Die Dynamik von abgeleiteten Preisen Stochastische Differentialgleichungen

Übersicht Einführung Einführung Geometrische Beschreibung des Pfades von Stoschastischen Differentialgleichungen Geometrische Beschreibung des Pfades von Stoschastischen Differentialgleichungen Lösungen von SDG‘s Lösungen von SDG‘s Bedeutende Modelle von SDG‘s Bedeutende Modelle von SDG‘s Stochastische Volatilität Stochastische Volatilität Zusammenfassung Zusammenfassung

Einführung (1) Stochastische Differentialgleichung (SDG):

Einführung (2) Verschiedene Marktteilnehmer können verschiedene Funktionen a(St,t) und σ(St,t) Verschiedene Marktteilnehmer können verschiedene Funktionen a(St,t) und σ(St,t) Abhängig von der Menge an Informationen Abhängig von der Menge an Informationen Z.B.: Insider Informationen und Kenntnis aller zufälligen Ereignisse, die den Marktpreise beeinflussen (kein Diffusionsterm): dSt=a*(St,t)dt Z.B.: Insider Informationen und Kenntnis aller zufälligen Ereignisse, die den Marktpreise beeinflussen (kein Diffusionsterm): dSt=a*(St,t)dt Normaler Marktteilnehmer: dSt=a(St,t)dt+σ(St,t)dWt Normaler Marktteilnehmer: dSt=a(St,t)dt+σ(St,t)dWt Wobei a*≠a Wobei a*≠a

Einführung (3) Die Drift- und Diffusionsparameter hängen von S t und t ab und sind daher selbst Zufallsvariablen. Die Drift- und Diffusionsparameter hängen von S t und t ab und sind daher selbst Zufallsvariablen. Sie sind aber Informationsadaptiert und werden daher beim Informationsstand I t zum Zeitpunkt t fixiert. Sie sind aber Informationsadaptiert und werden daher beim Informationsstand I t zum Zeitpunkt t fixiert. Sie müssen folgende Bedingungen einhalten: Sie müssen folgende Bedingungen einhalten:

Geometrische Beschreibung des Pfades von SDG‘s

Lösungen von SDG‘s (1) Die Lösung (S t ) ist selbst ein stochastischer Prozess Die Lösung (S t ) ist selbst ein stochastischer Prozess

Lösungen von SDG‘s (2) Starke Lösung: Starke Lösung: W t bekannt (Fehlerteil) W t bekannt (Fehlerteil) Ähnlich wie bei normalen Differentialgleichungen Ähnlich wie bei normalen Differentialgleichungen Hängt ab von t und W t (und von den Parametern) Hängt ab von t und W t (und von den Parametern)

Lösungen von SDG‘s (3) Schwache Lösung: Schwache Lösung: Š=f(t,Ŵ) Š=f(t,Ŵ) Wobei Š und Ŵ gleichzeitig bestimmt werden Wobei Š und Ŵ gleichzeitig bestimmt werden Gegeben sind nur die Drift- und Diffusionsparameter a(.) und σ(.) Gegeben sind nur die Drift- und Diffusionsparameter a(.) und σ(.) Ŵ ist ein Wiener Prozess Ŵ ist ein Wiener Prozess dŴ und dW haben beide Erwartungswert 0 und eine Varianz von dt dŴ und dW haben beide Erwartungswert 0 und eine Varianz von dt dŠ t =a(Š t,t)dt+σ(Š t,t)dŴ t dŠ t =a(Š t,t)dt+σ(Š t,t)dŴ t S t ist I t adaptiert, während Š t H t adaptiert ist S t ist I t adaptiert, während Š t H t adaptiert ist

Lösungen von SDG‘s (4) Verifikation

Lösungen von SDG‘s (5) Verifikation dS t =a*dt+σ*dW t dS t =a*dt+σ*dW t S t =f(a, σ, S 0, t, W t ) S t =f(a, σ, S 0, t, W t ) W t und daher auch S t sind stochastische Prozesse W t und daher auch S t sind stochastische Prozesse Daher ist S t nicht ableitbar Daher ist S t nicht ableitbar Verifikation aber mit Ito‘s Lemma möglich Verifikation aber mit Ito‘s Lemma möglich

