Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards Didaktik des Sachrechnens 3 Dr. Christian Groß Lehrstuhl Didaktik der Mathematik Universität Augsburg Sommersemester 2007

Vorläufiger Plan für die Vorlesung Einführung in das Sachrechnen Modellierungsprozesse Größen und Größenbereiche (Theorie und Praxis) Sachrechnen in Klasse 5 und 6 Prozent- und Zinsrechnung (Klassen 7 – 9) Proportionale, lineare und umgekehrt proportionale Funktionen (Klassen 7 – 9) Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (Klasse 9 und 10)

Modellierungsprozesse Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards Modellierungsprozesse

Begriffsbestimmung Was heißt Modellieren? Mathematisches Modellieren bedeutet demnach, ein entsprechendes mathematisches Modell herzustellen. Neubedeut. Wissensch. das Modell eines (natur)wissenschaftlichen oder gesellschaftlichen Vorgangs herstellen. (www.dwds.de)

Begriffsbestimmung In der Mathematikdidaktik wird unter „Modellieren“ allerdings nicht nur das Generieren eines mathematischen Modells verstanden, sondern auch das Anwenden und das Validieren dieses Modells. Wesentlich ist dabei, einen gegebenen Zustand mittels adäquater mathematischer Begriffe und/oder Prozesse zielgerichtet zu beschreiben. (z.B. Blum & Niss, 1991)

Begriffsbestimmung In der Regel bezieht sich der Begriff „Modellierung“ auf außermathematische Situationen und stellt damit eine Beziehung zwischen der Mathematik und der „realen Welt“ dar.

Der Modellierungsprozess Um unterrichtliche Lerngelegenheiten zu schaffen, in denen Schülerinnen und Schüler Modellierungskompetenzen erwerben können, muss der Bearbeitungsprozess zum Lösen von Sachaufgaben analysiert werden. Welche Schritte bzw. Phasen kommen hier im Idealfall in welcher Reihenfolge vor?

Der Modellierungsprozess Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards Der Modellierungsprozess bearbeiten Konsequenzen Modell mathematisieren interpretieren Mathematik Welt Situation Resultate validieren Problem Lösung (vgl. Schupp, 1988; Blum & Niss, 1991)

Die Schritte im Einzelnen: Erfassen der Situation Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards Die Schritte im Einzelnen: Erfassen der Situation Ausgangspunkt ist eine Problemsituation: Textaufgabe, reale Situation, authentisches Material, … Problem Situation Welt Modellierungsschritte: Verstehen des Problems: Vergewissern, dass alle Begriffe der Problemverbalisierung bekannt sind; evtl. einige Fälle (Werte) ausprobieren, evtl. an einem Beispiel erkennen, dass neue Begriffe notwendig sind, … Spezifizieren des Problems: Frage(n) formulieren Behauptungen aufstellen, …

Die Schritte im Einzelnen: Mathematisieren Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards Die Schritte im Einzelnen: Mathematisieren Modellierungsschritte: Geeignetes Modell finden Erinnerung an Vorwissen, Vergleich mit früheren Beispielen … Lösungsansatz finden: Formel, Gleichung Skizze strukturelle Zusammenhänge aufzeigen … Modell mathematisieren Mathematik Welt Situation Problem

Die Schritte im Einzelnen: Bearbeiten Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards Die Schritte im Einzelnen: Bearbeiten Problem Lösung bearbeiten Konsequenzen Modell Mathematik Modellierungsschritt: innermathematisches Problemlösen durch einen algorithmischen Prozess, z.B. Berechnung einer Lösung, grafisches Arbeiten, geometrische Konstruktion, … oder kreativ durch Arbeiten mit den auftretenden Begriffen: qualitative Argumentation Argumentations-/Beweiskette finden, …

Die Schritte im Einzelnen: Interpretieren Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards Die Schritte im Einzelnen: Interpretieren Mathematische Lösung: numerische(r) Wert(e) geometrische Konstruktion Aussage als Ergebnis einer Argumentationskette, … Konsequenzen interpretieren Mathematik Modellierungsschritt: Erkennen der Bedeutung der erhaltenen Lösung: Bedingungen festhalten Spezialfälle untersuchen Interpretieren des Ergebnisses in der realen Situation Welt Resultate Lösung

Die Schritte im Einzelnen: Validieren Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards Die Schritte im Einzelnen: Validieren Modellierungsschritt: Kontrolle des erhaltenen Resultats ist dieses Ergebnis im gegebenen Kontext überhaupt sinnvoll? Vergleich mit den Problemspezifikationen Berücksichtigung der Grenzen des Modells: evtl. Modell ändern/verwerfen oder Modell nachbessern Welt Situation Resultate validieren Problem Lösung

