Was wir zur numerischen Lösung von Dglen wissen Modelle sind Abstraktionen. Es darf nur Unbedeutendes weggelassen werden Das numerische Modell muss in Einklang mit dem physikalischen und dem mathematischen Modell sein. Deshalb sind Grundverständnisse beider Modellierungsschritte nötig Mathematische Grundbeziehungen technischer Modelle sind Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form Integrale und differenzielle Form legen den Schwerpunkt der Aussage auf unterschiedliche Effekte. Ziel beachten Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern kennen gelernt Rundung, Diskretisierung, Abbruch Kondition eines Algorithmus, Konsistenz einer Diskretisierung und Konvergenz einer Lösung bedeuten Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Abbruchfehler werden beherrscht

Was wir zur numerischen Lösung von Dglen wissen Wie diskretisieren wir Funktionen Was ist ein iteratives Verfahren Nullstellensuche nach Newton Wie berechnet man für eine Funktion f(x) das Integral in (a,b) Wie berechnet man die Ableitung der Ordnung n an Stelle xi Als Differenz aus n+1 Werten Was ist das Ergebnis der Diskretisierung: Differentialgleichung wird überführt in System von Gleichungen zur Bestimmung von Werten yi Einfache Lösung für explizite Verfahren

Lösung von linearen Gleichungssystemen - Grundlagen Zu Lösen ist ein Gleichungssystem: A x = b dabei sind A eine n*n Matrix, x der Vektor der Unbekannten und b der Vektor der rechten Seite. Lösung ist wo die Inverse von A ist Bei den Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen unterscheiden wir zunächst zwischen direkten und iterativen Verfahren. Direkte Verfahren lassen sich in der Regel in zwei Schritte unterteilen. Im ersten erfolgt eine Transformation der Systemmatrix derart, dass die neue Matrix leicht invertierbar wird. Leicht invertierbare Matrizen sind Diagonalmatrizen, Tridiagonale Matrizen und Dreiecksmatrizen. Im zweiten Schritt erfolgt die eigentliche Inversion. Bei iterativen Verfahren wird die Systemmatrix aufgespalten in einen Teil, der leicht invertierbar ist und einen Rest, der im Gleichungssystem der rechten Seite zugeschlagen wird. Die rechte Seite kann daher nur näherungsweise bestimmt werden. Die Näherung ist in den verschiedenen Iterationsschritten zu verbessern.

Beispiele für Gleichungssysteme A volle Matrix

Beispiele für Gleichungssysteme A Diagonalmatrix D A tridiagonale Matrix

V9: Matrizen und ihre Eigenschaften Teil V: Gleichungslöser Kap. 9: Matrizen und ihre Eigenschaften Inhalt: Definitonen und Rechenregeln Spezielle Matrizen Kennzahlen Speicherung

Das sollten Sie heute lernen Was sind grosse dünnbesetzte Matrizen Was sind Kennzahlen Was ist eine Norm und zu was braucht man sie Wie speichert man grosse Matrizen Wie hängen Speicherung und Effektivität von Rechenmethoden zusammen

Eigenschaften großer, dünn besetzter Matrizen Diskretisiert man Variablen, so erhält man Vektoren. Bestehen zwischen Variablen Beziehungen in Form von Gleichungen, so führt die Diskretisierung auf Gleichungssysteme. In Gleichungssystemen werden Variablen durch Vektoren und ihre Verbindung über Matrizen beschrieben. Matrizen sind Gebilde aus n•n Zahlen, Funktionen oder Operatoren. Bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen entstehen große (n, m >> 106) und in der Regel dünnbesetzte Matrizen (nur etwa 10 n Elemente ungleich Null). Im Folgenden werden Eigenschaften dünnbesetzter Matrizen beschrieben, die im Kontext der numerischen Lösung von Differentialgleichungen Bedeutung haben.

Beispielmatrix

Rechenregeln: Addition und Subtraktion Bezeichnung: Identität: Zwei Matrizen sind dann und nur dann gleich, wenn ihre Elemente gleich sind

Rechenregeln: Multiplikation und Division

Rechnen mit dünnbesetzten Matrizen Bei Rechenoperationen müssen Addition und Multiplikation genauer untersucht werden Dünnbesetzte Matrizen bestehen vor allem aus 0 Elementen. Für solche Elemente ergeben Addition und Multiplikation keine Beiträge Operationen mit dünnbesetzten Matrizen werden also besonders effektiv, wenn Operationen mit 0 Elementen möglichst vermieden werden. Werden Operationen auf 0 Elemente nicht durchgeführt, so müssen diese Elemente auch nicht gespeichert werden. Wie Datenstrukturen die Effektivität von Algorithmen bestimmen, wird am Beispiel der Matrizenrechnung besonders deutlich Die Effektivität von Algorithmen wird auch durch die Eigenschaften einer Matrix (z.B. Kondition) bestimmt. Vereinfacht können Eigenschaften dünnbesetzter matrizen durch Kennzahlen abgeschätzt werden

