Phrenologische Lokalisation der Rechenfähigkeit

Zahlenverarbeitung und Rechnen aus kognitions-psychologischer Sicht •• Rechnen ist eine komplexe Fertigkeit, die die Beteiligung verschiedener unterschiedlicher kognitiver Verarbeitungskomponenten und – schritte erfordert. Um erfolgreich rechnen zu können: •• Muss man die Elemente einer Rechnung verarbeiten können (Mengen, Zahlen oder Buchstaben) müssen erkannt, verstanden und produziert werden. •• Muss man die beteiligten Rechenzeichen erkennen, verstehen und produzieren können. •• Müssen im (deklarativen) Gedächtnis gespeicherte Rechenfakten und Rechenprozeduren abgerufen werden. •• Sind an der (mentalen) Ausführung von Rechenprozeduren weiterhin allgemeine kognitive Ressourcen und Prozesse in unterschiedlichem Ausmaß beteiligt ( Aufmerksamkeits-, Arbeitsgedächtnis- und Problemlöseprozesse). •• Muss schließlich eine erzielte Lösung in einer bestimmten Modalität produziert werden.

Repräsentationen von Zahlen

Funktionelle Architektur des Rechnens

Verschiedene Notationsysteme für Zahlen

Angeborene Kernsysteme

Numerical discrimination

Präzise Repräsentation kleiner Mengen

Forschungsbefunde Forschungsüberblick kulturell, sprachlich vermitteltes Wissen Zählen number sense zwei Kernsysteme Vergleich größerer Mengen (approximate representations of numerical magnitude) Vergleich kleiner Mengen (precise representations of distinct individuals) Modell zur Entwicklung mathematischer Kompetenzen

Größenvergleich zweier einstelliger Zahlen

SNARC-Effekt

SNARC

Modelle der Zahlenverarbeitung und des Rechnens •• Ein zentrales Thema der kognitiven Psychologie –wie auch speziell der Zahlenverarbeitung - ist die Frage nach der Art und der Struktur mentaler Repräsentationen. • • werden mathematische Sachverhalte in einer (einzigen) abstrakten semantischen Repräsentation verarbeitet oder gibt es mehrere format- oder modalitätsspezifische Repräsentationen? • • Da Zahlen in verschiedenen Notationen (arabisch, verbal, römisch, als Punktmuster) dargestellt werden können, ist eine interessante Frage, ob das einen Einfluss auf die zugehörige(n) interne(n) Repräsentation(en) hat, welcher über die reine Enkodierung hinausgeht.

•• Die wichtigste semantische Information einer Zahl bezieht sich auf deren numerische Größe. Einige Modelle weisen der semantischen Repräsentation eine zentrale Rolle zu und gehen davon aus, dass jeder numerische Input zuerst semantisch repräsentiert werden muss, bevor eine weitere Verarbeitung erfolgen kann. • • In anderen Modellen werden direkte, asemantische Transkodierungsmechanismen zwischen verschiedenen Repräsentationen angenommen. ••Schließlich gibt es Modelle, in denen sowohl semantische wie asemantische Transkodierungswege postuliert werden.

Akalkulie - Symptomatik •• Die Symptome einer Akalkulie lassen sich klinisch grob unterteilen in: (1) Beeinträchtigungen der Zahlenverarbeitung, die das (auditive) Verständnis für Zahlen, das (laute) Lesen und Schreiben von Zahlen oder das regelhafte Anordnen von Zahlen betreffen (2) Störungen in der Verarbeitung von Rechenzeichen (3) Störungen des Zählens (4) Störungen des (mündlichen oder schriftlichen) Rechnens

Beispiel für eine Akalkulie •• Patient: 61-jähriger Arztes DRC mit linkshemisphärischer parieto-occipitaler Blutung (E. Warrington, 1982): •• (1) Orientierende klinisch-neuropsychologische Untersuchung: Aufforderung, im Kopf ‘‘fünf plus sieben’’ zu rechnen; Patient antwortet nach langem Zögern ‘‘ungefähr dreizehn’’. •• (2) Ausführliche neuropsychologische und experimentelle Untersuchungen mit Nachweis einer selektiven Beeinträchtigung des arithmetischen Faktenwissens: - Addieren und Subtrahieren selbst kleiner Zahlen gelingt nicht mehr ‘‘automatisch’’ - Abhilfe- wie bei Kindern - durch Abzählen vorwärts oder rückwärts. - Unter Zeitbeschränkung schnelle Angabe einer ungefähren Lösung mit häufigem Kommentar, dass es sich bei dem Ergebnis um eine gerade bzw. ungerade Zahl handeln müsse. •• Semantisches Wissen über Zahlen weitgehend intakt: - numerischer Größenvergleich zwischen zwei Zahlen - Abschätzen von Punktmengen adäquat oder z. B. wie viele Personen etwa in einen Londoner Bus passen. Interpretation: Gestörter Zugriff zum exakten arithmetischen Faktenwissen im semantischen Gedächtnis bei ansonsten erhaltenem semantischen Wissen über Zahlen. (E. Warrington 1982)

