Diese Fragen sollten Sie beantworten können Was ist das Ziel der Vorlesung - Rechner zur Unterstützung der Berechnung technischer Vorgänge Was ist ein Modell - Abstraktion Was sind die mathematischen Grundbeziehungen technischer Modelle - Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form Was ist ein Abstrakter Datentyp - Kapselung von Daten Was ist ein Modul - Kapselung von Funktionalitäten Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern Rundung, Diskretisierung, Abbruch Was bedeuten Kondition, Konsistenz und Konvergenz Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Abbruchfehler beherrscht

V3: Rechnen auf endlichen Maschinen Teil II: Rechner als endliche Maschine Kap. 3: Rechnen auf endlichen Maschinen Inhalt: Rundungsfehler, ihre Ursachen und Auswirkungen Diskretisierung von Funktionen Punkte und Interpolation mit Lagrange Polynomen Entwicklung nach Polynomen: Taylorreihen Stückweise stetige Darstellung Experimente: Fehlerfortpflanzung Näherung eines Polynomes nach verschiedenen Ansätzen. Übung 1: Numerik mit Excel und Matlab

Das sollten Sie heute lernen Was sind Rundungsfehler und wie wirken sie sich aus Fehlerfortpflanzung bei Operationen Wie können wir Verläufe diskretisieren Was ist ein Lagrange Polynom Wie erzeugt man eine Taylorreihe und zu was nutzt sie

Rundungsfehler bei Grundoperationen Sei a der exakte Wert einer gesuchten Größe und ã eine Näherung, dann sind der absolute Fehler a und der relative Fehler a der Näherung ã definiert durch Umgekehrt gilt Für die Genauigkeit eines Resultates ist meist der relative Fehler maßgebend, da er direkt mit der Anzahl N der korrekten bedeutsamen Ziffern in a zusammenhängt: Aus (2) folgt Additivität des absoluten Fehlers bei Addition, und näherungsweise Additivität von kleinen relativen Fehlern bei Multiplikation bzw. Division Anders verhält sich die Subtraktion. Hier kann aufgrund von Stellenauslöschung der relative Fehler über alle Grenzen wachsen wird genähert durch

Auswirkungen von Rundungsfehler bei der Berechnung von e 1/2 Auswirkungen von Rundungsfehler bei der Berechnung von e Interpolationsformel von Lagrange Die mathematische Darstellung der Eulerzahl lautet: Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen Die Limesbildung meint, daß bei einem sehr groß gewählten n das numeri- sche Ergebnis und die mathematisch exakte Lösung übereinstimmen. Diese Theorie stimmt jedoch nur solange n so klein bleibt, daß 1/n nicht in den Bereich der Rundungsfehler von 1 gelangt. Auf unseren Rechnern beträgt die Mantissenlänge für double 53 (für float 24) . Daraus ergibt sich ein Rundungs- fehler an der 55 Stelle. Nähert sich n dem Wert ,so erhält man für die Ergebnisfunktion ein Sägezahnprofil mit dem Höchstwert e² bei n= . Steigt n weiter an, dann gilt f(n)=1 Für n < wirkt sich der Rundungsfehler bei der vorgegebenen Zeichengenauigkeit nicht sichtbar aus. An den Stützstellen muß wegen der Interpolationsbedingung gelten Für die gelten die Beziehungen und allgemein Die sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist. Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1. Der Versuch wird durch Klick gestartet

Bestimmung von e Ein Beispiel soll die Wirkung von Rundungsfehlern erläutern. Zu berechnen sei Nach dieser Formel wurden die folgenden Werte mit 10stelliger Dezimalarithmetik berechnet. Die Abweichungen in der rechten Spalte sind Folge von Rundungsfehlern. So gilt etwa für n = 2 • 109 für 1/n = 5 • 10-10 und gerundet 10-9. Für n = 2.5 • 109 erhält man für 1/2 = 4 • 10-10 und gerundet gerade 0. Die Verwendung der Potenzreihe für würde hier Abhilfe schaffen. Im Rahmen der numerischen Experimente wird ein entsprechender Versuch mit einem 32 bit-Rechner angeboten.

Fehler bei Operationen Berechnet man aus einer Größe x über einen Algorithmus f(x) eine Größe y, so gibt es zwei Ursachen für Fehler Fehler in x Fehler in Operation Daraus folgt Darin bedeutet den absoluten Fehler durch die Operation den absoluten Fehler durch das Argument Nach dem Mittelwertsatz gilt oder Damit wird cond f heißt Kondition der Operation. Für cond f < 1 führt die wiederholte Anwendung einer Operation zum Verschwinden des Fehlers durch das Argument, man sagt, die Operation ist stabil.