Speicherung großer Matrizen Große Matrizen können nicht ganz im Kernspeicher gehalten werden. Man muß deshalb versuchen, möglichst wenig redundante Information zu speichern oder die Matrizen zu unterteilen. Folgende Techniken haben sich bewährt: a) Speichern der gesamten Matrix variabel dimensioniert - 1d Feld b) Ausnutzung von Symmetrien - Speichern und Operieren auf Dreiecksmatrizen c) Ausnutzung der Bandbreite - Speichern und Operieren auf Bandmatrizen d) Ausnutzen der lokalen Bandbreite - Hier ist ein zusätzliches Feld zur Angabe der lokalen Bandbreiten notwendig. e) Elementweise Speicherung - zu jedem Element müssen zwei Indizes gespeichert werden. f) Blockweise Speicherung - Hypermatrizen (ab > 1000 Unbekannten) g) Elemente werden nicht gespeichert, sondern je neu gerechnet. Die Datenspeicherung hat erheblichen Einfluss auf die Implementierung der Algorithmen zum Umgang mit Matrizen

Spezielle Matrizen - 1

Spezielle Matrizen - 2 Bidiagonalmatrix Bandmatrix mit m = 2 Tridiagonalmatrix Bandmatrix mit m = 3

Einfache Kenngrößen: Determinante Für viele Zwecke ist es nützlich, die Informationen einer Matrix in Kennzahlen zusammenzufassen. Dabei können nur bestimmte Aspekte berücksichtigt werden, entsprechend existieren eine Vielzahl von Kenngrößen. Rechenregeln Die Bedeutung der Determinante kann am Beispiel der Cramer‘schen Regel zur Gleichungsauflösung gezeigt werden.

Eigenwerte(EW ) und Eigenvektoren(EV ) Definition Die homogene Gleichung hat nur für bestimmte Werte von -Lösungen. Diese Werte heißen Eigenwerte, die zugehörigen Lösungsvektoren sind die Eigenvektoren. Bestimmung der Eigenwerte über die charakteristische Gleichung. Man erhält sie, wenn man die Determinante des Eigenwertproblems bildet. Die charakteristische Gleichung lautet: Ist eine n-reihige quadratische Matrix so gilt: besitzt genau n Eigenwerte als Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Nur für diese Werte existieren Eigenlösungen oder Eigenvektoren Eigenvektoren sind nur bis auf Konstante bestimmt, sie müssen normiert werden. Oft Norm 1: EV zu verschiedenen EW sind linear unabhängig, es können ihren Richtungen, die Eigenrichtungen, zugeordnet werden. Daraus folgt, daß ein beliebiger Vektor nach den EV entwickelt werden kann: Für die Entwicklungskoeffizienten gilt

Norm eines Vektors Normen sind wichtig für Fehlerabschätzungen. Man unterscheidet Vektor- und Matrix-Normen. Norm eines Vektors heißt Norm des Vektors , wenn es folgende Eigenschaften hat: Solche Größen können verschieden eingeführt werden. Beispiele sind:

Matrix-Normen Allgemeiner heißt man Norm einer Matrix jede Größe, für die gilt und die Eigenschaften a bis c der Vektor-Norm erfüllt. Matrix- und Vektor-Norm sind konsistent , wenn Es gilt: Zu jeder Norm existiert eine konsistente Matrix-Norm und umgekehrt (ohne Beweis). Beispiel 1: Beispiel 2: Zeilennorm = Maximalwert der Summe der Beträge aller Elemente einer Zeile Die Existenz der Normen ist wichtig für Abschätzungen. Sie müssen nur selten explizit berechnet werden. Die folgenden Kenngrößen lassen sich aus Anwendungen des Normbegriffes ableiten.

Kondition Die Kondition einer Matrix ist ein weiteres Maß für ihre Rechneranpassung. Konditionszahlen können - ähnlich den Normen - verschieden gebildet werden. Gebräuchlich ist das Verhältnis von Normen oder von größtem zu kleinstem Eigenwert.

Spektralradius Den Betrag des größten Eigenwertes nennt man Spektralradius.  (A) der Matrix .  (A) = max In der komplexen Ebene liegen alle Eigenwerte innerhalb eines Kreises mit  (A) als Radius. Zwischen der Norm und dem Spektralradius besteht folgende Beziehung Diese Beziehung ist für Fehlerabschätzungen wichtig. Als Spektralnorm bezeichnet man die Wurzel des Spektralradius der Matrix

Diese Fragen sollten Sie beantworten können Definieren sie den Begriff grosse dünnbesetzte Matrix Was sind Kennzahlen Was ist eine Norm und zu was braucht man sie Wie speichert man grosse Matrizen Wie hängen Speicherung und Effektivität von Rechenmethoden zusammen Geben Sie die Bedeutung der Kennzahl Norm an Geben Sie die Bedeutung der Kennzahl Kondition an