Akalkulie - Klinische Sympomatik 1. Störungen in der Zahlenverarbeitung •• Zahlen werden in der Notation des Quellcodes geschrieben werden ’’2457’’ -> ’’2tausendvierhundert57’’. •• Beim Addieren mehrerer Zahlen, gelingt es nicht, diese exakt stellenwertbezogen anzuordnen, und es kommt zum.„„Verrutschen““ in den Spalten. bzw. zu falschem stellenwertbezogenem Anordnen von Ziffern. (Räumliche-visuelle bzw. räumliche-konstruktive Störungen)

Akalkulie - klinische Symptomatik 2. Störungen der Verarbeitung von Rechenzeichen Bei Aphasikern kann sich eine gestörte Verarbeitung von Rechenzeichen so äußern, dass auditiv vorgegebene Rechenzeichen nicht verstanden oder mit anderen Rechenzeichen verwechselt werden. Derartige Probleme können auch selektiv ohne Beeinträchtigungen für andere visuelle Symbole auftreten (Ferro u. Botelho 1980).

Akalkulie - klinische Symptomatik 3. Störungen des Zählens •• Beeinträchtigungen der Zählfähigkeit als entwicklungspsychologischem Vorläufer von Additions- und Subtraktionsvermögen (Wynn 1998) sind bei aphasischen Patienten häufig zu beobachten. Allerdings beginnen dieProbleme in den meisten Fällen erst bei zwei- oder mehrstelligen Zahlen. • •Beim wenig automatisierten Rückwärtszählen kommen Beeinträchtigungen des verbalen Arbeitsgedächtnisses hinzu. Als spezieller Fehler wird beim Übergang zum nächstkleineren Zehner oft die nächstkleinere oder eine andere falsche Zehnerzahl geäußert (z.B. 23 22 21 10).

Akalkulie - klinische Symptomatik 4. Störungen des Rechnens •• Störungen des Abrufs von Rechenfakten: - Fehler beim einfachen Addieren und Subtrahieren (im Zahlenraum unter 20), - Fehler beim einfachen Multiplizieren (Kleines 1x1) und evtl. beim einfachen Dividieren durch kleine einstellige Zahlen. Normalerweise führt man für solche Aufgaben keine schrittweisen Berechnungen aus, sondern ruft im Langzeitgedächtnis gespeicherte Ergebnisse wie andere, hoch überlernte Fakten ab.

Das Triple-Code-Modell von Dehaene (1992) •• Im‘‘Triple Code’’ Modell sowie seiner funktionell-neuroanatomischen Einbettung (Dehaene u. Cohen 1995) werden drei Arten von internen mentalen Repräsentationen für Zahlen angenommen, die wechselseitig ineinander überführbar sind: •• (1) Ein visuell-arabischer Code (visuelle Zahlform), in den gelesene arabische Zahlen transformiert sowie von dem aus arabische Zahlen geschrieben werden. Auf diesen Code wird bei Rechenaufgaben mit mehrstelligen Zahlen oder z.B. bei einer geforderten Paritätsentscheidung (gerade/ungerade Zahl) zugegriffen. • • (2) Ein auditiv-verbaler Code, in den gehörte und gelesene Zahlwörter transformiert sowie von dem aus gesprochene und geschriebene Zahlwörter geäußert werden. Auf diese Repräsentation wird beim Abruf von arithmetischem Faktenwissen und beim fortlaufenden Zählen zurückgegriffen. Der Abruf von einfachem arithmetischem Faktenwissen aus dem semantischen Gedächtnis erfolgt durch Aktivierung der (phonologischen) cortico-subcortikalen Schleife unter Einschluß von Basalganglien und Thalamus, die auch für die Speicherung und Reproduktion automatisierter verbalmotorischer Sequenzen zuständig ist: so aktiviert z.B. die Sequenz ‘‘zwei mal vier’’ das Wort ‘‘acht’’ in kortikalen Sprachregionen.

•• (3) Zentrale Bedeutung besitzt der analoge Größencode, der die wichtigste semantische Information über eine Zahl - nämlich ihre numerische Größe - trägt. Diese numerische Größe wird als Aktivierungsverteilung über einem mentalen, (von links nach rechts) orientierten 'Zahlenstrahl' (mit logarithmischer Skalierung) repräsentiert. Diese Code wird aktiviert, wenn die Anzahl einer Menge von Objekten schnell zu erfassen, Zahlen hinsichtlich ihrer Größe zu vergleichen, numerische Nähe festzustellen, approximative Berechnungen auszuführen oder die überschlagsmäßige Richtigkeit von Rechnungen zu kontrollieren ist. •• Komplexere mentale Berechnungen erfordern den Einschluss linkshemisphärischer parietaler Strukturen mit visuo-spatialen und sprachlichen Repräsentationen sowie den dorsolateralen präfrontalen Cortex zur Auswahl von Bearbeitungsstrategien und zur Planung und Regelung der Abfolge von Zwischenschritten in einer längeren Berechnung. • • Zwischen den drei internen Codes werden bidirektionale Verbindungen angenommen. In der linken Hemisphäre eine asemantische Verbindung zwischen visueller Zahlform und Sprachsystem und eine semantische Verbindung unter Einschluß der quantitativen Größenrepräsentation; in der rechten Hemisphäre gibt es lediglich eine Verbindung zwischen visueller Zahlform und Größenrepräsentation. Eine direkte interhemisphärische Verbindung wird nur für die visuelle Wort- und Zahlform sowie die Größenrepräsentation angenommen.