Lösungen von SDG‘s (6) Verifikation – Black-Scholes

Lösungen von SDG‘s (7) Verifikation – Black-Scholes Starke Lösung Starke Lösung Einsetzen in Ito‘s Lemma zu Verifikation Einsetzen in Ito‘s Lemma zu Verifikation

Lösungen von SDG‘s (8) Verifikation – Black-Scholes

Lösungen von SDG‘s (9) Wichtiges Beispiel

Lösungen von SDG‘s (10) Wichtiges Beispiel Lösung direkt mittels Integral Lösung direkt mittels Integral Nötig ist die Dichtefunktion von Wt Nötig ist die Dichtefunktion von Wt Es existiert aber noch eine zweite Methode Es existiert aber noch eine zweite Methode

Lösungen von SDG‘s (11) Wichtiges Beispiel Substituieren Substituieren Anwenden von Ito‘s Lemma Anwenden von Ito‘s Lemma Integrieren führt zu einem einfachen Integral Integrieren führt zu einem einfachen Integral Durch Rücksubstituieren erhalten wir Durch Rücksubstituieren erhalten wir Dies führt zum folgenden Schluss: Der jetzige Wert einer Aktie entspricht dem abgezinsten Erwartungswert Dies führt zum folgenden Schluss: Der jetzige Wert einer Aktie entspricht dem abgezinsten Erwartungswert

Bedeutende Modelle von SDG‘s (1) Lineare SDG mit konstanten Koeffizienten Fluktuiert rund um einen linearen Trend Fluktuiert rund um einen linearen Trend Geeignet für bestimmte Aktien Geeignet für bestimmte Aktien

Bedeutende Modelle von SDG‘s (2) Lineare SDG mit konstanten Koeffizienten

Bedeutende Modelle von SDG‘s (3) Geometrische SDG Fluktuiert rund um einen exponentiellen Trend Fluktuiert rund um einen exponentiellen Trend Besser geeignet für Aktien als lineare SDG‘s Besser geeignet für Aktien als lineare SDG‘s

Bedeutende Modelle von SDG‘s (4) Geometrische SDG

Bedeutende Modelle von SDG‘s (5) Quadratwurzel-Prozesse Varianz des Fehlerteils ist jetzt proportional zu Sk (anstatt zu Sk^2) Varianz des Fehlerteils ist jetzt proportional zu Sk (anstatt zu Sk^2) Für „langweiligere“ Aktien (Blue Chips,...) Für „langweiligere“ Aktien (Blue Chips,...)

Bedeutende Modelle von SDG‘s (6) Quadratwurzel-Prozesse

Bedeutende Modelle von SDG‘s (7) Mean Reverting Process Fluktuiert um einen Langzeittrend Fluktuiert um einen Langzeittrend Geeignet zum Modellieren von Zinsen Geeignet zum Modellieren von Zinsen

Bedeutende Modelle von SDG‘s (8) Mean Reverting Process

Bedeutende Modelle von SDG‘s (9) Ornstein-Uhlenbeck Prozess

Stochastische Volatilität Auch μ und σ können Zufallsprozesse sein Auch μ und σ können Zufallsprozesse sein dS t =μdt+σ t dW 1t dS t =μdt+σ t dW 1t dσ t =λ(σ 0 -σ t )dt+ασ t dW 2t dσ t =λ(σ 0 -σ t )dt+ασ t dW 2t W 1t und dW 2t unabhängig W 1t und dW 2t unabhängig Die Volatilität hat dann einen langzeit Mittelwert von σ 0 kann aber jederzeit stochastisch abweichen Die Volatilität hat dann einen langzeit Mittelwert von σ 0 kann aber jederzeit stochastisch abweichen

Zusammenfassung Lösungen für SDG‘s Lösungen für SDG‘s Starke Lösung Starke Lösung Schwache Lösung Schwache Lösung Wichtige Modelle Wichtige Modelle Lineare SDG mit konstanten Koeffizienten Lineare SDG mit konstanten Koeffizienten Geometrische SDG‘s Geometrische SDG‘s Quadratwurzel Prozesse Quadratwurzel Prozesse Mean Reverting Process Mean Reverting Process Ornstein-Uhlenbeck Prozess Ornstein-Uhlenbeck Prozess