Beispiel eines Modellierungsprozesses Situation: In einem Hörsaal sitzen 90 Studierende. Alle müssen ihren Namen in eine Teilnehmerliste eintragen. Entwickeln Sie ein mathematisches Modell und bestimmen Sie, wie lange die Liste braucht. mathematisches Modell: Pro Person werden 10 s geschätzt. 90 Personen brauchen 90 · 10 s

Beispiel eines Modellierungsprozesses 3. mathematisches Ergebnis: 90 · 10 s = 900 s = 15 min 4. Resultat: Es dauert etwa 15 Minuten. Validierung: 15 Minuten ist der Erfahrung nach viel zu wenig, d.h. das Modell hat die Realität nicht genau genug abgebildet.

Beispiel eines Modellierungsprozesses Situation: Viktor fährt mit seinem Vater mit der Bahn nach Bamberg. Kinder zahlen den halben Fahrpreis. Zusammen kostet die Fahrt 63 Euro. Wie viel zahlt der Vater? Wie viel Viktor? Probiere. (Zahlenbuch 2, S. 73) mathematisches Modell: Fahrpreis Vater + Fahrpreis Viktor = 63 Euro Fahrpreis Vater = 2 · Fahrpreis Viktor

Beispiel eines Modellierungsprozesses 3. mathematisches Ergebnis: 3 · Fahrpreis Viktor = 63 Euro also Fahrpreis Viktor = 21 Euro Fahrpreis Vater = 2 · Fahrpreis Viktor = 2 · 21 Euro = 42 Euro 4. Resultat: Der Vater zahlt 42 Euro, Viktor zahlt 21 Euro. Dieser Lösungsweg kann in Klasse 2 natürlich nicht erwartet werden!!

Beispiel eines Modellierungsprozesses Situation: Köln. Beim siebten Spiel der „Haie“ war die Köln-Arena mit 18.600 Zuschauern zum ersten Mal ausverkauft. Zu den ersten 6 Heimspielen kamen im Schnitt 12.000 Zuschauer pro Spiel. Der Schatzmeister des Vereins: „Ich rechne damit, dass im nächsten Heimspiel die 100.000-Grenze überschritten wird.“ (Mathematik 5, Westermann, S. 121) mathematisches Modell: 1 – 6. Heimspiel: 6 · 12.000 Zuschauer 7. Heimspiel: 18.600 Zuschauer 8. Heimspiel: 12.000 Zuschauer? Gesamt: > 100.000 Zuschauer?

Beispiel eines Modellierungsprozesses 3. mathematisches Ergebnis: 6 · 12.000 + 18.600 = 90.600 100.000 – 90.600 = 9.400 4. Resultat: Damit der Schatzmeister Recht behält, müssen im nächsten Heimspiel mindestens 9.400 Zuschauer kommen. Das ist zu erwarten, denn es liegt weit unter dem Zuschauerschnitt.

Untersuchungsansätze Die Untersuchung von Modellierungskompetenzen stellt eine komplexe Herausforderung dar, hat bisher keine ausreichende Klärung über die relevanten Teilkompetenzen des Konstrukts „Modellierungskompetenz“ erbracht (Blum et al., 2002). Als bedeutsam identifiziert wurden u.a. die bei Lernenden vorhandenen Grundvorstellungen, die Fähigkeit zum Aufbau eines Situationsverständnisses, sowie die von Lernenden wahrgenommenen sozio-mathematischen Normen. Kapitänsaufgaben!

Grundvorstellungen Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 Murmeln. Wie viele Murmeln haben sie zusammen? Lösungsrate Ende Klasse 1: USA: 100% D: 87% Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans mehr als Maria? Lösungsrate Ende Klasse 1: USA: 28% D: 28% (Riley & Greeno, 1988; Stern, 1994)

Grundvorstellungen 5 + 8 = 13 Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 Murmeln. Wie viele Murmeln haben sie zusammen? Das Generieren eines mathematischen Modells bei dieser Aufgabe setzt voraus, dass Zahlen als Mengen aufgefasst werden können, die Addition als das Zusammenfügen zweier Mengen verstanden wird. 5 + 8 = 13

Grundvorstellungen Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans mehr als Maria? Das Generieren eines mathematischen Modells bei dieser Aufgabe setzt voraus, dass Zahlen als Mengen aufgefasst werden können, Zahlen zur Beschreibung eines Mengenvergleichs verwendet werden können, ein Mengenvergleich mit der Addition oder Subtraktion in Verbindung gebracht werden kann.

Grundvorstellungen 5 + 3 = 8 8 – 3 = 5 8 – 5 = 3 Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans mehr als Maria? 5 + 3 = 8 8 – 3 = 5 8 – 5 = 3

Grundvorstellungen Um ein mathematisches Modell zu einer gegebenen Sachsituation generieren zu können, müssen individuell adäquate Grundvorstellungen (mentale Repräsentationen) zu den benötigten mathematischen Begriffen vorliegen und abrufbar sein.

