Numerische Methoden Vorlesung im Rahmen des Diplomstudienganges Energie- und Anlagentechnik Version 2, SS 2003 F. Schmidt Teil 1: Modellierung technischer Probleme Teil 2: Rechner als endliche Maschine Teil 3: Grundoperationen auf diskretisierte Funktionen Teil 4: Differentialgleichungen Ergänzung: Übungen zu numerischen Methoden

Vorbemerkung Die Vorlesung Numerische Methoden versteht sich als Experimentalvorlesung. Sie besteht daher aus vier wesentlichen Einheiten: In diesem Skript sind Grundideen und Eigenschaften numerischer Verfahren zur Lösung von Basisproblemen des Maschinenbaus zusammengestellt. Sie werden in der Vorlesung (V) erläutert und durch Computerexperimente (E) veranschaulicht. Diese Computerexperimente bilden die zweite wichtige Einheit. Elemente aus ihr werden zum einen in der Vorlesung verwendet und stehen zum anderen im Netz für ergänzende Untersuchungen zur Verfügung. Sie sind dort zusätzlich mit erläuternden Texten versehen. Die dritte Einheit bilden die Übungen (Ü) parallel zur Vorlesung. In ihnen wird der Stoff anhand ausgewählter Computerexperimente vor allem auf Basis von Excel und Matlab vertieft. Abschließend wird gezeigt, wie man nach Software zur Lösung numerischer Probleme im Internet suchen kann.

Das sollten Sie heute lernen Was ist das Ziel der Vorlesung Wie ist die Vorlesung aufgebaut Wie gestalte ich meine Teilnahme am effektivsten Warum sind Modelle der Ausgang der Überlegungen Wie modellieren wir technische Systeme

Ansprechpartner Vorlesung Praktikum und Übungen: Prof. Dr.-Ing. habil. F. Schmidt Telefon: 0711/685-2116 E-Mail: fritz.schmidt@ike.uni-stuttgart.de Anschrift: Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Abt. Wissensverarbeitung und Numerik (WN) Universität Stuttgart Pfaffenwaldring 31 D-70569 Stuttgart Praktikum und Übungen: Darko Sucic Telefon: 0711/685-2492 E-Mail: sucic@ike.uni-stuttgart.de Telefax: 0711/685-2010 http://www.ike.uni-stuttgart.de/~www_wn/wnhome.html Folgende Informationen finden Sie auch im Netz: Skript zur Vorlesung Stand März 2002 Hinweise auf numerische Bibliotheken: Vorlesung 12 - nur INTERNET-Version Unterlagen zu Computerexperimenten Vorgehensmodell Studien- und Diplomarbeiten Themen für Studien- und Diplomarbeiten

Inhalt Teil 1 und Teil 2 Teil 1: Modellierung technischer Probleme V1: Lösung technischer Probleme auf Rechnern 22.04.03 • Einführung in die Vorlesung • Modelle als Basis numerischen Rechnens Teil 2: Rechner als endliche Maschine V2: Modellieren auf endlichen Maschinen 29.04.03 • Warum Computerrechnungen immer fehlerbehaftet sind • Vom Rechnen mit Zahlen, Modulen und Komponenten • Bessere Rechner via bessere Verfahren V3: Rechnen auf endlichen Maschinen 06.05.03 • Rundungsfehler • Diskretisierung von Funktionen E1: Berechnung der Zahl e, Fehlerfortpfalnung E2: Näherung eines Polynomes nach verschiedenen Ansätzen Ü1: Numerik mit Excel und Matlab V4: Operationen auf diskrete Werte am Beispiel iterativer Verfahren 13.05.03 • Nullstellensuche • Nichtlineare Gleichungen E3: Bestimmung von x aus ax2 - b = 0 nach verschiedenen Verfahren

Inhalt Teil 3 und Teil 4 Teil 3: Grundoperationen auf diskretisierte Funktionen V5: Integration 27.05.03 • Verfahren nach Newton und Gauss Ü2: Integration V6: Differenzieren von Funktionen 03.06.03 • Differenzenverfahren • Vorwärts-Rückwärts- und zentrale Differenzen Ü3: Differenzieren Teil 4: Differentialgleichungen V7: Gewöhnliche Differentialgleichungen 10.06.03 • Das Anfangswertproblem • Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren E4: Stationäre Wärmeleitung in einer Dimension, Bewegungsgleichung für freien Fall Ü4: Differentialgleichungen V8: Partielle Dglen oder alternativ Gew. Dglen Anwendungen 17.06.03 • Grundbegriffe • Diskretisierung nach dem Differenzenverfahren E5: Transiente Wärmeleitgleichung in einer Dimension, Stationäre Wärmeleitung in 2 Dimensionen Ü5: Lösung der transienten Wärmeleitgleichung in Excel

