Was verstehen Motten von höherer Mathematik – oder

Präsentation zum Thema: "Was verstehen Motten von höherer Mathematik – oder"—  Präsentation transkript:

1 Was verstehen Motten von höherer Mathematik – oder
was ist eine „Mottenkurve“? Orientierung am Stand von Sonne und Mond Konstruktion einer „Mottenkurve“ Funktionsgleichung einer „Mottenkurve“

2 Viele Insekten orientieren sich am Sonnenstand.
Bienen berechnen auch die Änderung des Sonnenstandes mit ein und finden so ihre Futterstelle wieder. Auch Ameisen sind Meister der Navigation.

3 Die Strahlen der weit entfernten Sonne kommen praktisch parallel an
Die Strahlen der weit entfernten Sonne kommen praktisch parallel an. Ein Insekt, das in einem konstanten Winkel zu diesen Strahlen fliegt, bewegt sich geradeaus – eine sinnvolle Strategie!

4 Ist die Lichtquelle nicht die Sonne oder der Mond, so hat das Einhalten eines konstanten Winkels fatale Folgen:

5 Es sei a der Flugwinkel gegenüber der Richtung zum Licht,
Ds das in einem kurzen Zeitintervall zurückgelegte Wegstück. Es gilt cos a = Dr / Ds . Für kleines Ds können wir die Bewegung auf der „Mottenkurve“ näherungsweise als Kreisbewegung auffassen. Dann gilt Ds » r · Df

6 Wir übernehmen cos a = Dr / Ds bzw. Dr = Ds · cos a
und Ds » r · Df Für kleine Wegstücke ist Dr ungefähr die Änderung des Abstandes r vom Zentrum und Dr » r · Df · cos a Nach leichter Umformung ist Dr / Df » r · cos a

7 Dr / Df » r · cos a Die „Mottenkurve“ lässt sich im Polarkoordinatensystem durch eine Funktion r = f(f) beschreiben. Dr / Df ist im Grenzfall die Ableitung dieser Funktion, d.h. f‘(f) = f(f) · cos a Die einzige Funktion, mit der ein solcher Zusammenhang richtig wiedergegeben werden kann, ist r = f(f) = a · exp(- cos a · f)

8 r = f(f) = a · exp((- cos 75°) · f)
Weiter „innen“ machen sich die Abweichungen durch die großen Schritte stärker bemerkbar.

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11 Quellen: Johanna Heitzer: Spiralen – ein Kapitel phänomenaler Mathematik, Klett-Verlag 1998