Robertson-Walker Metrik 3. Eine Metrik für das Universum: Robertson-Walker Metrik Kosmologisches Prinzip: Die Welt ist homogen und isotrop, d.h. das Universum sieht (zu einem bestimmten Zeitpunkt) von allen Orten aus gleich aus ! Dies gilt nicht nur für die Massendichte, sondern auch in Bezug auf die chemische Zusammensetzung der Sterne, auf Häufigkeit der Sterntypen etc. Welche Zeit ? Wessen Zeit ?

Spezielle Relativitätstheorie: Konzept der Zeit ist klar, wenn man das Inertialsystem festlegt (es gibt globale Inertialsysteme). Allgemeine Relativitätstheorie: Es gibt kein globales Inertialsystem. (Es sei denn, die Raumzeit ist flach !). Man kann einem Ereignis keine eindeutige Zeit zuordnen ! Konzept der dreidimensionalen raumartigen Hyperflächen !

„Kosmologische Flüssigkeit“: Betrachte die Menge aller Galaxien (besser: die Massenmittelpunkte von Galaxien-Clustern) als homogene Flüssigkeit. Bewegung dieser Flüssigkeit = kosmologischer Fluss

Weyl Postulat: Die 4-dim. Raumzeit, in der unser Weltall existiert, ist zerlegbar in dreidimensionale Hyperflächen konstanter „Zeit“ (Foliation). Die Teilchen der „kosmologischen Flüssigkeit“ (Galaxien-Cluster) bewegen sich auf Geodäten, die auf den einzelnen Blättern der Foliation (das sind 3-dim. räumliche Mannigfaltigkeiten) senkrecht stehen.

Homogenität des Raumes: Durch jedes Ereignis im Universum geht eine homogene raumartige Hyperfläche Die physikalischen Gegebenheiten (Dichte und Druck) sind in allen Ereignissen der Hyperfläche gleich. Isotropie des Raumes: Ein Beobachter, welcher sich mit der „kosmologischen Flüssigkeit“ bewegt, kann durch keine physikalische Messung zwischen verschiedenen Raumrichtungen unterscheiden. Weltlinien der kosmologischen Flüssigkeit schneiden die homogenen raumartigen Hyperflächen senkrecht !

x0 = t = ti + const. mit Metrik R2(t) gij (xk) dxi dxj SI mit Metrik gij (xk) dxi dxj (1.) Wähle eine homogene raumartige Hyperlfäche SI aus und versehe diese mit einem räumlichen Koordinatennetz (x1, x2, x3). (2.) Ordne allen Ereignissen auf dieser Hyperfläche die Koordinatenzeit ti zu. (3.) Verschiebe die Hyperfläche SI entlang der Weltlinien der kosmologischen Flüssigkeit und ordne allen Ereignissen auf einer Weltlinie diejenige räumlichen Koordinaten (x1, x2, x3) zu, bei welchen diese die Hyperfläche SI schneidet ! Parametrisiere die Weltlinie mit reellem Paramter t (x1, x2, x3) = const. x0 = t = ti + const.

ds2 = c2dt2 - a2(t) gij (xk) dxi dxj Metrik (Geometrie) auf SI : gij(xk) dxi dxj Metrik der Raumzeit in „comoving coordinates“: ds2 = c2dt2 - a2(t) gij (xk) dxi dxj universeller Expansionsfaktor / Skalenfaktor mit a(t0) = 1

Der Weg zur Robertson-Walker Metrik 1.) Isotropie: Denn: gäbe es Terme , dann würden räumliche Verschiebungen dxk und –dxk mit unterschiedlichem Vorzeichen zu ds2 über ein kleines Zeitintervall dt beitragen wird durch Isotropie verboten ! Stromlinien / Weltlinien der kosmischen Flüssigkeit stehen senkrecht auf den homogen raumartigen Hyperflächen.

2.) Die Weltlinien der kosmischen Materie sind zeitartige Geodäten. d.h. Galaxien-Cluster sind frei „fallende Teilchen“, bewegen sich also frei im Gravitationsfeld der übrigen Materie. g00 hängt nur von x0 ab. neue Zeitkoordinate

3.) Damit die räumliche Isotropie erhalten bleibt, muss die Zeitabhängigkeit für alle Komponenten von dieselbe sein: In einem Blatt fester Zeit t0 sei die räumliche Metrik universeller Expansionsfaktor / Skalenfaktor mit a(t0) = 1

Beschreibt die Form aller homogenen raumartigen Hyperflächen (nicht nur der anfänglichen zum Zeitpunkt t0 )

Hubble Law Expected if universe is undergoing homogeneous and isotropic expansion Hubble Law 1 2 3 r12 r23 r31 2 scale factor a(t) 3 1 (from http://www.roe.ac.uk/~jap/pust/gbirth/sld012.htm)

4.) Bestimmung der möglichen räumlichen 3- Geometrien für homogene, isotrope räumliche Hyperflächen. muss um jeden Punkt, und damit speziell um den Koordinatenursprung isotrop sein – d.h. es besteht Kugelsymmetrie um den Ursprung; Ansatz (anlog zur Herleitung der Schwarzschildlösung): r = radiale Koordinate die so gewählt wurde, dass der Umfang eines Kreises um den Ursprung mit Radius r gerade 2pr wird.

Forderung nach Homogenität = Isotropie um jeden Punkt Krümmungsskalar von muss an allen Raumpunkten eines zu einem beliebigen Zeitpunkt t gehörenden Blattes den selben Wert haben. Wenn ein Raum existiert, der homogen und um jeden Punkt isotrop ist, dann muss die räumliche Metrik folgende Form haben:

R = radius of the sphere r r

Zusammenfassung: Robertson Walker Metrik

2 R0 = Krümmungsradius (heute); hat Dimension der Länge

Parameter der RW-Metrik: (dimensionsloser) Skalenfaktor a(t) Krümmung (heute): K0 = k / R02 Mitbewegte Koordinaten: (r, q, f ) (comoving coordinates) „Label“, die fest mit den Galaxien-Clustern verbunden sind und sich daher zeitlich nicht ändern ! q, f gewöhnliche Polarkoordinaten, z.B. RA, dec r Mitbewegte radiale Koordinate (Entferung), unabh. von t, = physikalische Entfernung heute radiale Entfernung zur Epoche t (proper radial distance) l(t) = a(t) r

R = radius of the sphere r r

Das Signal läuft auf einer Null-Geodäten („null cone“) ds2 = 0 Erde Wellenpaket Galaxie (0,0,0) ( r(t), qe, fe ) (re, qe, fe ) Das Signal läuft auf einer Null-Geodäten („null cone“) ds2 = 0

Zusammenfassung: Friedmann-Gleichungen