Tensoreigenschaften physikalischer Größen Physikalische Größen Skalar – Gewicht, Masse, Volumen, Energie, Wärme, Arbeit Vektor – Feldstärke (des elektrischen oder magnetischen Feldes, …), Gradienten (Temperatur, Konzentration, Wärme, …), Ströme (elektrischer Strom, Diffusionsstrom, Wärmeströmung, ...) Tensor – mechanische Spannung, Verzerrung, Diffusionskoeffizient, atomare Temperaturschwingungen, … Tensoren beschreiben Abhängigkeit einer physikalischen Eigenschaft von der kristallographischen Richtung (Anisotropie)

Tensoreigenschaften physikalischer Größen Pyroelektrischer Effekt (max. 3 Komponenten) Elektrische Leitfähigkeit (max. 9 Komponenten) Diffusionsstrom (max. 9 Komponenten) Mechanische Belastung und Verzerrung des Kristallgitters (max. 81 Komponenten)

Proportionalkonstanten in physikalischen Gleichungen 3 9 27 81: 3n+1 Komponenten

Tensor

Atomare Temperaturschwingungen

Tensoren und Kristallsymmetrie Das Neumann-Prinzip Die Symmetrie einer physikalischen Eigenschaft kann nicht niedriger sein als die Symmetrie der Punktgruppe des Kristallgitters. Die Gruppe der Symmetrieoperationen (GT), die eine physikalische Eigenschaft (T) des Kristalls beschreibt, muss alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe K des Kristalls enthalten. Die Gruppe K muss deswegen eine Subgruppe der Gruppe GT sein: K Ì GT. Spezielle Anwendung: Brechungsindex kubischer Kristalle hat eine Kugelsymmetrie. Das gleiche gilt auch für atomare Temperaturschwingungen. Oder anders: die höchstmögliche Kristallsymmetrie folgt aus der Symmetrie der physikalischen Eigenschaften.

Tensoren und Kristallsymmetrie Das Voigt-Prinzip Die im Neumann-Prinzip deklarierten Bedingungen sind automatisch erfüllt, wenn die Komponenten des T-Tensors (Tensor der physikalischen Eigenschaften) gegenüber den Symmetrieoperationen der Symmetriegruppe K (Kristallsymmetrie) invariant sind. Der Tenzor keiner physikalischen Eigenschaft darf bei den Symmetrieoperationen ändern. Anwendung: Zusammenhang zwischen einzelnen Komponenten des Tensors T kann durch eine Multiplizierung mit den Matrizen für die Symmetrieoperationen festgestellt werden.

Voigt-Prinzip – Beispiele Erste Spiegelebene Zweite Spiegelebene Beide Bedingungen gleichzeitig:

Voigt-Prinzip – Beispiele Inversion: Keine Einschränkung für den Tensor der physikalischen Eigenschaften

Tensoren und Kristallsymmetrie Das Curie-Prinzip Ein Kristall ändert seine Punktgruppe (Punktsymmetrie) unter dem Einfluss einer externen Kraft, dass nur die Symmetrieelemente erhalten bleiben, die gleich wie die Symmetrieelemente der belastenden Kraft sind. K ... Punktgruppe der Symmetrieoperation im Kristall G ... Gruppe der Symmetrieelemente der äußeren Kraft