Mathematik und Informatik: Eine Liebeserklärung Bruno Buchberger RISC, Uni Linz Vortrag auf der ÖMG Tagung Bozen, 25. September 2003 Ziel: Erwartungen klären, damit man die Früchte von beidem – westlicher und vedischer Wissenschaft - voll genießen kann. Westliche und vedische Wissenschaft sind das extreme Gegenteil voneinander. Die Integration von Gegensätzen in ein und demselben Bewusstsein Ist die höchste Herausforderung und der größte Genuss

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Copyright B. Buchberger 2003 Die Liebe und die Erklärung der wissenschaftliche Dreischritt die Spirale der Selbstanwendung die algorithmische Natur der Mathematik Beispiele: automatisches Beweisen mit Gröbner-Basen automatisches Beweisen in der Analysis Automatisches Erfinden von Algorithmen Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Ein naiver Glaube Mathematik handelt vom Rechnen Computer = Rechenmaschine Also: Computer steht im Zentrum der heutigen Mathematik Informatik (“Computer Science”) handelt vom Computer Computer steht im Zentrum der Mathematik Also: Mathematik steht im Zentrum der Informatik Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Realität Mathematik und Informatik sind weit voneinander entfernt. Für viele Mathematiker ist der Computer LaTeX, e-mail und Web und sonst nichts. Viele Informatiker sind überzeugt, dass sie keine Mathematik brauchen. Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Meine Sicht Mathematik (und Logik) und Informatik zusammen bilden ein Ganzes – die “Denktechnologie”. Die Kluft zwischen Mathematik und Informatik ist bedauerlich gefährlich wissenschaftstheoretisch nicht haltbar. Copyright B. Buchberger 2003

Der wissenschaftliche Dreischritt Die Denktechnologie hat sich von der „Beobachtungstechnologie“ getrennt. a2+b2 = c2 Beobachten oder Denken? Beobachten, Denken, Handeln: Der grundlegende Dreischritt des „wissenschaftlichen“ Umgangs mit der Natur. Copyright B. Buchberger 2003

Die Methode der Wissenschaft Realität mit Frage oder Problem Beobachten Modell Denken Antwort oder Lösung in Realität Antwort oder Lösung im Modell Handeln Copyright B. Buchberger 2003

Die Methode der Wissenschaft Beobachten („Modellieren“, z.B. „Messen“) c = ? a b ? Denken („Schließen“) c = sqrt[a2+b2] Handeln („Anwenden“) Copyright B. Buchberger 2003

Die Methode der Wissenschaft Input mit Sinnen Transformation Gehirn Output Motorik Copyright B. Buchberger 2003

Die Methode der Wissenschaft Beobachten Naturwissenschaften Denken Mathematik Handeln Technologien Copyright B. Buchberger 2003

Die Methode der Wissenschaft Beobachten Denken Die drei Schritte sind methodisch verschieden, gehören aber zusammen. Handeln Copyright B. Buchberger 2003

Mathematik und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar: Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen) Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Mathematik ... Computer- Technik Computer- Mathematik Struktur- Mathematik ... Informatik Copyright B. Buchberger 2003

Selbstanwendung: die Natur der Intelligenz ? Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Selbstanwendung Beobachten Sinne Mikroskop Denken Das Mikroskop! Handeln Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Selbstanwendung Beobachten Denken Der Bagger! Handeln Motorik Bagger Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Selbstanwendung Beobachten Denken Gehirn Rechenstab Der Rechenstab! Handeln Copyright B. Buchberger 2003

Die wissenschaftlich / mathematisch /technologische Spirale dreht sich immer schneller, universeller, … Beobachten (Keyboard, Tablett, …, Tomograph, …) Denken (… universelle Computer) …… Handeln (Printer, Screen, …, Roboter, …) Copyright B. Buchberger 2003

Mathematik (Logik) und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar: Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen) Die drei Gebiete sind relativ zueinander auf verschiedenen Ebenen der Selbstanwendung Copyright B. Buchberger 2003

Die algorithmische Tendenz der Mathematik Das Grund-Prinzip der Mathematik: Einmal scharf denken  unendlich oft nicht mehr denken müssen Copyright B. Buchberger 2003

Einmal beweisen: Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n]  Beispiel: Einmal beweisen: Für alle m,n: GGT[m,n]=GGT[m-n,n]  Unendlich oftmals rechnen: GGT[m,n] “mit Euklid” Copyright B. Buchberger 2003

Mehr mathematisches Wissen  effizienteres Problemlösen Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Letztlich zielt die gesamte Mathematik: auf Einsicht in Strukturen die Entdeckung der Klarheit im Komplexen auf das Systematische, „Methodische“ ... auf das „Algorithmische“ (so große Klarheit, dass man sie sogar dem Uneinsichtigen = der Maschine vermitteln kann) Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Ein Missverständnis: Computer-Mathematik = oftmaliges Anwenden von trivialer Mathematik (“der Computer” kann das). Tatsache ist: Erfinden und Beweisen von Algorithmen auf Grund von mehr “Mathematik”. Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Algorithmische Mathematik (Informatik) und nicht-algorithmische Mathematik winden sich in Spiralen (Ebene / Meta-Ebene) nach oben Mehr Denken auf oberer Ebene Weniger Denken auf unterer Ebene Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Ein Satz auf oberer Ebene „erschlägt“ unendliche viele Probleminstanzen auf unterer Ebene Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Satz über Gröbner-Basen-Kriterium statt eigener Trick für jedes nicht-lineare Gleichungssystem Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Liouville-Satz (Risch 1968) über Darstellbarkeit von Integralen statt eigener Trick für jedes Integral Copyright B. Buchberger 2003

Copyright B. Buchberger 2003 Satz über das Beweisen von Sätzen Statt eigener Trick für Beweis eines jeden Satzes .... statt eigener Trick für .... Copyright B. Buchberger 2003

Mathematik (Logik) und Informatik sind methodisch nicht unterscheidbar: Ihre Methode ist das Denken (Schließen, Arbeiten in Modellen). Sie bewegen sich in Spiralen auf immer höhere Ebenen der Algorithmisierung. Algorithmisierung ist der Mathematik inhärent. Copyright B. Buchberger 2003

Die Informatik ist die Realisierung der Mathematik mit den technologischen Mitteln der heutigen Zeit. Copyright B. Buchberger 2003

Beispiele (im Theorema-System) automatische Entscheidung über die Gültigkeit geometrischer Sätze (BB, J. Robu): siehe File Example-Geo-Proving.nb automatisierte Beweise in der elementaren Analysis (BB, D. Vasaru) siehe File Example-Analysis-Proving.nb automatisches Erfinden von Algorithmen (BB, A. Craciun) siehe File Example-Algorithm-Synthesis.nb Copyright B. Buchberger 2003

Mathematik (Logik) und Informatik haben als Einheit eine faszinierende Zukunft als das sich selbst automatisierende Denken. Copyright B. Buchberger 2003