V11 Wellengleichung Teil 3: Numerische Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen V11: Wellengleichung als Beispiel der Diskretisierung einer hyperbolischen Gleichungen Inhalt: Wellengleichung und ihre Charakteristiken Numerik der linearen Transportgleichung Numerik der Wellengleichung Experiment: Schwingende Saite

Das sollten Sie heute lernen Was ist eine hyperbolische Differentialgleichung ? Wie kann man sie diskretisieren Was ist dabei zu beachten Wie lauted die lineare Transportgleichung Wie findet man stabile ‚Diskretisierungen Übertragung der Ergebnisse auf Wellengleichung Hyperbolische Dglen als Systeme von Dglen 1. Ordnung

Klassifizierung partieller Differentialgleichungen

Aufbau Das Verständnis der Numerik hyperbolischer Gleichungen erfolgt in 4 Schritten: 1. Wiederholen, was wir über hyperbolische Gleichung wissen, 2. Voruntersuchung an einfacher Form, lineare Transportgleichung oder einfache Erhaltungsgleichung. Hieran zeigen wir Konsistenz und Stabilität 3. Erweiterung auf Wellengleichung Hieran zeigen wir Stabilitätsuntersuchung numerisch 4. Anwendung auf Strömungsgleichungen und Systeme

Wellengleichung als Beispiel einer hyperbolischen Dgl Die Wellengleichung kann durch eine einfache Substitution in ein System von Gleichungen überführt werden. Wir heißen dies das System der charakteristischen Gleichungen.

Lösungseigenschaften der Transportgleichung Hat der Vektor {u} nur eine Komponente u und gilt [A] {u} = f (u), so erhält man die allgemeine Form der Erhaltungsgleichung: Für f (u) = c u erhält man die lineare Transportgleichung Für Ihre Lösungen gilt Das heißt, längs x + c t = const breitet sich der Anteil u an der Lösung (mit allen eventuell aufgeprägten Störungen) unverändert aus. Dies hat schwerwiegende numerische Konsequenzen. Die Gerade heißt Charakteristik.

Charakteristiken der Wellengleichung Die Wellengleichung hat zwei Charakteristiken mit den Steigungen Sie lassen sich anschaulich interpretieren: a) Längs der Charakteristiken bleiben die Lösungswerte unverändert erhalten. b) Störungen breiten sich längs Charakteristiken unvermindert aus. c) Charakteristiken begrenzen den Raum in dem physikalisch Information zugänglich ist. Dem dürfen Diskretisierungen nicht widersprechen. t Abhängigkeitsbereich Todbereich P (x1, t1) x Todbereich x

Charakteristiken der 3 Typen von Dglen

Numerik der linearen Transportgleichung Charakteristik Diskretisierung: 3 Möglichkeiten für erste Ableitungen (vorwärts, rückwärts, zentral) Daraus ergeben sich 9 Diskretisierungsmöglichkeiten Konsistenz: Orts- und Zeitdiskretisierung müssen am gleichen Punkt im Phasenraum erfolgen Stabilität: Diskretisierung darf nicht im Widerspruch zur Physik stehen. D.h. der berechnete Wert muß im Abhängigskeitbereich der Ausgangswerte liegen.

Diskretisierungsmöglichkeiten -1

Diskretisierungsmöglichkeiten -2

Wellengleichung als Beispiel einer hyperbolischen Dgl Die Wellengleichung kann durch eine einfache Substitution in ein System von Gleichungen überführt werden. Wir heißen dies das System der charakteristischen Gleichungen.

Diskretisierungen der Wellengleichung -1 (Euler) Euler Zentral Euler Vorwärts Euler Rückwärts

Diskretisierungen der Wellengleichung -2 (Weitere Verfahren) Lax Leap-Frog

Diskretisierungen der Wellengleichung -3 (Weitere Verfahren) Mac Cormac als Beispiel eines Predictor - Corrector-Verfahrens Predictorschritt explizit Correctorschritt implizit aber unter Verwendung der Schätzwerte

Diese Fragen sollten Sie beantworten können Diskretisierungsmöglichkeiten der Transportgleichung Eigenschaften hyperbolischer Gleichungen Diskretisierung der Wellengleichung Stabile Verfahren zur Lösung hyperbolischer Dglen Voraussetzungen für Stabilität

Schwingende Saite mit dem FD-Verfahren Die Wellengleichung in einfachster Form lautet: . Wir überführen die DGL. 2.Ordnung in 2 DGLn. der 1.Ordnung mit . Die Integrabilitätsbedingung und die Differentialgleichung müssen gelten. Mit der Diskretisierung: t-Ableitung (Vorwärtsdifferenz, Index n oben) und der x-Ableitung (Zentraldifferenz, Index i unten) ergibt nach Euler mit und . : Dieses Verfahren ist für jedes r instabil. Wenn jedoch die Mittelwerte aus den Nachbarpunkten verwendet werden, ergeben sich Das Lax-Verfahren ist stabil für . Jetzt muß noch u aus w berechnet werden. Mit der Simpson(3 Stützstellen) und der 3/8 Regel (4 Stützstellen) kann integriert werden. Der erste Punkt u (nicht Rand) muß nachträglich rückwärts berechnet werden.

x ux) x 1 -x Anfangswerte von u: a) u(x,0)=sin(x) sinusförmige Auslenkung beim Start b) (aus der Ruhe heraus, losgelassen) Randwert von u: u(0,t)=u(1,t)=0 (Einspannung an den Enden, Länge normiert [0,1]) Exakte Lösung: u(x,t)=sin( x) cos( x) aus a) w(x,0)= cos(x) aus b) v(x,0)=0 aus Randwert Es fehlt noch ein Randwert: Symmetrie symmetrisch schiefsymmetrisch also w(-x,t) = w(x,t) und w(1+x,t) = w(1-x,t) bzw. v(-x,t) = -v(x,t) und v(1+x,t) = - v(x,t) Für die Berechnung der Randpunkte werden nun fiktive Punkte verwendet. -x x x 1 ux) Der Versuch wird durch Klick gestartet