 111 1 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P0 (20 = 1) x P1 (21 = 2) P2 (22 = 4) P3 (23 = 8) Fehler bei P0, P1 und P2  Fehler an Stelle 20 + 21 + 22 = 1 + 2 + 4 = 7

Fehlererkennende Codes CRC – zyklische Redundanzprüfung CRC beruht auf Polynomdivision, d.h. Folge von zu übertragenden Bits wird als Polynom betrachtet Ablauf Bitfolge wird um Grad(G(x)) Nullen ergänzt und durch festgelegtes Polynom G(x) (Generatorpolynom) geteilt (mit Rest!) Rest wird bei Übertragung an Datenblock angehängt Empfangener Datenblock wird wieder durch Generatorpolynom geteilt, bei fehlerfreier Übertragung bleibt Rest 0

Fehlererkennende Codes CRC – Beispiel Datenframe: 1101011011 Generator: G(x) = x4 + x + 1 (10011) 1101011011

Fehlererkennende Codes CRC – Beispiel Datenframe: 1101011011 Generator: G(x) = x4 + x + 1 (10011) 11010110110000

Fehlererkennende Codes CRC – Beispiel Datenframe: 1101011011 Generator: G(x) = x4 + x + 1 (10011) 11010110110000 10011

Fehlererkennende Codes CRC – Beispiel Datenframe: 1101011011 Generator: G(x) = x4 + x + 1 (10011) 11010110110000 10011 10110

Fehlererkennende Codes CRC – Beispiel Datenframe: 1101011011 Generator: G(x) = x4 + x + 1 (10011) 11010110110000 10011 10110 10100

Fehlererkennende Codes CRC – Beispiel Datenframe: 1101011011 Generator: G(x) = x4 + x + 1 (10011) 11010110110000 10011 10110 10100 1110

Fehlererkennende Codes CRC – Beispiel Datenframe: 1101011011 Generator: G(x) = x4 + x + 1 (10011) 11010110110000 10011 10110 10100 1110 Anmerkung Bestimmte Generatorpolynome empirisch besser geeignet  CRC-32 CRC-16