Grundvorstellungen Division: Aufteilen Zahlenbuch 2, S. 82

Grundvorstellungen Division: Verteilen Nussknacker 2, S. 109

Grundvorstellungen Bei der Multiplikation ist es ähnlich. Sie wird mittels der Grundvorstellung der wiederholten Addition eingeführt. Welches Modell wird hier benötigt? Luzia hat für ihre Puppe vier Kleider und drei Hüte. Wie viele Möglichkeiten hat Luzia, um ihre Puppe anzuziehen?

Grundvorstellungen Multiplikation wiederholte Addition zeitlich sukzessiv (z.B. 5 mal 2€ Taschengeld) räumlich simultan (z.B. Limokasten) kartesisches Produkt, z.B. kombinatorisch: jedes Element einer Menge kann mit jedem Element einer zweiten Menge kombiniert werden (als Einführung weniger geeignet)

(De Corte, Verschaffel & Van Coillie, 1988) Grundvorstellungen Aus einer belgischen Studie (6. Klasse, N = 116): Ein Stück Zucker kostet 0,4 Bfr. Wie viel kosten 60 Stücke Zucker? 60 · 0,4 = 24 Lösungsrate: 99% Milch kostet 20 Bfr pro Liter. Anne kauft 0,8 Liter. Wie viel muss sie bezahlen? 0,8 · 20 = 16 Lösungsrate: 32% (De Corte, Verschaffel & Van Coillie, 1988)

Grundvorstellungen Die primäre mit der Multiplikation verknüpfte Grundvorstellung ist bei vielen Schüler/innen die wiederholte Addition (3 · 4 = 4 + 4 + 4). Diese Grundvorstellung trägt für die erste Aufgabe: 60 Zuckerstücke à 0,4 Bfr, d.h. 0,4 + 0,4 +…+ 0,4. Sie passt nicht zur zweiten Aufgabe, da der Operator keine natürliche Zahl ist: 0,8 · 20. Entsprechend gelingt es hier nicht, ein adäquates mathematisches Modell auf Basis der Multiplikation herzustellen.

Grundvorstellungen Auch für geometrische Begriffe muss deutlich werden, dass sie Modelle für verschiedene reale Objekte sein können! Nussknacker 3, S. 9

Grundvorstellungen Mit dem Konzept der Grundvorstellungen können Phasen des Modellbildungsprozesses detaillierter beschrieben werden. Im Zuge von PISA 2000 wurde das Konstrukt „Grundvorstellungsintensität“ entwickelt, das ein Maß für die Komplexität der notwendigen Grundvorstellungen bei Aufgabenlösungen darstellt. Die Grundvorstellungsintensität stellte sich als relativ guter Prädiktor für die Lösungshäufigkeit von PISA-Aufgaben heraus (Blum et al., 2004).

Grundvorstellungen Merke: Die Grundvorstellungen, die in einer Sachaufgabe notwendig sind, um die Sachsituation mit mathe-matischen Begriffen oder Operationen zu verbinden, stellen ein wichtiges Aufgabenkriterium dar. Als Lehrkraft brauchen Sie entsprechende mathematische und didaktische Kompetenzen, um Sachaufgaben analysieren zu können.

Situationsverständnis Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans mehr als Maria? Lösungsrate Ende Klasse 1: USA: 28% D: 28% Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 Murmeln. Wie viele Murmeln muss Maria noch bekommen, damit sie genauso viele Murmeln hat wie Hans? Lösungsrate Ende Klasse 1: USA: 91% D: 96% (Riley & Greeno, 1988; Stern, 1994)

Situationsverständnis 5 Vögel finden 3 Würmer. Wie viel mehr Vögel als Würmer gibt es? Lösungsrate Klasse 1: USA: 25% D: < 30% 5 Vögel finden 3 Würmer. Wie viele Vögel bekommen keinen Wurm? Lösungsrate Klasse 1: USA: 96% D: 96% (Hudson, 1983; Stern, 1994)

Situationsverständnis Im Mathematisierungsprozess von der Realsituation zum mathematischen Modell muss es also noch eine „Zwischenstation“ geben… reale Situation math. Modell Grundvorstellungen

Situationsverständnis Diese „Zwischenstation“ kann als Situationsmodell beschrieben werden. reale Situation math. Modell Grund- vorstellungen Situations-modell Situations-verständnis (Reusser, 1989)