Akkumulation von Rundungsfehlern In der Numerik haben wir es mit einer Vielzahl von Rechenoperationen zu tun. Man muß deshalb untersuchen, wie sich Fehler dabei ausbreiten. Bei Verwendung gerundeter Arithmetik wird im allgemeinen in zufälliger Folge gleich häufig auf- oder abgerundet. Weitaus die meisten Rundungsfehler kompensieren sich so gegenseitig. Die Abweichung einer berechneten Größe von ihrem (im Verlauf der Rechnung variablen) exakten Wert hat daher den Charakter einer statistischen Schwankung. Zählt der Index n die für die Größe a wirksamen Operationen, d.h. diejenigen, welche a direkt oder indirekt beeinflussen, so ergibt der zentrale Grenzwertsatz für den akkumulierten Rundungsfehler von a die Ordnung Dieses langsame Fehlerwachstum kann unter günstigen Bedingungen auch bei abgeschnittenen Arithmetik auftreten (bei günstiger Verteilung der Operationen und Vorzeichen). Weit häufiger aber zeigen die Rundungsfehler dann eine systematische Tendenz. Dann wächst der akkumulierte Fehler von a linear mit der Anzahl n der wirksamen Operationen, ist also von der Ordnung 0(n). Die Abbildung zeigt typische Verläufe.

Fehlerfortpflanzung bei Addition 1/2 Fehlerfortpflanzung bei Addition Interpolationsformel von Lagrange Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen Bei diesem Versuch werden Zufallszahlen (a) generiert und durch die Vor- schrift (a/b+1)-1 gerundet. Die Differenz zwischen der ursprünglichen und der gerundeten Zufallszahl ergibt den Rundungsfehler (Rundfe). Wobei b=10 gilt. An den Stützstellen muß wegen der Interpolationsbedingung gelten Für die Die Summe der einzelnen Fehler ist eine normal verteilte Größe. Die Streu- ung der Normalverteilung ist . Wobei n die Zahl der Operationen und die Proportionalitätskonstante vom Rundungsfehler der einzelnen Opera- tionen abhängt. In der Visualisierung sind dargestellt: a)die Einzelfehler b)die Summenfehler c)der 2 Sigma Bereich für den Summenfehler gelten die Beziehungen und allgemein Die sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist. Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1. Der Versuch wird durch Klick gestartet

Maßnahmen zur Reduktion von Rundungsfehlern Maßnahmen zur Reduktion von Rundungsfehlern können sein Verwendung gerundeter Arithmetik, Verwendung von doppelter Genauigkeit, Rechnungen auf Maschinen mit verschiedenen Mantissen, Abänderung der Algorithmen, Verwendung von Intervallarithmetik. Akkumulation von Rundungsfehlern bei Grundoperationen

Diskretisierung von Funkionen -1 Neben der diskreten Darstellung der Zahlen interessieren in der Numerik vor allem die diskrete Darstellung von Verläufen (Funktionen) und der darauf möglichen Operationen (vor allem Integration und Differentiation). Drei Möglichkeiten der Diskretisierung von Verläufen sollen im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden. Ausgang ist y = f(x) x steht für die unabhängigen Variablen, y steht für die abhängigen Variablen, f gibt den Verlauf an und wird im Folgenden als Operation auf x gedeutet, die die Gerade y ergibt. a) Diskretisierung der unabhängigen Variablen wird durch Werte yi = f(xi) dargestellt. Für weitere Operationen kann zwischen den Werten yi interpoliert werden. Als Interpolationsfunktion werden häufig Lagrange-Polynome verwendet.

Diskretisierung von Funktionen -2 b) Diskretisierung der abhängigen Variablen Wählbar sind die Entwicklungsfunktionen Ni(x), die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten ai und die Art der Näherung von c) Diskretisierung durch statistische Methode wird über Werte beschrieben, wo xi zufällig bestimmt und nach verteilt sind.

Diskretisierung der unabhängigen Variablen - Näherung von Funktionen 1. Festlegung des Approximationsbereiches xa  x  xb 2. Festlegung der Stützstellen a) Einschluß der Ränder x1 = xa, xn+1 = xb b) Gebietsmitte 3. Berechnung der Werte der abhängigen Variablen yi = y (xi) 4. Interpretation a) Wert gültig im Bereich (Basisgebiet) um Stützstellen b) Werte interpolieren mit Lagrange-Polynomen b1) Polynom durch alle Punkte (wenig Stützstellen, hohe Interpolationsordnung) b2) stückweise Näherung (viele Stützstellen, mehrere Polynome niederer Ordnung).