Dyskalkulie unter neuropsychologischen Annahmen Modularitätsannahme besagt, dass spezifische kognitive Funktionen voneinander separierbar sind und in relativ unabhängigen Einheiten organisiert sind. Module sind genetisch bestimmt. Modell der representational redescription von Karmiloff-Smith: Entstehung neuer mentaler Repräsentationen kognitiver Funktionen ist erfahrungsabhängig; spezialisierte Module entwickeln sich in Interaktion mit der Umwelt. Damit ist Modularität nicht Ausgangspunkt, sondern Endpunkt von Entwicklungsprozessen. Schlußfolgerung: neurofunktionelle Organisation des Gehirns unterscheidet sich deutlich bei typischen und atypischen Entwicklungsverläufen

b) Störung der prozeduralen Operationen Dyskalkulie Diagnose Dyskalkulie: basisnumerische Fähigkeiten sind defizitär (Butterworth, 2005) Unter der Annahme der funktionellen Unabhängigkeit der am Rechenprozess beteiligten kognitiven Systeme , ist Dyskalkulie kein einheitliches Syndrom, sondern kann mit unterschiedlichen Leistungsprofilen einhergehen: Geary (1993) a) Störung des semantischen Gedächtnisses b) Störung der prozeduralen Operationen c) raum-analytische Störung Von Aster (2000) - verbaler Subtyp (Speichern und Abruf arithmetischer Fakten) - arabischer Subtyp (Schwierigkeiten beim Transkodieren) - pervasiver Subtyp (umfassende Schwierigkeiten)

Ursachen der Dyskalkulie Dehaene & Wilson (2007): neurokognitive Kerndefizite Empirisch am besten gestützt: beeinträchtige Mengen-repräsentation von Zahlen (Kinder können bei Zahlenvergleichsaufgaben nicht automatisch Zahl mit numerisch größerem Wert angeben) Bezug zu triple-code-modell: Beeinträchtige Mengenrepräsentation - Modul analoge Größenrepräsentation Mangender Faktenabruf - Modul verbal-phonologische Zahlenrepräsentation

Anatomisch-funktionales Modell der Zahlenverarbeitung von Dehaene & Cohen (1995)

Verschiene Repräsentationen in Abhängigkeit von Aufgaben

Entwicklungsdynamik zahlen- verarbeitender Hirnfunktionen

ZAREKI (von Aster, 2001) Neuropsychologische Testbatterie für Zahlenverarbeitung und Rechnen bei Kindern) Aufgaben der Testbatterie 1. Abzählen 2. Zahlen rückwärts (mündlich) 3. Zahlenschreiben 4a. Kopfrechnen: Additionen 4b. Kopfrechnen Subtraktionen 5. Zahlenlesen 6. Zahlenstrahl 7. Zahlenvergleich (Worte) 8. Perzeptive Mengenbeurteilung 9. Kognitive Mengenbeurteilung 10. Textaufgaben 11. Zahlenvergleich (Ziffern)

Normierung anhand von 279 Kindern A1 90 - 108 Monate ( 7;6 - 8;11 Jahre) N = 75 A2 109 - 120 Monate ( 9;0 - 9;11 Jahre) N = 81 A3 121 - 132 Monate (10;0 - 10;11 Jahre)N = 82 Faktorenanalysen ergaben 3 Faktoren Faktor 1: 3, 5, 7, 9, 10, 11 Faktor 2: 2, 4a, 4b Faktor 3: 6, 8 Faktor 1: kulturvermitteltes und schulrelevantes Zahlenwissen Faktor 2: Rechnen Faktor 3: visuell-analoge Zahlenrepräsentation

Faktor 1: hier werden interne Transkodierungsprozesse zwischen sprachlichen, arabischen sowie analogen und situativen Repräsentationen mit verschiedenen Aufnahme- und Antwortmodalitäten verlangt. Faktor 2: Aufgaben, die sprachlich gestellt und beantwortet werden müssen Faktor 3: diese Tests steuern über die visuelle Aufnahme analoge Repräsentationen für Zahlen in konkreter und abstrakter Form an 3 Subtypen der Dyskalkulie Arabischer Subtyp: Schwächen in Faktor 1 Sprachlicher Subtyp: Schwächen in Faktor 2 und in Abzählen tiegreifender Subtyp: Minderleistungen in allen drei Faktoren

Modifiziertes Modell von Cohen & Dehaene, 1991