Inhalt Teil 5 Teil 5: Systeme linearer Gleichungen V9: Beschreibung der Systeme: Matrizen und ihre Speicherung 24.06.03 Definitonen und Rechenregeln Spezielle Matrizen Kennzahlen Speicherung V10: Lösung von linearen Gleichungssystemen 1 03.07.03 Direkte Verfahren V11: Lösung von linearen Gleichungssystemen 2 10.07.03 Iterative Verfahren Verfahren der konjugierten Gradienten E6: Gleichungslöser im Vergleich Ü6: Lösung von Gleichungssystemen mit Matlab V12: Numerik im Internet 17.07.03 Vorbereitung auf die Prüfung E7: Suchen im Netz

Literatur / 1/ Böhm, Gose, Kahman: Methoden der Numerischen Mathematik. Vieweg / 2/ Björck, Dahlquist: Numerische Methoden. Oldenburg Verlag. / 3/ Becker, et al.: Numerische Mathematik für Ingenieure. Teubner. / 4/ Engeln-Müllges, Reuter: Numerische Mathematik für Ingenieure. BI / 5/ Richter: Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen mit der Finite-Elemente-Methode. Vieweg. / 6/ Maess: Vorlesung über numerische Mathematik 1. UTB - Große Reihe. / 7/ Schwarz: Numerische Mathematik. Teubner. / 8/ Schwarz: Methode der finiten Elemente. Teubner. /9/ Schwarz: Fortran Programme zur Methode der finiten Elemente. Teubner. /10/ Stiefel: Einführung in die numerische Mathematik. Teubner. /11/ Noble: Numerisches Rechnen. Band 1 und Band 2. BI. /12/ Stoer: Einführung in die numerische Mathematik. Heidelberger Taschenbücher. /13/ Press et al.: Numerical Recipies. Cambridge University Press. /14/ Young, Gregory: A Survey of Numerical Mathematics. Addison-Wesley. /15/ Carnahan et al.: Applied Numerical Methods. John Wiley + Sons, Inc. /16/ Schäfer: Numerik im Maschinenbau, Springer Lehrbuch. /17/ Cheney, Kincaid: Numerical Mathematics and Computing. Brooks/Cole Pub. Comp.

V 1 Modelle als Basis numerischen Rechnens Teil I: Modellierung technischer Probleme Kap. 1: Modelle als Basis numerischen Rechnens Inhalt: Modellierung Simulation Grundmodelle technischer Systeme

Bildung von Modellen - Ziel Problem physikalisches Modell mathematisches Modell Analyse des mathe- matischen Modells Existenz von Lösungen numerisches Modell Konsistenz, Konvergenz Simulation Daten- Beschaffung Modul Verknüpfung Analyse und Darstellung der Ergebnisse

Bildung von Modellen -Problem physikalisches Modell mathematisches Modell Analyse des mathe- matischen Modells Existenz und Lösungen numerisches Modell Konsistenz, Konvergenz Entwurf und Implementierung eines Programmes Simulation Daten- Beschaffung Modul Verknüpfung Analyse und Darstellung der Ergebnisse

Wärmebedarf eines Wohngebäudes Ta Transmissions- verluste Solare Wärmegewinne Lüftungs- Ti Interne Wärmebedarf

Bildung von Modellen - Physik Problem physikalisches Modell mathematisches Modell Analyse des mathe- matischen Modells Existenz und Lösungen numerisches Modell Konsistenz, Konvergenz Entwurf und Implementierung eines Programmes Simulation Daten- Beschaffung Modul Verknüpfung Analyse und Darstellung der Ergebnisse

Physikalisches Modell Zonenweise stationäre Energiebilanz bei vorgegebener Sollinnentemperatur Gesucht: Heiz-Wärmebedarf Q

Bildung von Modellen - Mathematik Problem physikalisches Modell mathematisches Modell Analyse des mathe- matischen Modells Existenz und Lösungen numerisches Modell Konsistenz, Konvergenz Entwurf und Implementierung eines Programmes Simulation Daten- Beschaffung Modul Verknüpfung Analyse und Darstellung der Ergebnisse

Mathematisches Modell Transmissionsverluste: Lüftungsverluste: Interne Wärmegewinne: Solare Wärmegewinne bleiben unberücksichtigt Mittlere interne Wärmegewinne auf der Basis eines durchschnittlichen 2,7-Personenhaushaltes pro Tag und Wohnraumfläche Die Differenzengleichungen können auch als Differentialgleichungen oder als Integralgleichungen formuliert werden. Je nach Art der mathematischen Formulierung werden andere Aspekte des physikalischen Modells betont.

