Kapitel 7 Flächen und Volumen

Inhalt 7.1 Flächeninhalt, p   7.2 Integral 7.3 Volumen

7.1 Flächeninhalt Erinnerung: 1. Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b ist ab. 2. Man kann den Flächeninhalt jedes Dreiecks auf ein Rechteck zurückführen. 3. Man kann den Flächeninhalt jeder geradlinig begrenzten Figur auf den Flächeninhalt von Dreiecken zurückführen. Problem: Krummlinig begrenzte Figuren, insbesondere der Kreis.

p Definition. Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises ist konstant, man bezeichnet es mit der Zahl p. (Das Verhältnis ist konstant, weil alle Kreise ähnlich sind.) Anders ausgedrückt: p ist der halbe Umfang des Einheitskreises. 7.1.1 Satz. Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius r ist pr2. Beweis („Kuchenstückbeweis“). Wir zeigen, dass der Flächeninhalt des Kreises gleich dem halben Umfang mal dem Radius ist, also gleich pr mal r. 

Berechnung von p nach Archimedes Archimedes (287 – 212 v. Chr.) hat p nach unten und nach oben abgeschätzt, indem er die Umfänge von einbeschriebenen und umbeschriebenen regulären n-Ecken bestimmt hat. Wir betrachten den Einheitskreis. Sei pn der halbe Umfang eines einbeschriebenen und qn der halbe Umfang eines umbeschriebenen regulären n-Ecks. Dann ist pn < p < qn. Ausgangspunkt ist das reguläre Sechseck. 7.1.2 Satz. p6 = 3, q6 = 23  3,46.

3 + 10/71 < p < 3 + 1/7, d.h. 3,1408 < p < 3,1428. Die rekursive Formel 7.1.3 Satz (Archimedes). q2n = 2pnqn / (pn + qn), p2n = pnq2n. Damit konnte Archimedes die Umfänge der ein- und umbeschriebenen regulären n-Ecke mit n = 12, 24, 48, 96 bestimmen. Damit erhielt er 3 + 10/71 < p < 3 + 1/7, d.h. 3,1408 < p < 3,1428. Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) konnte pn und qn für n = 3260 abschätzen, und so p auf 35 Stellen genau bestimmen.

Beweisvorbereitungen Beweis. Seien A und C Ecken des einbeschriebenen n-Ecks, D und F Ecken des umbeschriebenen n-Ecks, und sei G eine Ecke des umbeschriebenen 2n-Ecks. Dann gelten:

Beweis Also ist Da die Dreiecke DAEC und DEGC ähnlich sind, folgt also Die Dreiecke DEFO und DCFG sind ähnlich. Also ist OE:OF = CG:FG. Mit dem Strahlensatz folgt: Also ist Da die Dreiecke DAEC und DEGC ähnlich sind, folgt also

7.2 Integrale Ziel: Berechnung der Fläche „unter einer Kurve“, d.h. der Fläche zwischen Kurve und x-Achse. Diesen Flächeninhalt nennt man aus historischen Gründen „Integral“. Methode: 1. Man führt das Integral von sehr allgemeinen Funktionen auf das Integral spezieller Funktionen („Treppenfunktionen“) zurück. 2. Um ein Integral konkret auszurechnen benützt man „Stammfunktionen“. Die Idee dazu stammt von Berhard Riemann,1826 – 1866.

Treppenfunktionen Definition. Eine Treppenfunktion erhält man folgendermaßen: Man teilt ein Intervall [a, b] durch verschiedene Zwischenwerte ein. D.h. man wählt zunächst Zahlen x0 = a < x1 < x2 < …< xn = b. Dann wählt man Zahlen y1, y2, …, xn und setzt fest: Im Intervall [x0, x1) hat die Funktion den (konstanten) Wert y1, im Intervall [x1, x2) hat die Funktion den (konstanten) Wert y2, usw.

