Die Schrödinger Gleichung Egon Berger Didaktik der Physik 19.06.07

Inhalt: Historisch grundlegende Experimente „Ableitung“ der Schrödinger Gleichung Anwendung der SG: Unendlich tiefe Potentialkasten 2. Endlich tiefe Potentialkasten 3.Harmonische Oszillator E x E x x E 4. Superposition ebener Wellen

Im Vordergrund steht: Die graphische Interpretation der Wellenfunktion: Betrag Phase Nulldurchgänge Krümmung Exponentielles Abfallen

Wiederholung: Die Quantentheorie des Lichtes 1. Historisch grundlegende Experimente Wiederholung: Die Quantentheorie des Lichtes Beugung und Interferenz (1800) Hohlraumstrahlung (1900) Photoelektrische Effekt (1902) Comptoneffekt (1922) Licht ist eine Welle Licht besteht aus Teilchen, den sog. Photonen. Unsere heutige Vorstellung: Licht besitzt sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter.

Die de-Broglie-Wellenlänge: Louis de Broglie machte 1924 den Vorschlag die duale Beschreibung durch Wellen- und Teilchenmodell, die sich bei Licht bewährt hatte, auch auf Teilchen wie Elektronen, Neutronen oder Atome zu übertragen. Deren Wellencharakter wurde bis damals nie beobachtet. Beispiel: Ein Elektron besitze eine kin. Energie von 100eV. seine de-Broglie-Wellenlänge l=0,12 nm. seine Frequenz n=2,4*10^16 Hz. aus folgt

Davisson und Germer: Beugung von Elektronen Sie demonstrierten 1926 den Wellencharakter von Teilchen. Experiment: e--Strahl dünne Schicht (Al-Puder) Schirm Ergebnis: Beugungsringe –genau wie bei Röngtenstrahlung. l=1nm - 5pm l (100eV)=0,12nm Was heißt: Wellencharakter haben?

Röntgen-Strahlung: Zustandekommen der Beugungsringe Einfall einer ebenen Welle Wellengleichung Ausbreitung von Kugelwellen Interferenz Intensität dünne Schicht (Al-Puder) Schirm

? Elektronen-Strahl: Gleiche Ergebnisse → e- ist eine Welle Einfall einer ebenen Welle Wellengleichung Ausbreitung von Kugelwellen Interferenz Intensität ? dünne Schicht (Al-Puder) Schirm

? Zusammenstellen der Ergebnisse: Licht: Elektronen: Beschreibung: Intensität: Wellengleichung: Im Vakuum ? Folgt aus den Maxwell- gleichungen für den ladungs- und stromfreien Raum (Physik 2).

2. „Ableitung“ der Schrödinger Gleichung Wir suchen eine Gleichung, von der wir eine Lösung kennen. Nämlich: Ist es vielleicht möglich diese Gleichung durch eine ihrer Lösungen zu rekonstruieren? 2. „Ableitung“ der Schrödinger Gleichung

Wir testen diese Strategie am Beispiel der e.m. Welle! Differentiation nach x bzw. t ergibt: Also erfüllt E(x,t) die Differentialgleichung Aber: Linkslaufende Wellen kommen als Lösungen nicht vor!

Darum differenzieren wir die ebene Welle ein zweites Mal: Dispersionsrelation Dies führt auf die Differentialgleichung mit und entspricht der Wellengleichung im Vakuum.

Da uns die Rekonstruktion geglückt ist, versuchen wir nun auf diese Weise eine Wellengleichung für Teilchen zu erhalten. Jedoch zuerst: Wie lautet die Dispersionsrelation für Teilchen? Für freie Teilchen gilt: Dispersionsrelation

Nun gehen wir aus Symmetriegründen gleich zur zweiten Ableitung über: Dispersions- relation Auch negative Frequenzen würden die Gleichung erfüllen: Unphysikalisch!

Weiters möchte man allein schon mit bestimmen können. Zu diesem Zweck darf nur die erste Zeitableitung vorkommen. Wir versuchen also miteinander zu kombinieren.

? Die Ableitungen ergeben: Wir versuchen nun eine andere mögliche Wellenfunktion: Bemerkung: In der klassischen Physik wird diese Funktion nur verwendet, weil damit leichter zu rechnen ist. Physikalische Relevanz hat jedoch nur der Realteil.

Zweimalige Differentiation von ergibt:

Diskussion von Y(x,t): In unserem Experiment: Was geschieht wenn jeweils nur ein Elektron auf die Folie trifft? Physlet: Doppelspalt Hypothese: entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass das Elektronen an der Stelle [x,x+Dx] auftrifft.

Postulat: Der Zustand eines aus einem Massenpunkt bestehenden quantenmechanischen Systems zum festen Zeitpunkt t0 ist durch Angabe der (komplexen) Wellenfunktion beschrieben. Statistische Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu t0 im Volumen d3x um x0 zu finden ist: Normierung:

Postulat: Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion ist durch die Schrödingergleichung gegeben. Erwin Schrödinger (* 1887 in Wien; † 1961 in Wien) 1926 formulierte Schrödinger die nach ihm benannte Schrödinger-Gleichung. Sie bildet eine der Grundlagen der Quantenmechanik. Diese Arbeiten brachten ihm Weltruhm und schließlich auch den Nobelpreis für Physik im Jahre 1933 ein.

Lösungen der SG: =H … Hamiltonian Separartionsansatz: Einsetzen ergibt: zeitunabhängige SG Lösung:

3. Anwendung der Schrödinger Gleichung 1. Der unendlich tiefe Potentialkasten: E a x Außerhalb des Potentialkastens: Innerhalb: =0

Lösung: Randbedingungen:

Energie En? SG: Normierung:

E Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Energieeigenwerte: Bemerkung: Anzahl der Nulldurchgänge von Y entspricht dem Anregungsniveau. Bemerkung: Die Phase geht nicht in ein. a x

Darstellung von in C: Wir hatten: Geogebra: Unendlich tiefer Potentialtopf Physlet 7.6

Anwendung der SG 2. Der endlich tiefe Potentialkasten: Bemerkung: Eindringen der Wellenfunktion in die Wände mit exponentiellem Abfall. Physlet 7.2

Unbekanntes Potential Physlet 7.5 Pot1 Was sagt die Krümmung der Wellenfunktion aus? SG:

Lösung: E x V(x)

Anwendung der SG 3. Der harmonische Oszillator.

Weitere Unbekannte Potentiale Physlet 7.5 Aufgaben: Physlet P.7.1 Physlet P.7.2

4. Superposition ebener Wellen Kann geschrieben werden als: Physlet 7.7 Geogebra: Superposition Physlet P.7.3 Physlet P.7.4

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit