Der Funktionsbegriff Wie sich dem Begriff der Funktion im Mathematikunterricht didaktisch sinnvoll nähern ?

Der Funktionsbegriff Kurze Einleitung Die Veranschaulichung von Funktionen und Abbildungen nach Hans Freudenthal Beispiel aus der Graphenmethode nach Hubertus Stellmacher Der Funktionsbegriff nach Arnold Kirsch Im Taschenrechner Definition Darstellungsweisen Eigenschaften

Vier Funktionen ? f: R  R mit f(x) = sin x f: R+  R mit f(x) = sin x f: R  [-1,1] mit f(x) = sin x f: R+  [-1,1] mit f(x) = sin x

Hans Freudenthal (1905 bis 1990) gefunden: http://www.fi.uu.nl/hf100/images/hansfreudenthal.jpg, am 10.11.2006

Beispiele für Funktionen Preis als Funktion der Quantität einer Ware Rabatt als Funktion des Rechnungsbetrags Zinsen als Funktion der Zeit Zurückgelegter Weg als Funktion der Zeit Gewicht eines Stoffes als Funktion des Volumens Lebensalter als Funktion der Jahreszahl Temperatur als Funktion der Zeit  Beispiele theoretischer oder empirischer Funktionen, nahe der erlebten Realität

Beispiele für Funktionen Volumen als Funktion der Kantenlänge auch: Sinus, Kosinus, Logarithmus Die Höhe, bis zu der eine Flüssigkeit in einem zylindrischen Glas steigt als Funktion der Flüssigkeitsmenge (  Stellmacher: Graphenmethode am Beispiel )

Die graphische Darstellung

Ein Beispiel: Die Vierergruppe Abstrakt: Gruppe mit Gruppentafel Konkreter: Permutationsgruppe von vier Symbolen: {1,2,3,4} e1=1 e2=2 e3=3 e4=4 a1=2 a2=1 a3=4 a4=5 b1=3 b2=4 b3=1 b4=2 c1=4 c2=3 c3=2 c4=1 e a b c glubbernaschtirattelschneck

Die Vierergruppe a: Die Schüler in A und B tauschen ihre Plätze, ebenso die in C und D b: Die Schüler in A und C tauschen ihre Plätze, ebenso die in B und D c: Die Schüler in A und D tauschen ihre Plätze, ebenso die in B und C A B C D

Die Vierergruppe A B C D a: Arthur gg. Bettina und Charlotte gg. David b: Arthur gg. Charlotte und Bettina gg. David c: Arthur gg. David und Bettina gg. Charlotte A B C D

Die Vierergruppe Einerseits: a: Formvertauschung b: Farbvertauschung c: Form- und Farbvertauschung Andererseits: a: tausche oben und unten b: tausche links und rechts c: tausche sowohl oben und unten als auch links und rechts

Was ist passiert ? Versetzungsregel oder Verwandlungsregel ?

Fehler in der Durchführung an einem Beispiel i: Identität a: Bettina gg. Charlotte b: Arthur gg. Charlotte c: Arthur gg. Bettina r: Jeder gehe eins nach rechts l: Jeder gehe eins nach links A B C

Fehler in der Durchführung an einem Beispiel Prüfe Assoziativität: b ( r a ) = l aber ( b r ) a = i A B C

Fehler in der Durchführung an einem Beispiel i: Identität a: Bettina gg. Charlotte b: Arthur gg. Charlotte c: Arthur gg. Bettina r: Jeder gehe eins nach rechts l: Jeder gehe eins nach links A B C

Zur Unterscheidung Versetzungen: In einer Menge von Plätzen gibt die Regel f an, dass das Objekt in x nach fx versetzt wird. Für f ist sind die Objekte auf den Plätzen unwesentlich. Was mit x geschieht, hängt nicht von seiner Art, nur vom Platz ab. (Wo bin ich ?) Verwandlungen: In einer Menge von Objekten gibt die Regel f an, dass das Objekt x in fx verwandelt wird. Für f ist sind die Plätze der Objekte unwesentlich. Was mit x geschieht, hängt nicht von seinem Platz, nur von seiner Art ab. (Wer oder was bin ich ?)

Die Herausbildung des Funktionsbegriffes Grundvorstellungen von Funktionen & Abbildungen beeinflusst und verändert Definition von „Funktionen“ „verstehen“ bilden heraus wirkt auf & nutzt formalisiert & formuliert führt zu Lehrer natürlicher Abbildungsbegriff

Der beabsichtigte Bogen Die Grundvorstellungen der Schüler nutzen ein natürlicher Abbildungsbegriff Maschinen, (Super-) Operatoren, Pfeile, Rechenschieber graphische Darstellung einfach und anschaulich: Translationen in der Ebene schwierig: Mehrere Abbildungen zugleich in einem anschaulichen Bild  ein Beispiel aus dem Unterricht: das Spiel mit der Vierergruppe Analyse und Bewertung  Gegenüberstellung erarbeiten Funktionsdefinition / Funktionsdarbietung Definition als „Prozess des Definierens“, psychologische Voraussetzungen des Begriffs, eine operationale Definition geleitet von der Frage: Wie mit Funktionen hantieren ? Zwei Wege zum Funktionsbegriff: „ein Gesetz, das …“ und „eine Teilmenge von …“

Wie den Funktionsbegriff didaktisch bringen ? Entlang des Weges der Verbalisierung („ein Gesetz, das ...“)  intensionale Definition Entlang des Weges der Formalisierung („eine Teilmenge von ...“)  extensionale Definition

Wie den Funktionsbegriff didaktisch bringen ? Punkt 1: Einfachheit und Anschaulichkeit der Struktur. Kann durch „Teilmenge“ und „Relation nur verdunkelt werden. Punkt 2: Zusammensetzen, Hintereinanderausführen von Funktionen Punkt 3: Praktischer Nutzen des Relationsbegriffes im Mathematikunterricht

Der Funktionsbegriff im Unterricht Der Funktionsbegriff und seine Darstellungen

Einleitung mal etwas anders Welche Vorstellung verbindet ihr mit dem Wort Kuchen? Welche Vorstellung verbindet ihr mit dem Begriff Auto?  Jeder hat zu einem gewissen Begriff seine individuelle Vorstellung

Einleitung mal etwas anders Was verbindet ihr mit dem Begriff Funktion? Wie wurde der Begriff Funktion in der Schulzeit eingeführt?  Die Grundvorstellungen der Schüler werden durch die Art und Weise der Darstellung im Unterricht entscheidend mitgeprägt.

Eine Form der Definition Gegeben seien zwei nichtleere Mengen A und B. Ist in einer bestimmten Weise jedem Element aus A genau ein (wohlbestimmtes) Element y aus B zugeordnet, so nennt man diese Zuordnung Funktion f mit Definitionsmenge (Definitionsbereich) A und Zielmenge B oder auch Abbildung f von der Menge A in die Menge B. nach A. Kirsch

Darstellungsweisen für Funktionen Verbale Beschreibung von Definitionsbereich und Zuordnung Beschreibung mittels Rechenausdrücken Darstellung mittels Pfeildiagramm Darstellung mittels Wertetafel Darstellung einer Funktion f : A  B als Paarmenge

Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge und Nachteile Das Pfeildiagramm Vorteile - Definition lässt sich leicht daran erläutern und nachvollziehen - Zielmenge ist nicht gleich Wertebereich leicht darstellbar Nachteile - A und B müssen nicht disjunkt sein - Unendliche Mengen lassen sich nur andeutungsweise darstellen zurück A B

Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge und Nachteile 2. Die Wertetabelle Vorteile - Die Zuordnung lässt sich leicht erkennen - Definition lässt sich daran gut zeigen Nachteile - unendlicher Definitionsbereich lässt sich nur andeutungsweise darstellen zurück Schüler X Gewicht von x in Kg Max 39 Andrea 35 Martin 46 Christian Birte 30 Ute 34 Nana 36 Philipp 38 Moritz 40

Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge und Nachteile 3. Der Graph Vorteile - Definition ist leicht überprüfbar - sehr anschaulich und übersichtlich - Zusammenhänge sind gut sichtbar Nachteile - kann beim Schüler implizieren, dass Funktionen immer so aussehen - Schüler wird auf Funktionen R  R festgelegt zurück

Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge und Nachteile 4. Mittels Rechenausdruck Vorteil - Notwendigkeit für praktische Arbeit, z.B. Ableitungen Nachteile - nicht jede Funktion darstellbar Bsp.: f : N  N mit f(n) := die kleinste Primzahl p, p≥ n ist. Bsp. f(x)=x²+x+1 f(t)=√t +1 t≥0

Darstellungsweisen von Funktionen – ihre Vorzüge und Nachteile 5. Verbale Beschreibung - macht sich gut zur Hinführung zum Funktionsbegriff - Mengen die man betrachtet müssen keine Zahlmengen sein - der Unterschied zwischen einzelnen Funktionen wird hier sehr deutlich (Definitionsbereich, Wertebereich) Bsp: Jedem Menschen aus der Menge der Menschen wird seine Mutter zugeordnet. Jedem Menschen wird sein Elternpaar zugeordnet

Mögliche Schreibweisen für Funktionen f(x) = x² - 3x + 2 x  x² - 3x + 2 (lx) (x² - 3x + 2) nach Church (x² - 3x + 2) nach Russel |(x² - 3x + 2) nach Freudenthal

Eigenschaft Injektivität 1. Rechenausdruck: Jede Gleichung f(x)=y hat bei gegebenen y höchstens eine Lösung. 2. Pfeildiagramm: Niemals kommen zwei Pfeile an einem Punkt in B an 3. Graph wenn zwei Paare (Punkte) im zweiten Glied übereinstimmen, so auch im ersten 4. Wertetabelle In der rechten Spalte kommen keine Werte doppelt vor außer wenn in A doppelte Wertepaare auftreten

Eigenschaft Surjektivität 1. Rechenausdruck Für jedes y aus B hat die Gleichung f(x)=y mindestens eine Lösung 2. Pfeildiagramm In jedem Punkt von B kommt mindestens ein Pfeil an 3. Graph Zu jedem y aus B gibt es mindestens ein Paar (Punkt) dessen zweites Glied es ist. 4. Wertetabelle Jedes Element aus B kommt in der Spalte der Funktionswerte vor.

Eigenschaft Monotonie Graph 2. Pfeildiagramm Bsp: f(x)[x] siehe Tafel

Verwendete Quellen Arnold Kirsch (1994): „Mathematik richtig verstehen“, Kapitel 8, Aulis Verlag Hans Freudenthal (1979): „Mathematik als pädagogische Aufgabe“, Kapitel 15, Klett Verlag Gerd von Harten u.a. (1986): „Funktionsbegriff und funktionales Denken“, Kapitel 2 f, Aulis Verlag Werner Küstenmacher u.a. (2003): „Mathe Macchiato“, Pearson Studium