Lösung von linearen Gleichungssystemen - Grundlagen Zu Lösen ist ein Gleichungssystem: A x = b dabei sind A eine n*n Matrix, x der Vektor der Unbekannten und b der Vektor der rechten Seite. Lösung ist wo die Inverse von A ist Bei den Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen unterscheiden wir zunächst zwischen direkten und iterativen Verfahren. Direkte Verfahren lassen sich in der Regel in zwei Schritte unterteilen. Im ersten erfolgt eine Transformation der Systemmatrix derart, dass die neue Matrix leicht invertierbar wird. Leicht invertierbare Matrizen sind Diagonalmatrizen, Tridiagonale Matrizen und Dreiecksmatrizen. Im zweiten Schritt erfolgt die eigentliche Inversion. Bei iterativen Verfahren wird die Systemmatrix aufgespalten in einen Teil, der leicht invertierbar ist und einen Rest, der im Gleichungssystem der rechten Seite zugeschlagen wird. Die rechte Seite kann daher nur näherungsweise bestimmt werden. Die Näherung ist in den verschiedenen Iterationsschritten zu verbessern. In diesem und im nächsten Kapitel werden direkte und iterative Verfahren vorgestellt. Außerdem werden einige Hinweise auf modernere Verfahren (konjugierte Gradienten Verfahren) gegeben.

Das sollten Sie heute lernen Was sind große, dünnbesetzte Matrizen Was sind Kennzahlen Was ist eine Norm und zu was braucht man sie Wie speichert man große Matrizen Wie hängen Speicherung und Effektivität von Rechenmethoden zusammen

Eigenschaften großer, dünnbesetzter Matrizen Diskretisiert man Variablen, so erhält man Vektoren. Bestehen zwischen Variablen Beziehungen in Form von Gleichungen, so führt die Diskretisierung auf Gleichungssysteme. In Gleichungssystemen werden Variablen durch Vektoren und ihre Verbindung über Matrizen beschrieben. Matrizen sind Gebilde aus n•n Zahlen, Funktionen oder Operatoren. Bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen entstehen große (n, m >> 106) und in der Regel dünnbesetzte Matrizen (nur etwa 10 n Elemente ungleich Null). Im Folgenden werden Eigenschaften dünn- besetzter Matrizen beschrieben, die im Kontext der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen Bedeutung haben.

Rechenregeln Bezeichnung: Identität: Zwei Matrizen sind dann und nur dann gleich, wenn ihre Elemente gleich sind

Rechenregeln: Multiplikation/Division

Spezielle Matrizen - 1

Spezielle Matrizen - 2 Bidiagonalmatrix Bandmatrix mit m = 2 Tridiagonalmatrix Bandmatrix mit m = 3

Spezielle Matrizen - 3 Hesse-Matrix: Spezialfall der Jakob-Matrix, wenn nicht eine Transformation, sondern ein Gleichungs- system darstellt. Teilmatrix Untermatrix einer Matrix Blocktridiagonale Matrix Tridiagonale Matrix mit Teilmatrizen als Elementen Hypermatrix Indizierungsmatrix eines Systems von Teilmatrizen. Für Hypermatrizen gelten ähnliche Rechenregeln wie für Matrizen !

Einfache Kenngrößen: Determinante Für viele Zwecke ist es nützlich, die Informationen einer Matrix in Kennzahlen zusammenzufassen. Dabei können nur bestimmte Aspekte berücksichtigt werden, entsprechend existieren eine Vielzahl von Kenngrößen. Rechenregeln Die Bedeutung der Determinante kann am Beispiel der Cramer‘schen Regel zur Gleichungsauflösung gezeigt werden.

Einfache Kenngrößen: Spur und Rang Definition: Eine Matrix ist vom Rang r, wenn alle Unterdeterminanten der Ordnung r + 1 verschwinden und mindestens eine Unterdeterminante der Ordnung r nicht verschwindet. Bedeutung Maß für Singularität auch nichtquadratischer Matrizen (dort r  min (m, n)) Definition von linearer Abhängigkeit: Der Rang r einer Matrix ist die Zahl ihrer linear unabhängigen Zeilen - oder Spaltenvektoren.