Grundmodelle technischer Vorgänge Basismodell Erhaltungsgleichungen für Masse, Energie und Impuls in komponentenspezifischer Formulierung Grundform zeitliche Änderung einer Systemgröße y = Differenz aus Quellen und Senken Simulationsmodelle erfordern mathematische Modelle und darauf abgestimmte Daten Datenmodelle müssen Semantik des Weltausschnittes und der Modellierung seines Verhaltens enthalten (Ontologie) Mathematische Modelle a) differentielle Betrachtungsweise Das ist gewöhnliche Differentialgleichung am Ort xi b) Integrale Betrachtungsweise an Zeitpunkten tn und tn+1 Das ist eine Integralgleichung c) Systeme von Differentialgleichungen erhält man, wenn - mehrere Systemgrößen und - mehrere Ortspunkte zu berücksichtigen sind.

Komponentenbasiertes Modell eines Kreislaufes

Eigenschaften von Modellen - beschreiben Ausschnitt der Welt - haben beschränkte Gültigkeit - unterliegen vielen Fehlerquellen Ÿ Modelle sind - nicht wahr, aber brauchbar - nicht verifizierbar, aber validierbar - nicht richtig, aber nützlich Ÿ Modellergebnisse benötigen - Interpretation - Validierung - Daten

Nutzen besserer Modelle im Maschinenbau Interpolation zwischen Meßwerten (Verringerung teuerer Messungen) Korrelation verschiedener Bereiche (Gesamtschau statt Einzeleffekt) Untersuchung von alternativen Lösungen (Variantenkonstruktion) Optimierung des Betriebs unter aktuellen Randbedingungen Untersuchungen in Grenzbereichen (Störfallsimulation) Und immer mehr Computational Engineering oder Ergänzung der realen Anlagen durch virtuelle Anlagen und Systeme

LBNL Entwicklungsumgebung für virtuelle Gebäude instrumentation space needs energy efficiency air quality green building measurements … performance metrics design develop constr. docs construction schem bids commissioning occupancy benchmarks diagnostics charrettes discussion presentations design workshops virtual building time real building simulated data real data TOOLS: ArchiCAD SMC DOE-2 COMIS BS Pro E+Client PVSYST PEWin 4-D Art-lantis Radiance …

VDI-Definitionen zur Modellierung durch Simulation -1 VDI-Richtlinie 3633 (Beuther Verlag, Berlin 1996) definiert den Begriff des Systems “Abgegrenzte Anordnung von Komponenten, die miteinander in Beziehung stehen. Es ist gekennzeichnet durch: - Systemgrenze, Systemein- und ausgangsgrößen - Subsysteme, Systemelemente, - Aufbaustruktur - Ablauflogik - Zustandübergänge und -größen“, den Begriff des Modells „Ein Modell ist eine vereinfachte Nachbildung eines existierenden oder gedachten Systems mit seinen Prozessen in einem anderen begrifflichen oder gegenständlichen System. Es unterscheidet sich hinsichtlich der unter-suchungsrelevanten Eigenschaften nur innerhalb eines vom Untersuchungsziel abhängigen Toleranzrahmens vom Vorbild“. Es wird genutzt, um eine bestimmte Aufgabe zu lösen, deren Durchführung mittels direkter Operationen am Original nicht möglich oder zu aufwendig wäre. - Gedankliches Modell: Modell, das noch nicht in ein Simulationsmodell umgesetzt wurde. - Experimentierbares Modell oder Simulationsmodell: Reales Modell, das aus dem gedanklichen Modell entstand und mit dem Experimente durchgeführt werden können.“

VDI-Definitionen zur Modellierung durch Simulation -2 Den Prozeß der Modellierung „Die Modellierung umfaßt bei der Simulation das Umsetzen eines existierenden oder gedachten Systems in ein experimentierbares Modell“, und der Begriff der Simulation: „Simulation ist ein Verfahren zur Nachbildung eines Systems mit seinen dynamischen Prozessen in einem experimentierbaren Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind. Im weiteren Sinne wird unter Simulation das Vorbereiten, Durchführen und Auswerten gezielter Experimente mit einem Simulationsmodell verstanden. Mit Hilfe der Simulation kann das zeitliche Ablaufverhalten komplexer Systeme untersucht werden“. Auf Basis des Modells vom Verhalten eines Systems können Entwurf und Steuerung von Anlagen geplant werden. Die Steuerung geschieht über die Leittechnik. Die VDI-Richtlinie 3814 definiert als Aufgaben und Zielsetzung beim Einsatz von Gebäudeleittechnikanlagen das Leiten (DIN 19222) von betriebstechnischen Anlagen, d.h. die "Übernahme oder Unterstützung folgender Aufgaben: - Anlagenautomation - Betriebskontrolle - Betriebsführung - Archivierung - Betriebsanalyse - Energiemanagement - Instandhaltungsmanagement." Als wesentlichstes Element wird der Erhalt der Selbständigkeit der betriebstechnischen Anlagen gefordert.

Diese Fragen sollten Sie beantworten können Was ist das Ziel der Vorlesung Was ist ein Modell Wie sind Technische Modelle strukturiert Was sind die mathematischen Grundbeziehungen technischer Modelle