Von den Kegelschnitten zur Himmelsmechanik
Gliederung ≈ 360 ≈ 200 ≈ 150 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Menaichmos ≈ 150 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Menaichmos Ptolemäus Kopernikus Kepler Apollonius
Gliederung ≈ 360 ≈ 200 ≈ 150 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Menaichmos ≈ 150 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Menaichmos Ptolemäus Kopernikus Kepler Apollonius
Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Menaichmos (um 360 v. Chr.) Problem der Würfelverdoppelung führt zu ersten Kurven Zeichnung war aufgrund von Faden- und Punktkonstruktion sehr ungenau Menaichmos visualisiert Kurven an Kegelschnitten
Bedingungen für Menaichmos Kegelschnitte Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Bedingungen für Menaichmos Kegelschnitte Der Kegel sollte von einer Ebene senkrecht zur Mantellinie geschnitten werden. Das kann nur mit unterschiedlichen Winkeln der Kegelspitze realisiert werden. Aufgabe: Überlegt, welche Winkel der Kegel bei den jeweiligen Schnitten haben muss. Anmalen des Mantels und der Senkrechten
Winkel α der Kegelspitze: Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Winkel α der Kegelspitze: α = 90° 90° < α < 180° 0° < α < 90°
Gliederung ≈ 360 ≈ 200 ≈ 150 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Menaichmos ≈ 150 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Menaichmos Ptolemäus Kopernikus Kepler Apollonius
Apollonius von Perga (265-190 v. Chr.) Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Apollonius von Perga (265-190 v. Chr.) Schreibt „Konika“ – ein Werk von 8 Büchern über die Kegelschnitte Bezieht sich auf Euklid Neu ist das Schneiden eines Kegels in unterschiedlichen Winkeln Definiert den Scheitelpunkt der Parabel folgendermaßen: Bücher sind erhalten geblieben Bezieht sich auf Euklid (365-300 v.Chr.) – Elemente (Darstellung des damaligen Wissens der Geometrie) Flächenanlegung Quadrat in gleichflächiges Rechteck Nicht weiter drauf eingehen
Ellipse Hyperbel Parabel Kreis „Als Durchmesser einer ebenen Kurve bezeichne ich eine Gerade, die irgendeine Schar paralleler Sehnen halbiert, als Scheitel der Kurve bezeichne ich den auf der Kurve liegenden Endpunkt des Durchmessers; jene Parallelen aber bezeichne ich als zum Durchmesser geordnet gezogen.“ Czwalina 1967: 2 Aus diesem Zitat lässt sich der Ursprung des Wortes Ordinate ableiten. Geordnet heißt auf griechisch und auf lateinisch ordinatum.
Ellipse Hyperbel Parabel Kreis „Als Durchmesser einer ebenen Kurve bezeichne ich eine Gerade, die irgendeine Schar paralleler Sehnen halbiert, als Scheitel der Kurve bezeichne ich den auf der Kurve liegenden Endpunkt des Durchmessers; jene Parallelen aber bezeichne ich als zum Durchmesser geordnet gezogen.“ Czwalina 1967: 2 Aus diesem Zitat lässt sich der Ursprung des Wortes Ordinate ableiten. Geordnet heißt auf griechisch und auf lateinisch ordinatum.
Ellipse Hyperbel Parabel Kreis „Als Durchmesser einer ebenen Kurve bezeichne ich eine Gerade, die irgendeine Schar paralleler Sehnen halbiert, als Scheitel der Kurve bezeichne ich den auf der Kurve liegenden Endpunkt des Durchmessers; jene Parallelen aber bezeichne ich als zum Durchmesser geordnet gezogen.“ Czwalina 1967: 2 Aus diesem Zitat lässt sich der Ursprung des Wortes Ordinate ableiten. Geordnet heißt auf griechisch und auf lateinisch ordinatum.
Ellipse Hyperbel Parabel Kreis „Als Durchmesser einer ebenen Kurve bezeichne ich eine Gerade, die irgendeine Schar paralleler Sehnen halbiert, als Scheitel der Kurve bezeichne ich den auf der Kurve liegenden Endpunkt des Durchmessers; jene Parallelen aber bezeichne ich als zum Durchmesser geordnet gezogen.“ Czwalina 1967: 2 Aus diesem Zitat lässt sich der Ursprung des Wortes Ordinate ableiten. Geordnet heißt auf griechisch und auf lateinisch ordinatum.