Modellierungskreislauf nach Blum/Leiß

Situationsverständnis Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans mehr als Maria? USA: 28% D: 28% Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 Murmeln. Wie viele Murmeln muss Maria noch bekommen, damit sie genauso viele Murmeln hat wie Hans? USA: 91% D: 96%

Situationsverständnis 5 Vögel finden 3 Würmer. Wie viele mehr Vögel als Würmer gibt es? USA: 25% D: < 30% 5 Vögel finden 3 Würmer. Wie viele Vögel bekommen keinen Wurm? USA: 96% D: 96%

Situationsverständnis Neben Grundvorstellungen zu den notwendigen mathematischen Begriffen und Prozessen ist im Modellierungsprozess also auch ein adäquates Situationsverständnis von Bedeutung. Merke: Verfügbares mathematisches Wissen und die damit verbundenen mentalen Repräsentationen sind also nur notwendige, aber keine hinreichenden Bedingungen für das Verstehen und Lösen von Modellierungsproblemen.

Situationsverständnis Zum Aufbau eines Situationsmodells (oder auch Realmodells) muss die Sachsituation und ihre zugrunde liegenden inneren Beziehungen erfasst werden. Deshalb kann das Situationsmodell mehr Informationen enthalten als die Ausgangssituation! Auf einen Professor kommen sechs Studierende.

Situationsverständnis Auf einen Professor kommen sechs Studierende. Die Beziehung lautet: P : S = 1 : 6, also 6 · P = S Anders dargestellt: Es gibt sechsmal mehr Studierende als Professoren, also 6 · P = S.

Situationsverständnis Vor Ihnen steht ein Krug mit Wasser und ein Krug mit der gleichen Menge Rotwein. Sie nehmen aus dem Weinkrug ein Glas Wein und gießen es in den Wasserkrug. Dann nehmen Sie ein Glas aus dem Wasserkrug (mit dem Wasser-Wein-Gemisch) und gießen es zurück in den Weinkrug. Jetzt ist 1. mehr Wasser im Weinkrug? 2. mehr Wein im Wasserkrug? 3. das Verhältnis ist in beiden Krügen gleich?

Interpretation und Validierung Wie lautet die Interpretation und Validierung bei dieser Sachaufgabe? Aus einem Wasserhahn tropfen pro Minute etwa 30 Tropfen Wasser. 20 Tropfen ergeben 1 ml. Wie viel Wasser wird pro Stunde unnötig verschwendet?

Interpretation und Validierung Die Phase der Interpretation wird im Unterricht häufig vernachlässigt und in Form des Antwortsatzes für die Kinder zu einem „leeren“ und störenden Ritual. Die Einstellung der Kinder ist nachvollziehbar und verständlich, da die Interpretation des mathematischen Ergebnisses häufig nicht weiter verwendet wird, d.h. eine Validierung findet nur selten statt und falls sie stattfindet, gibt es nur selten Überraschungen.

Interpretation und Validierung Entsprechend ist es notwendig auch solche Sachaufgaben zu behandeln, bei denen Interpretation und Validierung Sinn machen und ggf. eine Modellanpassung notwendig ist. Wie viel Wasser wird pro Stunde durch einen tropfenden Wasserhahn verschwendet?

Interpretation und Validierung Lösen Sie diese Aufgabe: Am Abend des 4. Februar wurden die Autofahrer durch heftiges Schneetreiben überrascht. Auf der Autobahn Nürnberg – München staute sich der Verkehr dreispurig auf 30 km Länge. Es gab keine Möglichkeit die Autobahn zu verlassen und die Insassen mussten in ihren Autos übernachten. Das Rote Kreuz versorgte die Wartenden mit heißem Tee. Wie viel Liter Tee musste gekocht werden?

Interpretation und Validierung Die Phase der Interpretation und Validierung erfordert kontextbezogenes Wissen der Schülerinnen und Schüler zur Sachsituation. Dies ist notwendig, um das mathematische Ergebnis zu verwenden und zu bewerten. Die Fähigkeit der kritischen Betrachtung mathematischer Ergebnisse ist eine wichtige Kompetenz für viele Alltagssituationen, vor allem wenn es um statistische Ergebnisse geht.

Interpretation und Validierung Stimmen: 2003 Anzahl 2003 % 1998 % Veränderung Anzahl %-P. gültig 10248735 100 -1938174   CSU 6217864 60,7 52,9 -229900 +7,8   SPD 2012265 19,6 28,7 -1489635 -9,1   GRÜNE 793050 7,7 5,7 +100594 +2,1   FW 411306 4,0 3,7 -34809 +0,4   REP 229464 2,2 3,6 -208680 -1,4   ödp 200103 2,0 1,8 -17737 +0,2   FDP 263731 2,6 1,7 +61943 +0,9 … Bayerisches Landesamt für Statistik und Datenverarbeitung, München, 2003