Lineare Interpolation y wird durch zwei Punkte xo und x1 beschrieben. ist eine Gerade durch die Punkte (xo, yo) und (x1, y1) Faßt man die Glieder mit yo und y1 zusammen, so gilt Die Ausdrücke vor den Werten yo und y1 sind Funktionen von x. Wir bezeichnen sie mit Offensichtlich gilt und

Quadratische Interpolation x wird durch drei Punkte x0, x1, x2 beschrieben. Ist eine Parabel durch die Punkte Mit und können die Koeffizienten a0, a1 und a2 bestimmt werden.

Quadratische Interpolation Das Ergebnis ist Die Ausdrücke vor den Werten y0, y1 und y2 sind jetzt ebenfalls Parabeln. Wir bezeichnen sie mit Offensichtlich gilt und

Höhere Interpolation heißen Lagrange-Polynome. Höhere Interplation Höhere Interpolation heißen Lagrange-Polynome. Es gilt analog der linearen und der quadratischen Interplation für i  j, für i = j Ihre allgemeine Form lautet

Lagrange Polynome - Zusammenfassung Ihre allgemeine Form lautet: Für n = 3

Lagrange Polynome - Zusammenfassung Mit diesen Interpolationsfunktionen läßt sich eine Funktion y(x) etwa folgendermaßen nähern: x0 x1 x2 x3

Interpolationsformel von Lagrange 1/2 Interpolationsformel von Lagrange Interpolationsformel von Lagrange Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen An den Stützstellen muß wegen der Interpolationsbedingung gelten An den Stützstellen muß wegen der Interpolationsbedingung gelten Für die gelten die Beziehungen Für die gelten die Beziehungen und allgemein und allgemein Die sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist. Die sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist. Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1. Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1.

Interpolationsformel von Lagrange - 2 1/2 Interpolationsformel von Lagrange Interpolationsformel von Lagrange - 2 Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen Versuch: Mit Hilfe von der Lagrangefunktion wird xsin(x) angenähert. Variiert werden der Approximationsbereich und der Grad der Approximation. Das Approximations-gebiet wird dann in n äquidistante Intervalle unterteilt. Als n+1 Stützstellen werden die Intervallgrenzen gewählt. An den Stützstellen muß wegen der Interpolationsbedingung gelten Für die gelten die Beziehungen und allgemein Der Versuch wird durch Klick gestartet Die sind Polynome vom Grad n, so daß L ein Polynom vom Höchstgrad n ist. Lagrange Beispiel für eine Interpolationsformel mit 2 Stützstellen damit Grad 1.

Stückweise Näherung Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlußstellen und erreicht das dadurch, daß je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj Die Näherung heißt stückweise stetig.

Diskretisierung der abhängigen Variablen Der im letzten Abschnitt beschriebene Ansatz nähert y so, daß y und an den Knoten übereinstimmen. Für viele Anwendungen sind andere Anpassungen besser. Man erhält sie durch Diskretisierung der abhängigen Variablen Ni(x) sind bekannte Entwicklungs- oder Basisfunktionen. ai sind die Entwicklungskoeffizienten. Zu ihrer Bestimmung ist ein Kriterium, das angibt, wie die Näherung erfolgen soll, nötig. Eine häufig verwendete Anpassungsmethode ist die Methode der gewichteten Residuen. Sie versucht, den Gesamtfehler integral zu minimieren. Dazu führt man Wichtungsfunktionen wi ein und fordert

Methode der gewichteten Residuen Die Zahl der Wichtungsfunktionen entspricht dabei der Zahl der anzupassenden Unbekannten ai. j läuft also wie i von 0 bis n. Mit dieser Beziehung erhält man durch Einsetzen der n+1 Wichtungsfunktionen wj gerade n+1-Gleichungen. Aus diesen können die Entwicklungskoeffizienten ai bestimmt werden. Voraussetzung dafür ist, dass die Wichtungsfunktionen linear unabhängig sind, d.h. nicht durch lineare Transformationen ineinander überführt werden können. Mit der Abkürzung hat das Gleichungssystem folgende Form

Stückweise Näherung Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlußstellen und erreicht das dadurch, daß je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj Die Näherung heißt stückweise stetig.

Alternative Wahlen der Entwicklungskoeffizienten Folgende Wahlen sind besonders häufig: d.h. Lösung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen die Lagrange-Funktionen d.h. Steigung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen Polynome (Ableitungen an einer Stelle) oder Hermitesche Funktionen (Ableitungen am linken und rechten Rand). d.h. mittlere Lösung im Gebiet. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel problemabhängige Spezialfunktionen. d.h. mittlere Steigung (häufig für ein Oberflächenelement definiert).

