Unscharfe Optimierung Wintersemester 2005/2006

Unscharfe Optimierung Vorlesung Dienstags, 09.15–11.00, MIB-1107 Übung Dienstags (gerade Woche), 11.00–13.00, MIB-1107 Veranstalter Dr. Tatiana Starostina E-mail: Tatiana.Starostina@math.tu-freiberg.de Tel. 3786 Sprechstunde nach Vereinbarung

Literatur 1). M. Delgado, J. Kacprzyk, J.-S. Verdegay, M.A. Vila (ed.) Unscharfe Optimierung Literatur 1). M. Delgado, J. Kacprzyk, J.-S. Verdegay, M.A. Vila (ed.) Fuzzy Optimization: Recent Advances Physica-Verlag, Heidelberg, 1994. 2). H. Bandemer and S. Gottwald Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Methods with Applications John Wiley & Sons, Chichester 1995. 3). H.-J. Zimmermann Fuzzy Set Theory and its Applications 2nd ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991. 4). C.R. Bector, Suresh Chandra Fuzzy Mathematical Programming and Fuzzy Matrix Games Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2005.

Überblick Optimierung 1) im Sinne der Mathematik: Unscharfe Optimierung Überblick Optimierung 1) im Sinne der Mathematik: die Bestimmung optimaler zulässiger Punkte eines Optimierungsproblems hinsichtlich einer gegebenen Zielfunktion 2) in der Informatik: die Verbesserung der Effizienz eines Computerprogramms 3) Umgangssprachlich: meist eine Verbesserung eines Vorgangs oder Zustands bzgl. Qualität, Kosten, Geschwindigkeit, Effizienz und Effektivität.

Mathematische Optimierung Nichtlineare Optimierung Unscharfe Optimierung Überblick Mathematische Optimierung Parametrische Optimierung Diskrete Optimierung Nichtlineare Optimierung Dynamische Optimierung Lineare Optimierung Konvexe Optimierung Nichtkonvexe Optimierung

Problembereich „Unschärfe“ bei Optimierungsmodellen Unscharfe Optimierung Problembereich „Unschärfe“ bei Optimierungsmodellen

Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Daten: „X gehört zu den großen Menschen“: Jemand, der 1,60 m groß ist, wird mit einer Zugehörigkeit von 0,2 zu den großen Menschen gerechnet. Dagegen wird jemand, der 1,85 m groß ist, mit einer Zugehörigkeit von 0,8 Die Aussage „Y ist dick“ hängt von den Attributen Körpergröße, Körperumfang und Gewicht ab.

Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Daten: Die Auffassung über die Daten beeinflusst auch die Werte von Daten. Beispiel: Die Frage ist „Wann schließen die Geschäfte?“ Die Antwort „Um 18 Uhr“. Das kann bedeuten: 1) alle Geschäfte sind um 18 Uhr zu; 2) einige Geschäfte schließen bereits um 17 Uhr, andere dagegen erst um 20 oder 21 Uhr. Eine entsprechende Zugehörigkeitsverteilung zur Aussage „Die Geschäfte sind geschlossen“ lässt sich dann über die Zeit aufstellen.

Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Scharfe Zahl: x =18 Unscharfe Zahl: x = „etwa 18“

Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Daten: Scharfe und unscharfe Regionen scharfe Darstellung; (b) unscharfe Darstellung Unscharfe Region: See Unscharfe Region: Wald

Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Optimierung Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle Unscharfe Modelle: Beispiele: Unscharfer Graph Unscharfe Relation

Arten der Unschärfe „Unschärfe“: nichtexakte Bedeutung des Wortes oder Unscharfe Optimierung Arten der Unschärfe „Unschärfe“: nichtexakte Bedeutung des Wortes oder mangelnde Information und die fehlende Möglichkeit, einen Begriff exakt beschreiben zu können Abb. Arten der Unsicherheit    Wahrscheinlichkeiten für das menschliche Komplexität in der Eintreten von Ereignissen Empfindungen Beschreibung des Begriffs

nicht genug Informationen liegen in der augenblicklichen Unscharfe Optimierung Quellen der Unschärfe nicht genug Informationen liegen in der augenblicklichen Situation vor das Erfassen und Abbildendes Systems ist subjektiv verschieden Unschärfe

Unscharfe Optimierung Klassische Mengen

Unscharfe Menge zur Modellierung der Unschärfe Unscharfe Optimierung Unscharfe Menge zur Modellierung der Unschärfe

Unscharfe Menge zur Modellierung der Unschärfe Unscharfe Optimierung Unscharfe Menge zur Modellierung der Unschärfe Beispiel: (Modellierung unscharfer Begriffe) Unscharfe Begriffe in der Umgangssprache: ”groß“, ”klein“, ”schnell“, ”reich“, ”schön“, ”warm“, ”kalt“, ”heiß“ usw. Kontext beachten! Beispiel: Betrachten den unscharfen Begriff ”klein“ mit Bezug auf Kosten. Grundmenge: X = {10, 20, 50, 100, 150, 200, 400, 700, 1000}. „Kleine“ Kosten: {(10; 1), (20; 0,97), (50; 0,85), (100; 0,75), (150; 0,7), (200; 0,6), (400; 0,5), (700; 0,25), (1000; 0,1)}.