Integral einer Treppenfunktion 7.2.1 Satz. Sei f eine Funktion, die auf dem Intervall [a, b] den konstanten Wert y hat. Dann ist das Integral dieser Funktion gleich (b – a)y. Wir schreiben dafür 7.2.2 Satz. Sei f eine Treppenfunktion auf dem Intervall [a, b]. Dann ist ihr Integral gleich (x1 – x0)y1 + (x2 – x1)y2 + … + (xn – xn–1)yn. Wir schreiben dafür Beweis. Eine Treppenfunktion setzt sich aus konstanten Funktionen zusammen. 

Idee des Riemann-Integrals Gegeben ist eine beliebige Funktion f auf dem Intervall [a, b]. Man versucht, diese „von unten“ und „von oben“ durch Treppenfunktionen anzunähern. Unterintegral: Man betrachtet alle Treppenfunktionen, die „unterhalb“ der Kurve liegen. (Das Integral dieser Treppenfunktionen ist  als das – noch hypothetische – Integral der Funktion.) Dann lässt man die Intervalllängen gegen 0 konvergieren. Wenn dann die Integrale der Treppenfunktionen konvergieren, spricht man davon, dass das Unterintegral existiert.

Idee des Riemann-Integrals II Entsprechend betrachtet man alle Treppenfunktionen, die „oberhalb“ der Kurve liegen. (Das Integral dieser Treppenfunktionen ist  als das – noch hypothetische – Integral der Funktion.) Dann lässt man die Intervalllängen gegen 0 konvergieren. Wenn dann die Integrale der Treppenfunktionen konvergieren, spricht man davon, dass das Oberintegral existiert. Definition. Eine Funktion f auf dem Intervall [a, b] ist integrierbar, falls Unterintegral und Oberintegral existieren und gleich sind. Man schreibt:

Welche Funktionen sind integrierbar? 7.2.3 Satz. (a) Jede stetige Funktion ist integrierbar. (b) Jede monotone Funktion ist integrierbar. Bemerkungen: (a) Insbesondere sind alle Polynome integrierbar. (b) Man kann die Stetigkeit auch abschwächen, indem man nur „stückweise stetig“ fordert, d.h. endlich viele Unstetigkeitsstellen zulässt.

Wie berechnet man Integrale konkret? Definition. Sei f eine Funktion auf dem Intervall [a, b]. Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, falls F‘ = f ist. Der folgende Satz zeigt die Bedeutung der Stammfunktion: 7.2.4 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Sei f eine Funktion auf dem Intervall [a, b], und sei F eine Stammfunktion von f. Dann gilt: Bemerkung: Mit der Stammfunktion kann man ein Integral ganz einfach ausrechnen: Man bestimmt die Werte an den Stellen a und b und bildet die Differenz!

Stammfunktionen Einziges Problem: Welche Funktionen haben Stammfunktionen und wie sehen diese aus? 7.2.5 Satz. Jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion. Beispiele: Stammfunktion von x2 ist , Stammfunktion von x3 ist Stammfunktion von xn ist xn+1/(n+1) Stammfunktion eines Polynoms Stammfunktion von exp(x) ist exp(x)

7.3 Zylinder, Kegel, Kugel 7.3.1 Satz. Ein Zylinder mit Radius r und Höhe h hat - die Oberfläche 2pr2 + 2prh = 2pr(r+h) - und das Volumen pr2h. Beweis. Die Oberfläche besteht aus den Kreisscheiben unten und oben, sowie der „Mantelfläche“. Die Kreisscheiben haben jeweils den Flächeninhalt pr2, zusammen also 2pr2. Der Mantel ist ein Rechteck der Länge 2pr und der Höhe h, also des Flächeninhalts 2prh. Das Volumen errechnet sich als Grundfläche mal Höhe, also pr2 mal h. 