Beschreibung und Kennzeichnung der Parabel Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Beschreibung und Kennzeichnung der Parabel Apollonios’ Kennzeichnung der Parabel in §11 Buch I von „ta konika“ beginnt mit dem Schnitt 1 eines Kegels durch die axiale Ebene (hier ist MN der Durchmesser). Dann folgt ein zweiter Schnitt 2, wobei die Grundfläche senkrecht auf der Grundlinie des Dreiecks (hier BCA) steht. Der Durchmesser des Kegelschnitts 2 ist parallel zu einer Seite des Dreiecks (hier AC). Dadurch wird das Quadrat von je einem Punkt des Kegelschnitts zum Durchmesser (hier KL) dem Rechteck gleich, dessen eine Seite der von Schnitt 1 getrennte Durchmesser (hier ZL) und dessen andere Seite eine konstante Strecke q (hier FZ) ist. q verhält sich zu der Entfernung zur Spitze des Kegels und dem Scheitel des Kegelschnitts 2, wie das Quadrat über dem Grundkreis (hier ) zu dem Rechteck, das aus den beiden anderen Achsen des Grunddreiecks gebildet wird ().[1] Damit ist die Parabel beschrieben (Figur 11). [1] Apollonios bedient sich hier der Flächenanlegung. Quelle: „Konika“: §11
Ellipse Hyperbel Parabel Kreis
Ellipse Hyperbel Parabel Kreis
Apollonius als Astronom Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Apollonius als Astronom Geozentrisches Weltbild: Erde = Zentrum des Universums Himmelskörper bewegen sich gleichförmig Bewegungen auf perfekten Kreisbahnen Beobachtungen: Schleifenbahnen der Planeten rückläufige Bewegung periodischen Helligkeitsschwankungen
Gliederung ≈ 360 ≈ 200 ≈ 150 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Menaichmos ≈ 150 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Menaichmos Ptolemäus Kopernikus Kepler Apollonius
Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Ptolemäus (ca. 100 – 160 n. Chr.) Kreisbewegungen nicht mehr gleichförmig gemäßigte Geozentrik bis zu 40 Epizykel Probleme: einheitliches System für die Veränderung von Position und Helligkeit der Planeten vorherrschende astronomische Theorie für ca. 1300 Jahre
Gliederung ≈ 360 ≈ 200 ≈ 150 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Menaichmos ≈ 150 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Menaichmos Ptolemäus Kopernikus Kepler Apollonius
Heliozentrisches / Kopernikanisches Weltbild Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543) Sonne im Mittelpunkt Erde rotiert um die eigene Achse Heliozentrisches / Kopernikanisches Weltbild Epizykeltheorie (!)
Gliederung ≈ 360 ≈ 200 ≈ 150 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Menaichmos ≈ 150 15./16 Jhd. 16./17. Jhd. Menaichmos Ptolemäus Kopernikus Kepler Apollonius
Johannes Kepler (1571 – 1630) Studium Apollonius‘ Kegellehre Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Johannes Kepler (1571 – 1630) Studium Apollonius‘ Kegellehre Monate lange astronomische Rechnungen Auswertung des Beobachtungs- materials von Tycho Brahe Widerlegung der Epizykeltheorie
Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Kepler´ sche Gesetze 1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren Brennpunkt die Sonne steht. 2. Der Radiusvektor (Verbindungslinie Sonne – Planet) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (= Flächensatz). 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten verschiedener Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnachsen.
Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Kepler´ sche Gesetze 1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren Brennpunkt die Sonne steht. 2. Der Radiusvektor (Verbindungslinie Sonne – Planet) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (= Flächensatz). 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten verschiedener Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnachsen.
Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Zweites Kepler´ sches Gesetz ?
Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Wie wirken die Kräfte? Zentralfeld
Ellipse Hyperbel Parabel Kreis Welche Größen müssen bei der Berechnung des Flächeninhalts berücksichtigt werden? Drehimpuls
Das war die Reise von den Kegelschnitten zur Himmelsmechanik