Unscharfe Menge zur Modellierung der Unschärfe Unscharfe Optimierung Unscharfe Menge zur Modellierung der Unschärfe Beispiel: Abb. A): Menge A - die Menge der günstigen Preise für ein Paar Schuhe. Dann stellt 49,98 EURO noch einen günstigen Preis dar, dagegen würde ein um 3 Cent höherer Preis von 50,01 EURO nicht mehr als günstig angesehen werden. Abb. B): Darstellung der unscharfen Menge der günstigen Preise für ein Paar Schuhe. Die Gleichung  (x) = 0,7 besagt, dass der Wert x=23 mit dem Zugehörigkeitsgrad =0,7 als günstiger Preis angesehen wird. Abb. A) Abb. B)

Unscharfe Optimierung Unscharfe Mengen Unscharfe Mengen werden durch Zugehörigkeitsfunktionen (ZGF) repräsentiert. Die Art der Darstellung ist von Grundmenge X abhängig X hat endlich viele Elemente Besitzt X sehr viele Elemente oder ist X ein Kontinuum, z.B. kontinuierliche Messgrößen   diskrete Darstellung von ZGF parametrische Darstellung von ZGF

Unscharfe Optimierung Unscharfe Mengen Operationen

Klassifizierung der unscharfen Optimierungsprobleme Unscharfe Optimierung Klassifizierung der unscharfen Optimierungsprobleme Unscharfe Optimierungsprobleme Unscharfe Modelle Modelle mit unscharfen Daten Unscharfe Graphen Unscharfe Relationen

Optimierungsmodelle mit unscharfen Daten Unscharfe Optimierung Optimierungsmodelle mit unscharfen Daten Optimierungsmodelle Unscharfe Diskrete Optimierungs-modelle Unscharfe Parametrische Optimierungs- modelle Unscharfe Lineare Optimierungs- modelle Unscharfe Nichtlineare Optimierungs-modelle Unscharfe Dynamische Optimierungs-modelle Unscharfe Entscheidungen Entscheidungen mit mehreren Zielen Entscheidungen mit mehreren Attributen

Unscharfe Graphen Es gibt zwei Typen von unscharfen Graphen. Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen Es gibt zwei Typen von unscharfen Graphen. Definition 1 Beispiel 1

Unscharfe Graphen des ersten Typs Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen des ersten Typs Definition 2 Beispiel 2

Die Mengen der Nachbarn, Vorgänger und Unscharfe Optimierung Die Mengen der Nachbarn, Vorgänger und Nachfolger in unscharfen Graphen

Die Mengen der Nachfolger Unscharfe Optimierung Die Mengen der Nachfolger in unscharfen Graphen Beispiel

Matrixform der unscharfen Graphen Unscharfe Optimierung Matrixform der unscharfen Graphen Beispiel 3

Unscharfe Graphen des zweiten Typs Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen des zweiten Typs Definition 3

Unscharfe Graphen des zweiten Typs Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen des zweiten Typs Definition 4

Unscharfe Graphen des zweiten Typs Unscharfe Optimierung Unscharfe Graphen des zweiten Typs Beispiel 4 Beispiel 5

Transformation der unscharfen Graphen Unscharfe Optimierung Transformation der unscharfen Graphen Unscharfer gerichteter Graph des zweiten Typs Unscharfer gerichteter Graph des ersten Typs  gekoppelte Graphen

Eingangs- und Ausgangsgrad eines Knotens in unscharfen Graphen Unscharfe Optimierung Eingangs- und Ausgangsgrad eines Knotens in unscharfen Graphen

Numerische Charakteristiken der Knoten der unscharfen Graphen Unscharfe Optimierung Numerische Charakteristiken der Knoten der unscharfen Graphen

Unscharfe Teilgraphen Unscharfe Optimierung Unscharfe Teilgraphen

Unscharfe Teilgraphen Unscharfe Optimierung Unscharfe Teilgraphen Beispiel 6

Unscharfe Teilgraphen Unscharfe Optimierung Unscharfe Teilgraphen Beispiel 7

Unscharfes Enthaltsein und unscharfe Gleichheit von unscharfen Graphen Unscharfe Optimierung Unscharfes Enthaltsein und unscharfe Gleichheit von unscharfen Graphen

Unscharfes Enthaltsein und unscharfe Gleichheit von unscharfen Graphen Unscharfe Optimierung Unscharfes Enthaltsein und unscharfe Gleichheit von unscharfen Graphen Beispiel 8   

Operationen von unscharfen Graphen Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen

Operationen von unscharfen Graphen Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen

Operationen von unscharfen Graphen Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen

Operationen von unscharfen Graphen Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen

Operationen von unscharfen Graphen Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen

Operationen von unscharfen Graphen Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen

Operationen von unscharfen Graphen Unscharfe Optimierung Operationen von unscharfen Graphen Beispiel