Der Kegel 7.3.2 Satz. Ein Kegel mit Radius r, Höhe h und Seitenlinie s hat - das Volumen (pr2h)/3 - die Oberfläche pr2 + prs = pr(r+s). Beweis. Das Volumen einer Pyramide ist Grundfläche mal Höhe geteilt durch 3. Wenn man durch Pyramiden mit immer mehr Ecken den Kegel annähert, ergibt sich auch für das Volumen des Kegels „Grundfläche mal Höhe durch 3“, also pr2 mal h geteilt durch 3. Die Oberfläche setzt sich zusammen aus der Grundfläche (pr2) und der Mantelfläche (prs, ohne Beweis). 

Ein „halbvolles“ Sektglas Ein kegelförmiges Sektglas wird bis zur halben Höhe gefüllt. Frage: Welchen Anteil ist das im Vergleich zu einem voll gefüllten Sektglas?

Kugel 7.3.3 Satz. Für eine Kugel mit Radius r, Oberfläche O und Volumen V gilt V = 1/3rO. Beweis. Man teilt die Kugeloberfläche irgendwie in kleine Dreiecke und Vierecke auf, z.B. durch Längen- und Breitenkreise. Jedes dieser Vielecke Oi verbindet man mit dem Mittelpunkt der Kugel und erhält ein pyramindenähnliches Gebilde. Dieses hat die Höhe r. Also ist sein Volumen etwa Grundfläche Oi mal r durch 3. Diese Gebilde haben insgesamt das Volumen der Kugel. Also ist: V = O1r/3 + O2r/3 + O3r/3 + … = (O1+O2+O3+…)r/3 + … = Or/3. 

Kugeloberfläche 7.3.4 Satz. Die Oberfläche einer Kugel mit Radius r ist 4pr2. Beweis. Das Volumen der Kugel ist (was wir anschließend beweisen werden) gleich 4/3pr3. Damit ergibt sich aus vorigem Satz: O = 3V/r = 4pr3/r = 4pr2. 

Kugelvolumen 7.3.5 Satz. Eine Kugel mit Radius r sei in einen Zylinder mit Radius r und Höhe 2r eingebettet. Das Volumen der Kugel ist 2/3 des Zylinders. Insbesondere ist das Kugelvolumen gleich 4/3pr3.

Cavalierisches Prinzip Um diesen Satz zu beweisen brauchen wir das Cavalierische Prinzip: 7.3.6 Satz (Cavalierisches Prinzip). Man legt zwei Körper zwischen zwei parallele Ebenen. Wenn jede weitere parallele Ebene beide Körper in Flächen schneidet, die den gleichen Flächeninhalt haben, dann haben die beiden Körper das gleiche Volumen. Beispiel: Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Bonaventura Cavalieri, 1591 – 1647, Bologna.

Beweis Kugelvolumen I Wir lassen ein Quadrat ABCD mit Seitenlänge r um die Seite AB rotieren. Dies ergibt einen Zylinder mit Radius r und Höhe r, also Volumen pr3. Die Diagonale BD umschließt bei der Rotation einen auf der Spitze stehenden Kegel mit Grundfläche pr2 und Höhe r, also Volumen 1/3pr3. Der Restkörper hat also das Volumen pr3 – 1/3pr3 = 2/3pr3. Der Kreisbogen AC bildet bei Rotation eine Halbkugel. Wir zeigen, dass das Volumen dieser Halbkugel gleich dem des Restkörpers ist.

Beweis Kugelvolumen II Dazu benutzen wir das Cavalierische Prinzip. Wir stellen uns eine Ebene vor, die den Abstand h zur Grundfläche hat. Diese schneidet die Halbkugel in einer Kreisscheibe und den Restkörper in einem Kreisring. Wir zeigen, dass beide den gleichen Flächeninhalt haben. Die Kreisfläche hat den Radius MQ. Dessen Länge ist nach Pythagoras (r2 – h2). Also ist der Flächeninhalt p(r2 – h2). Der Kreisring ist die Differenz eines Kreises mit Radius r und eines Kreises mit Radius h. Also ist sein Flächeninhalt pr2 – ph2. 