Ein Modellansatz zur Beschreibung von Vagheiten Fuzzymengen Ein Modellansatz zur Beschreibung von Vagheiten Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Was ist das? Zuordnung von Werten zu Elementen x aus X einer Menge M durch charakteristische Funktion: Problem Anwendungen fordern „Übergänge“ zwischen Zugehörigkeit und Nicht-Zugehörigkeit zu einer Menge Zugehörigkeitswerte 0,1 werden erweitert zu reellem Einheitsintervall I Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Was ist das? man erhält neue charakteristische Funktion scharfe Mengen sind spezielle unscharfe Mengen unscharfe Menge ist durch Zugehörigkeitsfunktion eindeutig bestimmt: wichtige Größen: Träger: Höhe: Kern: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Was ist das? weitere scharfe Mengen zuordenbar: α-Schnitt: scharfer α-Schnitt: α-Komponente: A ist durch (scharfen) α-Schnitt eindeutig bestimmt und lässt sich in scharfe Mengen zerlegen Kern: Träger: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Was ist das? geltende Gesetze für : Inklusion als Halbordnung: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen ist eine binäre Operation t: kommutativ, assoziativ, monoton wachsend 1 als neutrales Element, 0 als Nullelement für beliebige muss gelten: nicht interaktiv heißt eine t-Norm, wenn gilt: und besonders: (Idempotenz) Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen Durchschnitt ist definiert durch: übliche t-Normen ( ): Durchschnitt t0: algebraisches Produkt t1: beschränktes Produkt t2: drastisches Produkt t3: es gilt: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen t-Conorm st ist eine zu t duale t-Conorm Definition: binäre Operation kommutativ, assoziativ, monoton wachsend für beliebige muss gelten: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen Vereinigung wird aus Durchschnitt mittels Komplementbildung erzeugt: übliche t-Conormen ( ): Vereinigung s0: algebraische Summe s1: beschränkte Summe s2: drastische Summe s3: es gilt: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen kartesisches Produkt: heißt unscharfes, t-Norm-basiertes kartesisches Produkt: es gilt: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Ein Modellansatz Mengenoperationen ZADEH (1965) Verallgemeinerungen der elementaren mengenalgebraischen Operationen für unscharfe Mengen Vereinigung: Durchschnitt: Komplement: erkannte als einzige nicht-interaktive Verknüpfung, es gilt: deutete andere Varianten an Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Ein Modellansatz Mengenoperationen geltende Gesetze: α-Schnitte: für beliebige unscharfe Mengen A,B,C gelten: dabei kann durch ersetzt werden Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Ein Modellansatz Mengenoperationen geltende Gesetze: Distributivgesetze Subdistributivgesetze Gleichheit statt Inklusion nur für Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Ein Modellansatz Mengenoperationen geltende Gesetze: Komplementbildung ist idempotent kehrt Inklusionsbeziehung um deMorgansche Gesetze gelten nicht alle Eigenschaften des gewöhnlichen Komplements gelten und sind möglich, da Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Ein Modellansatz Mengenoperationen Werteverlauf für t0, s0 Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Ein Modellansatz Mengenoperationen Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen einparametrische Familien von t-Normen Teilklassen der Menge der möglichen t-Normen für bestimmte Parameterwerte streben die Durchschnitte und Vereinigungen gegen die bereits definierten ausreichend umfangreich einfach handhabbar, überschaubar Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen HAMACHER (1978) Familie von t-Normen mit Parameterbereich duale t-Conormen Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen YAGER (1980) Familie von t-Normen mit Parameterbereich duale t-Conormen Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen WEBER (1983) Familie von t-Normen mit Parameterbereich duale t-Conormen Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Ein Modellansatz Mengenoperationen Erweiterungsprinzip: sei g eine n-stellige Funktion in X: lässt sich g auf unscharfe Zahlen aus erweitern? soll sich aus ergeben Zugehörigkeitswerte sollen Zugehörigkeitswert bestimmen wird so zu erweitert, dass gilt: gilt auch α-Schnitt-weise: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Ein Modellansatz Zahlenarithmetik praktischer Ansatz: Zugehörigkeitsfunktion sollte nur 1 Maxima haben, d.h. die Menge ist konvex: Grundbereich sollte Menge der reellen Zahlen sein: unscharfe Zahl: , d.h. Kern ist Einermenge unscharfes Intervall: jede unscharfe Zahl ist ein unscharfes Intervall gewöhnliche Zahlen sind besondere unscharfe Zahlen Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Ein Modellansatz Zahlenarithmetik Grundrechenarten: Erweiterungsprinzip wird angewendet: für Summe, Differenz und Produkt sei # das entsprechende Operationszeichen (+,-,*) Negatives Quotient: nur für unscharfes Intervall Kehrwert Quotient Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Ein Modellansatz Zahlenarithmetik Maximumbildung: da gilt besser: Mimimumbildung analog Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Ein Modellansatz Zahlenarithmetik geltende Gesetze: Kommutativ- und Assoziativgesetze gelten Distributivgesetz nur bedingt: nur, wenn oder A eine unscharfe Einermenge ist -A nur bedingt additives Inverses von A da nur für , aber i.A. Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Ein Modellansatz Zahlenarithmetik für Rechnen mit unscharfen Zahlen können folgende Vereinbarungen vorteilhaft sein: Intervall ist monoton steigend, Intervall monoton fallend beide Intervalle sind einem bestimmten Funktionstyp zuzuordnen falls die Einschränkungen der Zugehörigkeitsfunktion interessieren nur auf und werden genannt Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen Definition eine L/R-Darstellung einer unscharfen Zahl liegt vor, falls A durch seiner Zugehörigkeitsfunktion angegeben wird sind lineare Funktionen, heißt A unscharfe Zahl mit linearer L/R-Zerlegung oder dreiecksförmig gilt zusätzlich und , dann heißt A trapezförmig man schreibt genau dann, wenn und Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen seien und unscharfe Zahlen mit linearer L/R-Darstellung Summe Differenz Negatives Multiplikation mit Skalar Produkt und Quotient unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung sind i.A. keine unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung mehr Beispiel: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen es existieren Näherungsformeln ( ): Produkt: Quotient: Kehrwert: Multiplikation ohne Einschränkung der Träger man setzt und findet: und erhält als Näherungsformel: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen statt linearer Funktionstypen für auch andere möglich können verschiedene Funktionstypen haben Ansatz von DUBOIS/PRADE (1987): Funktionen sind durch Hilfsfunktionen L,R bestimmt: L,R monoton fallend für positive Argumente mit Parametern werden dann definiert als: man schreibt dann sind L,R lineare Funktionen und , ergeben sich folgende Beziehungen: Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Zahlenarithmetik L/R-Darstellung unscharfer Zahlen seien und unscharfe Zahlen mit L/R-Zerlegung Summe Negatives man beachte, dass L und R die Rollen vertauscht haben Differenz ist nur für L=R eine einfache L/R-Darstellung Produkt ( ) nur mit Näherungsformel Kehrwert ( ) ähnlich: L und R haben wieder Rollen vertauscht Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi

Fuzzymengen – Ein Modellansatz Quellen: BANDEMER/GOTTWALD Einführung in Fuzzy-Methoden (Akademie Verlag, 1992) Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi