VRS Liniennetzplan der Bonner Innenstadt

Kartogramm des Liniennetzplanes

Graphen Knoten

Graphen 2 4 1 3 Knoten Kanten

Graphen B 2 4 1 3 Knoten Kanten Pfad A

Graphen B 2 4 1 3 Knoten Kanten Pfad kürzester Pfad A

Graphen Gerichteter Graph

Graphen Nicht zusammenhängend

Trennende Kante (Isthmus) Graphen Zusammenhängend Trennende Kante (Isthmus)

Graphen Trennender Knoten

Isomorphe Graphen J M L K J M L K J M L K A B C D A B C D A B C D

Vereinfachung von Netzwerken Beispiel: Eisenbahnnetz a) b) c) d) a) Karte mit geographischen Koordinaten b) Generalisieren von Verbindungen c) Entfernung des Kontextes d) Entzerren von Verbindungen

Definitionen I Ein ungerichteter Graph G(V,E) ist eine Menge V von Knoten zusammen mit einer Menge E von Kanten. Eine Kante ist eine Menge (ungeordnetes Paar) von je 2 Knoten. e = {x,y} x  V y  V Wenn e = {x,y} dann sind x und e bzw. y und e inzident. Zwei Kanten {x,y} und {y,z} sind adjazent. Ein Pfad ({a1,a2},{a2,a3},{a3,a4}, ... ,{an-1,an}) von a1 nach an ist ein Folge von adjazenten Kanten.

Definitionen II Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn man zu jedem Paar von Knoten einen Pfad findet; sonst nicht zusammenhängend. Ein Pfad von a nach a heißt Zyklus. Ein Graph heißt zyklenfrei, wenn er keine Zyklen besitzt. Beispiel: Baum (zyklenfrei + zusammenhängend) Grad eines Knotens: Zahl der inzidenten Kanten Beispiel: In Landkarten haben Knoten mindestens den Grad 2.

Definitionen III Trennende Kante e eines zusammenhängenden Graphen G: Entfernung von e würde G nicht zusammenhängend machen. Beispiel: Sylt + Hindenburg-Damm Trennender Knoten v eines zusammenhängenden Graphen G: Entfernung von v würde G nicht zusammenhängend machen. Beispiel: Attentat auf das World Trade Center in New York

Definitionen IV Gerichtete Graphen unterscheiden sich von ungerichteten dadurch, daß die Kanten nicht Mengen (ungerichtet) sondern Paare (gerichtet) sind. C B A zusammenhängend C B A zusammenhängend C B A nicht zusammenhängend kein Pfad von A nach B A nach C C nach B

Definitionen V Isomorphie zweier Graphen G = (V,E) G‘= (V‘,E‘) G  G‘ gilt, wenn V  V‘ es existieren bijektive E  E‘ (eineindeutige) Abbildungen Ebener Graph: Jeder Knoten hat Koordinaten Die (geraden) Kanten sind paarweise kreuzungsfrei ebener Graph kein ebener Graph

Anwendungsbeispiel Routenplanung für Autofahrer (Taxifahrer) in der Kölner Innenstadt und Umland auf Basis von Graphen Ziel: UML-Diagramm Frage: Reichen die heute diskutierten Begriffe für diesen Zweck aus? Was fehlt? Szenario: Sylvester/Karneval, Kunde von Kneipe x in Krankenhaus y fahren.