Stabile Hochzeiten, Zuweisungsspiele und beides gleichzeitig Oder: Tarifverträge vs. Kapitalismus pur Winfried Hochstättler Hui Jin Robert Nickel

Übersicht Stabile Hochzeiten Zuweisungsspiele Beides gleichzeitig Männer machen Angebot – Frauen lehnen ab Zuweisungsspiele Die Ungarische Methode Beides gleichzeitig Zwei Algorithmen

Übersicht Stabile Hochzeiten Zuweisungsspiele Beides gleichzeitig Männer machen Angebot – Frauen lehnen ab Zuweisungsspiele Die Ungarische Methode Beides gleichzeitig Zwei Algorithmen

Stabile Hochzeiten In einem Dorf sollen n Männer mit n Frauen verheiratet werden Jeder Mann i bewertet jede Frau j mit einer Zahl aij . Jede Frau j bewertet jeden Mann i mit einer Zahl bij . Präferenzlisten Im Falle einer Heirat von erhält i den Payoff und j den Payoff Männer Frauen Wenn jeder einen Partner gefunden hat, dann findet die Hochzeit statt

Stabile Hochzeiten Eine Hochzeit ist instabil, wenn es ein Paar gibt, so dass i und j lieber miteinander verheiratet wären, als mit ihren momentanen Partnern. Für das Paar gilt: und Ein Paar heißt blockierend, wenn gilt und Eine Hochzeit ohne blockierende Paare ist stabil.

Men Propose – Women Dispose Algorithmus von Gale und Shapley (1962): Männer freien die beste Frau, die sie noch nicht abgelehnt hat. Jede Frau sucht sich den besten Freier aus und lehnt die anderen ab. Wenn jede Frau nur noch einen Antrag hat, wird geheiratet.

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Zuweisungsspiele Wir wollen zwischen n Firmen und n Arbeitern vermitteln. Aus einer Kooperation zwischen einer Firma und einem Arbeiter entsteht ein Gewinn (Mehrwert) Suche ein perfektes Matching, das den Gesamtmehrwert maximiert Spalte den Mehrwert einer Kante auf in Ähnliche Daten wie in Stabile Hochzeiten Firmen Arbeiter

Gewichtetes Bipartites Matching Im Falle einer Matching-Kante gilt Gleichheit in (D) u und v sind die Payoffs der Firmen bzw. Arbeiter Der Mehrwert durch eine Kooperation kann beliebig unter den Partnern aufgeteilt werden. In einem gegebenen perfekten Matching kann Payoff zwischen u und v hin und her geschoben werden

Blockierende Paare und stabile Outcomes Interpretation von : i und j verdienen im Moment zusammen weniger als sie es in einer Partnerschaft tun würden (z.B. das Paar ) Ein solches Paar heißt blockierend Gibt es keine blockierenden Paare in und ist M ein dazu „passendes“ Matching, dann heißt stabiles Outcome. 4 3 4

Die Ungarische Methode Starte mit leerem Matching und dual zulässigem Payoff: Digraph G der dichten Kanten bzgl. : Ein Pfad von einer ungematchten Firma zu einem ungematchten Arbeiter heißt augmentierend.

Ungarische Methode II Wenn es keinen augmentierenden Pfad gibt: Betrachte die Komponente zu einer ungematchten Firma Setze Verringere Firmenpayoffs und vergrößere Arbeiterpayoffs in C um  bis neue Kante im dichten Graphen erscheint

Etwas Literatur Gale und Shapley (1962) Kuhn (1955) Algorithmus für Stabile Hochzeiten (Men Propose – Women Dispose) Kuhn (1955) Ungarische Methode für das Bipartite Matching Shapley und Shubik (1972) Das Zuweisungsspiel Existenz von stabilen Outcomes (lineare Programmierung) Roth und Sotomayor (1991) Frage nach verallgemeinertem Modell, das die obigen als Spezialfall enthält Eriksson und Karlander (2000) Vorstellung eines Modells Pseudopolynomieller Algorithmus zur Berechnung eines stabilen Outcomes Sotomayor (2000) „Nicht-konstruktiver“ Beweis für Existenz von stabilen Outcomes

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Das Modell Tarifpartnerschaft: Firmen und Arbeiter sind entweder flexibel (Gehalt kann ausgehandelt werden) oder arbeiten nach Tarif (festes Gehalt) Der Graph enthält flexible Kanten (beide Partner flexibel) und Tarifkanten (mindestens einer ist tariflich gebunden) Aufteilung der Produktivität in einer flexiblen Partnerschaft: Tarifpartnerschaft:

Stabile Outcomes Ein Outcome heißt zulässig, wenn werden aus finanziert Eine Kante heißt blockierendes Paar in wenn Tarifkante ist mit und oder flexibel ist und D.h. i und j verbessern sich, wenn sie kooperieren. Es existiert immer ein Outcome ohne blockierende Paare (stabiles Outcome) – EriksKarl2000,Soto2000

Ein Algorithmus Augmentierungs-Digraph : Algorithmus: Matching-Kanten favorite blocking pairs Dichte freie Kanten: Tarifkanten mit Algorithmus: Suche Weg von ungematchter Firma zu - ungematchtem Arbeiter - Spieler aus R - Firma mit Payoff 0 Wenn das nicht geht: - ungarisches Payoff-Update

Eigenschaften Invarianten des Algorithmus: Komplexität: Gematchte Firmen haben keine blockierenden Partner ist zulässiges Outcome Stabiler virtueller Payoff sinkt monoton wächst monoton Komplexität: Eine Firma mit Payoff Null ist aus dem Rennen Jede Tarifkante wird höchstens einmal Matchingkante

Ein anderer Algorithmus Augmentierungs-Digraph : favorite partners: Kanten, die bzw. maximieren Abbildung bildet immer eine Firma auf einen ihrer Lieblingspartner ab Algorithmus: Arbeiter mit mehreren Tarifangeboten lehnen alle außer dem besten ab Suche Pfad von mehrfach gemapptem Arbeiter - zu ungemapptem Arbeiter oder - Arbeiter mit Tarifangebot Wenn das nicht mehr geht: - ungarisches Payoff-Update

Eigenschaften Invarianten des Algorithmus: Komplexität: Jede Firma macht immer genau ein Angebot Firmenpayoffs können anhand der -Kanten berechnet werden sinkt monoton wächst monoton Komplexität: Jede Tarifkante wird höchstens einmal Matchingkante Andere Eigenschaften Benutzt gleichen Graphen wie erster Algorithmus, aber mit anderer Orientierung Liefert anderen Ansatz für Kardinalitätsmatching

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit Und noch viel mehr Dank für eventuelle Fragen