DIE HÜLLKURVE Beispiel aus dem Alltag: Beim Transportieren von Möbeln muss man zunächst überprüfen, ob sich die Einrichtungsgegenstände auch um die Ecke bewegen lassen.

Berechnung einer Hüllkurve am Beispiel der Kurvenschar ga(x) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax

I. Ordinatenbestimmung Zur Ordinatenbestimmung stellen wir uns an eine Stelle x der x-Achse An dieser Stelle betrachten wir alle Punkte Pa der Scharkurve, die direkt über oder unter uns liegen. Pa (x ; 1/a · e – ½ x² + ax ) Der Bereich in dem die Ordinaten liegen = Wertemenge der Funktion hx(a) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax

h2(a) = 1/a ∙ e -2 + 2a = ga(2) = 1/a ∙ e -2 + 2a Für x > 0 hx(a) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax z.B. h2(a) = 1/a ∙ e -2 + 2a ga(x) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax z.B. g2(x) = 1/2 ∙ e – ½ x² + 2x h2(a) = 1/a ∙ e -2 + 2a = ga(2) = 1/a ∙ e -2 + 2a

Wertemenge der Hüllkurve Wir suchen nun den Wert für a für den die Funktion hx(a) Extrempunkte besitzt: hx(a) = 1/a · e – ½ x² + ax hx ‘(a) = - 1/a² · e – ½ x² + ax + 1/a · x · e – ½ x² + ax hx ‘(a) = (- 1/a² + x/a) · e – ½ x² + ax Extremwertbestimmung: Wir suchen den Wert für a für den hx‘(a) = 0 0 = (- 1/a² + x/a) · e – ½ x² + ax da die e-Funktion keine NS hat:  0 = (-1/a² + x/a) a = 1/x

Ordinaten der Extrempunkte: hx(1/x) = x ∙ e – ½ x² + 1

Vorzeichenwechsel von -1 nach +1 Die Extrempunkte der Funktion hx(a) besitzen alle die Koordinaten Ex(1/x ; x · e – ½ x² +1) Für x > 0 Vorzeichenwechsel von -1 nach +1  Minima E0,2 (5 ; 0,53 ) E0,5 (2 ; 1,2 ) E1 (1 ; 1,65 )

Vorzeichenwechsel von +1 nach -1 Für x < 0 Vorzeichenwechsel von +1 nach -1  Maxima z.B. E -2 (-0,5 ; - 0,75) E-1 (-1; - 1,7)

Zusammenfassung: Für a = 1/x besitzt die Wertemenge der Funktion Extrempunkte Alle Extrempunkte besitzen die Koordinaten: Ex(1/x ; x · e – ½ x² +1) Alle Punkte der Hüllkurve liegen auf dem Graf der Funktion y = x · e – ½ x² +1

Hüllkurve von hx(a) ga(x) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax ga ‘(x) =(-x/a + 1) · e – ½ x² +1 0 = (-x/a + 1) · e – ½ x² +1 x = a ga(a) = 1/a ∙ e ½ a²

Die Ortslinie waagrechter Tangenten von ga(x) stellt die Hüllkurve der Funktion hx(a) dar.

Um nun die Wertemenge der Funktion hx(a) zu bestimmen müssen wir einige Grenzwerte berechnen Fallunterscheidung: x > 0  Minima im Bereich a > 0 lim 1/a e – ½ x² +ax = +∞ a0+  Erster Teil der Wertemenge: [x e – ½ x²+1 ; +∞[ a < 0  hx‘(a) < 0 lim hx(a) = lim 1/a e – ½ x² +ax = 0- a-∞ a-∞  Zweiter Teil der Wertemenge: ]- ∞ ; 0[

Wertemenge für positive Parameter x: Für x > 0 Whx = ] -∞ ; 0[ U [x e - ½ x²+1; +∞[

a0- a0+ lim 1/a e – ½ x² +ax = 0 a+∞ x < 0  Maxima im Bereich a < 0 lim 1/a e – ½ x² +ax = - ∞ a0- Erster Teil der Wertemenge: ]-∞ ; x e – ½ x² +1] a > 0 lim 1/a e – ½ x² +ax = +∞ a0+ lim 1/a e – ½ x² +ax = 0 a+∞  Zweiter Teil der Wertemenge: ]0; + ∞[

 Wertemenge für negative Parameter x: Für x < 0 Whx = ]-∞ ; x e – ½ x² +1] U ]0; + ∞[

Die Hüllkurve besteht aus der x-Achse und der Kurve y = x ∙ e – ½ x²+1

ga(x) = (x + a) ∙ e (a-11x)/12x Aufgabe: Bestimme von folgender Schar die Hüllkurve: ga(x) = (x + a) ∙ e (a-11x)/12x