Simulation komplexer technischer Anlagen Teil II: Elemente zum Bau virtueller Anlagenkomponenten Kapitel 8: Algorithmen 2: Gewöhnliche Differentialgleichungen Inhalt • Gewöhnliche Differentialgleichungen • Euler- und Differenzen-Verfahren • Verfahren höherer Ordnung • Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen Experimente Freier Fall Explizite und implizite Zeitdiskretisierung

Das sollten Sie heute lernen Was ist eine gewöhnliche Differentialgleichung Numerische Lösung gew. Dgl‘en Differenzenverfahren implizit und explizit Eulerverfahren Diskretisierung gew. Dgl‘en Struktur von Programmen zur Lösung von Dgl‘en Ursachen für instabiles Verhalten

Grundbegriffe aus der Theorie der Differentialgleichungen Gleichungen zwischen Funktionen und ihren Ableitungen heißen Differentialgleichungen (Dgl). Man unterscheidet gewöhnliche Differentialgleichungen und partielle Differentialgleichungen. Gewöhnliche Differentialgleichungen enthalten nur gewöhnliche Ableitungen. Als Beispiel sei die Schwingungsgleichung angeführt: Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Variablen sind immer gewöhnliche Differentialgleichungen. Differentialgleichungen mit mehreren unabhängigen Variablen enthalten gewöhnlich partielle Ableitungen nach den einzelnen Variablen. Man spricht dann von partiellen Differentialgleichungen. Sie werden entweder direkt oder in Operatorform angeschrieben. Sei L der Operator so lautet die Schwingungsgleichung L y = f(t) L kann verschieden definiert werden. Die Ordnung n einer Differentialgleichung gibt die höchste Ableitung in der Differentialgleichung an.

Gewöhnliche Differentialgleichungen Zu lösen sei in a £ t £ b mit y(a) = yo Typischerweise hat bei solchen Problemen die unabhängige Variable die Bedeutung der Zeit. Yo ist dann ein Anfangswert. Von den Problemen, die im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden, fordern wir: a) Sie müssen eine eindeutige Lösung y(t) haben. b) Die Lösung darf nur vom Anfangswert abhängen. c) Sie darf sich nur wenig ändern, wenn yo oder f wenig geändert werden. Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn ihre Koeffizienten nicht von den abhängigen Variablen oder ihren Ableitungen abhängen; halb-linear, wenn in den Randbedingungen nichtlineare Funktionen der Abhängigen oder ihren Ableitungen vorkommen; quasi-linear, wenn auch in den Koeffizienten der Differentialgleichung Abhängigkeiten der Lösungen auftreten, nicht-linear, wenn die Differentialgleichung Potenzen von Ableitungen enthält.

Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen Integriert man so erhält man Das Intervall tn bis tn+1 heißt Zeitschritt n+1 für einen Zeitschritt gilt: Daraus ergeben sich folgende Möglichkeiten, yn+1 zu bestimmen: 1. Integration der rechten Seite nach dem Newton-Verfahren  Euler- und Runge-Verfahren. 2. Entwicklung der rechten Seite nach Lagrange-Funktionen und anschließende Integration  Adams-Verfahren. 3. Näherung der Ableitung (linke Seite) durch eine Approximation der Ordnung n  Gear-Verfahren. Die Verfahren werden im Folgenden kurz erläutert.

Euler-Verfahren Der Integrand wird durch einen konstanten Wert genähert. Dazu gibt es drei Möglichkeiten: a) f (y,t) = f (yn,tn) b) f (y,t) = f (yn+1, tn+1) c) f (y,t) = f (yn+, tn+ ) mit 0  q  1 Die rechte Seite wird damit Daraus folgen 3 Bestimmungsgleichungen für a) explizites Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn, tn) b) implizites Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn+1, tn+1) (entspricht Iterationsvorschrift) c) modifiziertes Euler-Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn+q , tn+q) Setzt man q = 0, 5, so folgt Prediktorschritt Korrektorschritt Euler-Verfahren entsprechen der Differenzennäherung

Die Wärmeleitgleichung als Beispiel Die Wärmeleitgleichung ist eigentlich eine partielle Differentialgleichung. Sie lautet Diskretisiert man zunächst den x-Raum, so erhält man x  xi, T  Ti und oder am Ortspunkt i Das ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, allerdings aus einem System von Differentialgleichungen für alle diskreten Punkte des Ortsraumes. Zur Lösung des Problems benötigen wir Die Länge des Stabes Die Zahl der Punkte i Werte für T am linken und rechten Rand Einen Wert von  Die Dauer der Simulation Die Zahl der Zeitschritte Die Temperaturverteilung zum Zeitpunkt 0. Die Diskretisierung ist konsistent, wenn Orts- und Zeitableitung am gleichen Raum-Zeit-Punkt erfolgen.

Die Wärmeleitgleichung in diskreter Form Explizites Verfahren Implizites Verfahren Gemischtes Verfahren (Zwischenschrittverfahren) Fehlerfortpflanzung beim expliziten Verfahren Für cond g = verringert sich Fehler wegen folgt, dass a beschränkt ist, Dt und Dx hängen also voneinander ab.