Quadratische Formen d) Quadratische Formen Definition: Bedeutung: erlaubt Definition positiv definiter Matrizen e) Positiv definit Definition: eine Matrix ist positiv definit, wenn ihre quadratische Form für alle reellen {X} größer 0 ist. Bedeutung: Positiv definite Matirzen haben ein angenehmes numerisches Verfahren. Sie sind häufig diagonal dominant (dominante Diagonalelemente). Ihre Eigenwerte sind positiv. Sie entstehen häufig aus Energie- und Minimalisierungsprinzipien.

Eigenwerte(EW ) und Eigenvektoren(EV ) Definition Die homogene Gleichung hat nur für bestimmte Werte von -Lösungen. Diese Werte heißen Eigenwerte, die zugehörigen Lösungsvektoren sind die Eigenvektoren. Bestimmung der Eigenwerte über die charakteristische Gleichung. Man erhält sie, wenn man die Determinante des Eigenwertproblems bildet. Die charakteristische Gleichung lautet: Ist eine n-reihige quadratische Matrix so gilt: besitzt genau n Eigenwerte als Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Nur für diese Werte existieren Eigenlösungen oder Eigenvektoren Eigenvektoren sind nur bis auf Konstante bestimmt, sie müssen normiert werden. Oft Norm 1: EV zu verschiedenen EW sind linear unabhängig, es können ihren Richtungen, die Eigenrichtungen zu zugeordnet werden. Daraus folgt, dass ein beliebiger Vektor nach den EV entwickelt werden kann: Für die Entwicklungskoeffizienten gilt

Norm eines Vektors Normen Normen sind wichtig für Fehlerabschätzungen. Man unterscheidet Vektor- und Matrix-Normen. Norm eines Vektors heißt Norm des Vektors , wenn es folgende Eigenschaften hat: Solche Größen können verschieden eingeführt werden. Beispiele sind:

Matrix-Normen Matrix-Normen Allgemeiner heißt man Norm einer Matrix jede Größe, für die gilt und die Eigenschaften a bis c der Vektor-Norm erfüllt. Matrix- und Vektor-Norm sind konsistent , wenn Es gilt: Zu jeder Norm existiert eine konsistente Matrix-Norm und umgekehrt (ohne Beweis). Beispiel: Die Existenz der Normen ist wichtig für Abschätzungen. Sie müssen nur selten explizit berechnet werden. Die folgenden Kenngrößen lassen sich aus Anwendungen des Normbegriffes ableiten.

Kondition Kondition Die Kondition einer Matrix ist ein weiteres Maß für ihre Rechneranpassung. Konditionszahlen können - ähnlich den Normen - verschieden gebildet werden. Gebräuchlich ist das Verhältnis von Normen oder von größtem zu kleinstem Eigenwert.

Spektralradius Spektralradius Den Betrag des größten Eigenwertes nennt man Spektralradius.  (A) der Matrix .  (A) = max In der komplexen Ebene liegen alle Eigenwerte innerhalb eines Kreises mit  (A) als Radius. Zwischen der Norm und dem Spektralradius besteht folgende Beziehung Diese Beziehung ist für Fehlerabschätzungen wichtig. Als Spektralnorm bezeichnet man die Wurzel des Spektralradius der Matrix

Speicherung großer Matrizen Große Matrizen können nicht ganz im Kernspeicher gehalten werden. Man muss deshalb versuchen, möglichst wenig redundante Information zu speichern oder die Matrizen zu unterteilen. Folgende Techniken haben sich bewährt: a) Speichern der gesamten Matrix variabel dimensioniert - 1d Feld b) Ausnutzung von Symmetrien - Speichern und Operieren auf Dreiecksmatrizen c) Ausnutzung der Bandbreite - Speichern und Operieren auf Bandmatrizen d) Ausnutzen der lokalen Bandbreite - Hier ist ein zusätzliches Feld zur Angabe der lokalen Bandbreiten notwendig. e) Elementweise Speicherung - zu jedem Element müssen zwei Indizes gespeichert werden. f) Blockweise Speicherung - Hypermatrizen (ab > 1000 Unbekannten) g) Elemente werden nicht gespeichert, sondern je neu gerechnet.

Diese Fragen sollten Sie beantworten können Definieren sie den Begriff große dünnbesetzte Matrix Was sind Kennzahlen Was ist eine Norm und zu was braucht man sie Wie speichert man große Matrizen Wie hängen Speicherung und Effektivität von Rechenmethoden zusammen Geben Sie die Bedeutung der Kennzahl Norm an Geben Sie die Bedeutung der Kennzahl Kondition an