Die Oberflächenberechnung der quadratischen Pyramide Ein Übungsprogramm der IGS - Hamm/Sieg © IGS-Hamm/Sieg 2006 Dietmar Schumacher Klicke Dich mit der linken Maustaste durch das Übungsprogramm!

Vorbemerkungen: Du bekommst in dieser Übung die wesentlichen Informationen zur Oberflächenberechnung bei quadratischen Pyramiden erklärt. Verfolge die Rechenbeispiele und rechne sie in Dein Heft. Fertige auch die Zeichnungen an!

Die quadratische Pyramide Eine Pyramide mit der Grundfläche eines Quadrates ist gegeben. Die Seite a der Grundfläche beträgt 4 cm. Die Höhe der Pyramide beträgt 4,5 cm. Du möchtest ihre Oberfläche berechnen. Hier siehst Du das Schrägbild der Pyramide: Das sind die Teile der Pyramide: S Spitze S der Pyramide: Schnittpunkt von Pyramidenkanten, Seitenhöhen und Raumhöhe. Seitenhöhe hs Abstand von der Spitze zur Grundkante Seitenkanten k Raumhöhe h Abstand von der Spitze zur Grundfläche Grundkanten a Grundfläche (Quadrat)

Die quadratische Pyramide - Oberfläche Das Netz der quadratischen Pyramide zeigt die Grundfläche der Pyramide und den Mantel. Grundfläche und Mantel zusammen bilden die Oberfläche der quadratischen Pyramide. Die Oberfläche der quadratischen Pyramide kann ich berechne. OFP = AQ + 4 AD AQ ist die Fläche des Quadrates AD AD ist die Fläche des Dreiecks AD AQ AD AD Grundfläche Mantel (4 Seitenflächen)

Die quadratische Pyramide - Oberfläche Die Oberfläche der quadratischen Pyramide besteht aus der quadratischen Grundfläche und den 4 kongruenten gleichschenkligen Dreiecksflächen als Seitenflächen der Pyramide. Schrägbild Netz (verkleinert) Seitenhöhe sh Kante a a Kanten Grundfläche

Die quadratische Pyramide - Oberfläche Wir schauen uns die Grundfläche der quadratischen Pyramide genauer an: Die im Schrägbild dargestellte Grundfläche in der Form eines Parallelogramms ist in Wirklichkeit ein Quadrat. a a Nur die waagerecht dargestellten Linien sind längentreu, das heißt, sie entsprechen den wirklichen Maßen. a Alle anderen Linien sind verzerrt dargestellt und somit nicht längentreu. a

Die quadratische Pyramide - Oberfläche Wir schauen uns die Mittelsenkrechten ms1 und ms2 der Grundfläche an. Sie stehen senkrecht aufeinander und schneiden sich im Punkt F. Der Punkt F halbiert die Mittelsenkrechten. In der quadratischen Pyramide sind die Mittelsenkrechten genauso lang wie die Kanten a. a F Der Punkt F ist auch der Fußpunkt der Raumhöhe der Pyramide, die senkrecht auf der Grundfläche steht. ms2 a a S ms1 a F

Die quadratische Pyramide - Oberfläche Bei der gegebenen Pyramide sind die Kanten a und die Raumhöhe bekannt. Zur Berechnung der Oberfläche kann ich zwar die Grundfläche AQ berechnen, aber nicht die Seitenflächen AD. Warum? Zur Berechnung der Dreiecksfläche AD benötige ich die Höhe des Dreiecks, also die Seitenhöhe hs. Da es sich bei diesem Dreieck um ein rechtwinkliges handelt, kann ich die Seitenhöhe hs berechnen. H hs hs H

Die quadratische Pyramide - Oberfläche Im rechtwinkligen Dreieck kann ich die fehlende Dreiecksseite berechnen, wenn mir mindestens 2 andere Seiten bekannt sind. Satz des Pythagoras! H und Bekannt sind: Gesucht ist die Seitenhöhe hs Ich berechne die Seitenhöhe hs: hs² = H² + Aufstellen der Formel hs² = 4,5² + Einsetzen der Zahlen hs hs² = 4,5² + 2² Vereinfachen H hs² = 20,25 + 4 Ausrechnen hs² = 24,25 hs = hs = 4,92 Die Seitenhöhe hs ist 4,92 cm lang.

Die quadratische Pyramide - Oberfläche Ich berechne jetzt die Mantelflächen der quadratischen Pyramide. Sie besteht, wie wir wissen, aus der Summe der Dreiecksflächen ( A Mantel = 4 AD). Es sind die Dreiecke ABS; BCS; CDS und DAS. Da sie alle flächengleich sind, brauche ich nur eines zu berechnen, um dann anschließend die Gesamtfläche zu bestimmen. Bekannt sind die Kanten a = 4 cm und die Seitenhöhen sh = 4,92 cm Ich setze die Werte in die Formel der Dreiecksflächenberechnung ein. S AD = g h 2 Allgemeine Formel - Dreiecksfläche AD = a sh 2 Spezielle Formel - Dreiecksfläche AD = 4 4,92 2 Einsetzen D C AD = 9,84 cm² Ausrechnen Ich berechne die Mantelfläche: A B AMantel = 4 AD AMantel = 4 9,84 AMantel = 39,36 cm²

Die quadratische Pyramide - Oberfläche Wie wir wissen, ist die Grundfläche der Pyramide ein Quadrat. Bekannt ist die Länge der Seite a. a Ich berechne die Fläche des Quadrates mit folgender Formel: AQuadrat AQuadrat = a a Allgemeine Formel AQuadrat = 4 4 Einsetzen AQuadrat = 16 Ausrechnen AQuadrat = 16 cm² Die Grundfläche beträgt 16 cm²

Die quadratische Pyramide - Oberfläche Ich berechne jetzt die gesamte Oberfläche der quadratischen Pyramide. Oberfläche Pyramide = Grundfläche Quadrat + MantelflächeDreiecke Oberfläche Pyramide = AQ + AM Allgemeine Formel Oberfläche Pyramide = 16 + 39,36 Einsetzen Oberfläche Pyramide = 55,36 Ausrechnen Die Oberfläche der Pyramide beträgt 55,36 cm².

Die quadratische Pyramide - Oberfläche Ich kann die Oberflächenberechnung einer quadratischen Pyramide auch in einem Schritt berechnen. Dazu stelle ich eine Formel auf. Oberfläche Pyramide = Grundfläche Quadrat + 4 Fläche des Manteldreiecks OFP = Allgemeine Formel OFP = Einsetzen OFP = Ausrechnen OFP = OFP = cm² Die Oberfläche der Pyramide beträgt 55,36 cm².