Runge-Kutta-Verfahren Verwendet man zur Integration der rechten Seite Verfahren höherer Ordnung, so erhält man die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. a) Integration mit Trapez-Regel Verfahren von Heun Lösung iterativ mit Startwert b) Iteration mit Simpson-Regel Die Simpson-Regel verwendet die Punkte tn,tn+1/2 und t n+1 zur Integration, f (y,t) muss also an diesen Punkten genähert werden. Dies leistet gerade das Runge- Kutta-Verfahren der Ordnung 4. Die Zwischenwerte werden wie folgt genähert: Für f (y,t) = f (t) degeneriert das Verfahren zur Simpson-Formel.

Beispiel zum Runge-Kutta-Verfahren Gegeben sei das Anfangswertproblem: = y2 mit y (0) = - 4 0  t  0,3 h = 0,1 Die exakte Lösung lautet Für und Für den Schritt n+1 folgt:

Adams-Verfahren Eine weitere Verbesserung der Bestimmung der rechten Seite erhält man dadurch, dass man den Integranden über eine Funktionsentwicklung darstellt. Als Entwicklungskoeffizienten können die Werte der diskreten Zeitpunkte verwendet werden. Entwicklungsfunktionen sind dann wieder die Lagrange-Polynome . Zum Zeitschritt n ist folgende Entwicklung möglich: mit m  n Damit lässt sich f (y, t) integrieren. Die mi sind tabelliert.

Baskford-Adams-Verfahren Man unterscheidet zwei Fälle: a) j = 1 Verfahren nach Adams-Baskford Bestimmung von yn+1: Integration zwischen tn und tn+1 Entwicklung von f bis zur Stelle tn Aus Entwicklung bis tn wird Verlauf extrapoliert - Prediktor-Schritt. Für die Integrale ni gilt:

Adams-Moulton-Verfahren b) j = 0 Verfahren nach Adams-Moulton Bestimmung von yn+1 Integration zwischen tn und tn+1 Entwicklung von f bis zur Stelle tn+1 (ersetze n durch n+1 in allgemeiner Formel) Entwicklung verwendet schon Endwert - Korrektor-Schritt oder implizit. Lösungen nur iterativ. Für die Integrale ni gilt:

Gear-Verfahren - 1

Das entspricht dem Ergebnis nach Euler Gear-Verfahren - 2 Die allgemeine Form der Koeffizienten lautet: Das entspricht dem Ergebnis nach Euler

Gear-Verfahren -3 Daraus folgt

Stabilität -1 Drei Fehlerquellen können auftreten a) Näherung von b) Näherung des Integrals der rechten Seite, c) Bestimmung von y. Werden Fehler durch die Zeitfortschaltung verkleinert, so heißt ein Verfahren stabil. Analog der notwendigen Bedingung für die Verkleinerung von Fehlern bei der Iteration gilt auch bei der Zeitfortschaltung.

Stabilität -2 Mehrschrittverfahren kann man darstellen als Dann gibt es zu dieser Gleichung ein charakteristisches Polynom p () Für p () = 0 gibt es m-Nullstellen und man kann zeigen: Ein Verfahren ist stabil, wenn für alle Nullstellen  gilt und Nullstellen mit höchstens als einfache Nullstellen vorkommen. Verfahren nach Adam und Gear sind stabil. Die Verfahren von Runge-Kutta sind schwach stabil. Explizite Euler-Verfahren sind für große Zeitschritte instabil.

Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen Ein System der Ordnung m wird durch m-Gleichungen definiert Diskretisiert man dieses System, so kann man für jede Gleichung eine der beschriebenen Methoden verwenden. Die Auswahl muss nach physikalischen Gesichtspunkten geschehen. Haben die Gleichung verschiedene Zeitkonstanten, wird das Gleichungssystem "steif". Dann breiten sich Fehler stark aus (implizite Lösungen). Hat man Nichtlinearitäten zu betrachten, so müssen Newton- oder Newton-Raphson-Methoden zur Lösung verwendet werden.

Aufbau eines Programms zur Lösung von Dgl‘en Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Im Folgenden ist ein typisches Flussdiagramm gezeigt. Lösung des Gleichungssystems Berechnung der rechten Seiten Neue Matrizen Nicht linear ja nein (bei Quellrechnung, Endzeitpunkt, Endgenauigkeit) Eingabe und ihre Verarbietung Geometrie, Materialdaten, Randbedingungen, Anfangswerte Ausgabe Nein linear Erzeugung des Gleichungssystems Ende Zeitfortschaltung, Eigenwertiteration, Nichtlinearität

Diese Fragen sollten Sie jetzt beantworten können Geben Sie eine gewöhnliche Differentialgleichung in differentieller und integraler Form an Diskretisieren sie eine erste Ableitung implizit, explizit und zentral. Erklären Sie Unterschiede und Folgen Heun Verfahren Runge Kutta Verfahren Zeichnen Sie ein Struktogramm für die Lösung einer nichtlinearen DGL. Geben Sie ein Beispiel für eine Nichtlinearität. Prinzip der ADAMS Verfahren Wie lautet eine Pade Aproximation der Ordnung 1 Was ist Stabilität und wie kann man sie beeinflussen