Beispiel: Taylor-Reihenentwicklung Folgende Festlegungen führen zur Taylor-Entwicklung: Entwicklungsfunktionen Polynome von (x - xo) Entwicklungkoeffizienten Wert und Ableitung an Stelle x0: Art der Näherung y und stimmen an der Stelle x0 in Wert und allen Ableitungen bis zur Ordnung n überein.

Taylor-Reihenentwicklung -2 Ergebnis der Näherung Verstümmelungsfehler gleich erstes vernachlässigtes Glied Konvergenz

Statistische Approximation Eine dritte Methode, um Verläufe zu diskretisieren, kennen wir aus der Meßtechnik. Dort werden Verläufe mit Hilfe von Meßpunkten dargestellt. Dabei gibt es zwei Grenzfälle: Die Meßpunkte sind zufällig (Stichprobe), aber der Meßwert ist exakt. Dies entspricht einer zufälligen Diskretisierung der unabhängigen Variablen. Die Meßpunkte sind vorgebbar, aber der Meßwert ist mit großer Unsicherheit behaftet (Messung mit Meßfehler). Jetzt sind die Werte der abhängigen Variablen zufällig. Um diese Technik auch auf dem Rechner verfügbar zu haben, ist es nötig, zufällige Zahlen zu erzeugen. Dies geschieht durch spezielle Funktionen (Zufallszahlgeneratoren). Diese Funktionen liefern in der Regel Zufallszahlen, die in einem Intervall (0,1) gleichverteilt sind, d.h. die auftretenden Zahlenwerte können alle aus diesem Intervall darstellbaren Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Abweichungen von dieser Aussage dürfen im Rahmen der Verwendung der Zufallszahlen nicht nachweisbar sein. Dieser Ansatz ist vor allem dann von Bedeutung, wenn x hochdimensional und f schwierig zu berechnen sind

Statistische Approximation Um nun eine Funktion f (x) im Intervall (a, b) zu nähern, wird f (x) aufgespalten in f( x) = fx (x) •  (x) Die Näherung von f (x) erfolgt dann durch n Realisationen xi , wo die xi aus der Verteilung  (x) stammen und jedem xi ein Wert fx (xi) zugeordnet ist. Ist  (x) eine Gleichverteilung, so gilt  (x) = 1 / (b - a) und fX (x) = (b - a) • f (x). Kann man direkt von f (x) Zufallszahlen ziehen, ist also f (x) - evtl. nach einer Normierung - eine verfügbare Dichtefunktion, so gilt:  (x) = f (x) fx (x) = 1 Allen Beiträgen xi wird also derselbe Wert zugeordnet. Eine Interpolation zwischen den zufälligen Werten kann nicht direkt erfolgen. Operationen werden über das Gesetz der grossen Zahlen realisiert.

Regression - 1 Näherungsweise kann man einen Punkteschwarm mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate in einen Verlauf (Regression) umsetzen. Dabei hat man aus Messungen oder einem statistischen Computerexperiment Wertepaare xi, yi erhalten. Sie sollen durch eine Funktion , in der die Parameter a0 bis an noch zu bestimmen sind möglichst gut approximiert werden. Dies erreicht man etwa, indem man die quadratische Abweichung Q zwischen Meßwerten yi und Näherung zum Minimum macht:

Regression - 2 Wie aus der Analysis bekannt, wird ein Extremwert berechnet, indem man die 1. Ableitung = 0 setzt. Damit kann man für genau n+1-Gleichungen folgender Art bilden: Dies entspricht der Methode der gewichteten Residuen in der Galerkin-Formulierung, wenn wie dort gilt: Anwendung: Bestimmung von Ersatzfunktionen für Simulationen Bestimmung von Sensitivität auf Datenänderung bei Simulationen

Diese Fragen sollten Sie beantworten können Was sind die Hauptfehlerarten beim numerischen Rechnen und wie reduziert man sie Wie breiten sich Fehler bei Operationen auf ungenaue Zahlen aus Wie diskretisieren wir Funktionen Geben Sie das Lagrange Polynom der Ordnung n an Geben Sie für eine Funktion f(x) die zugehörige Taylor - Reihe an Empfehlen Sie einen Ansatz zur Näherung einer Funktion f(x), wenn deren Verlauf optimal beschrieben werden soll. Wie ändert sich Ihre Empfehlung, wenn es sich bei der zu nähernden Funtion im Näherungsintervall um ein Polynom der Ordnung 2 handelt