Planare Graphen Zeichnen von Graphen Proseminar Algorithmen auf Graphen Sommersemester 2006 Christoph Bösel

Überblick Begriff Euler-Satz Kuratowski-Satz Boyer-Myrvold-Algorithmus O(n) Demoucron-Algorithmus O(n²) Zeichnen Zusammenfassung, Fragen

A={K2} B={K3} C={K4} Begriff „planar“ planar komplett in der Ebene darstellbar, ohne dass sich Kanten überschneiden 2 B={K3} 1 1 A 1 2 B 1 2 3 kein Einfluss - gerichtet/ungerichtet - mehrfache Kanten - Schlingen - Gewichtung von Kanten - etc. 2 3 4 1 vereinfacht - einfach - ungerichtet 4 1 3 komplett jeder Knoten besitzt mit jedem weiteren Knoten eine gemeinsame Kante C 1 2 3 4 3 2 2 C={K4}

D={K5} Der K5 Fehlt nur eine clevere Idee? Gibt es (eine) Lösung? 1 4 3 5 2 D 1 2 3 4 5 D={K5}

Satz von Euler 3 1 2 5 6 4 V = C 6 = 6 6 = 6

Satz von Euler 3 1 2 5 6 4 V = C 6 = 5 6 = ? 5

Satz von Euler 3 1 2 5 6 4 V - E = C 6 - 1 = 5 5 = 5

Satz von Euler 3 1 2 5 6 4 V - E = C 6 - 5 = 1 1 = 1

Satz von Euler 3 1 2 5 6 4 V - E = C 6 - 6 = 1 = ? 1

Satz von Euler 3 1 2 5 6 4 V - E + F = C 6 - 6 + 1 = 1 1 = 1

+E V - E + F = C + 1 Satz von Euler 6 - 6 + 2 = 1 + 1 2 = 2 3 1 +E 2 [+V] v [+F] v [-C] 5 vereinfacht - zusammenhängend, C=1 6 4 V - E + F = C + 1 6 - 6 + 2 = 1 + 1 2 = 2

E ≤ 3V - 6 weitergeeulert mi ≤ 2E mi ≥ 3F V - E + F = 2 F ≤ 2E / 3 1 V - E + F = 2 4 2 F ≤ 2E / 3 E = V + F - 2 ≤ V + 2E / 3 - 2 E ≤ 3V - 6

D={K5} E ≤ 3V - 6 ? Euler und der K5 Widerspruch! Wirklich so einfach? 1 E ≤ 3V - 6 4 10 ≤ 3*5 - 6 5 3 10 ≤ ? 9 5 Widerspruch! Wirklich so einfach? 2 D 1 2 3 4 5 D={K5}

11/6 vs. K5 U 1/1 1 3 4 1 2 5 3 E 5 5 6 6 F 4 2 F 1 2 3 4 5 6 E 1 2 3 4 5 6 11 ≤ 3*6 - 6 11 ≤ 12 Und nun?

Satz von Kuratowski Heute schon was vor? Ein endlicher Graph ist genau dann planar, wenn er keinen Teilgraphen enthält, der durch die Erweiterung des K3,3 oder K5 entstanden ist. G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .. F 1 2 3 4 5 6 1 6 K3,3 2 5 3 4 2 F 1 2 3 4 5 6 1 3 K5 5 Heute schon was vor? 4

Boyer-Myrvold 1. - Graph wird durch Tiefensuche in Baumstruktur überführt Knoten werden nach Postorder-Reihenfolge neu bezeichnet Datenstruktur G~ initialisieren 1 9 G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2 8 4 3 6 5 5 4 6 7 2 9 3 8 1

Boyer-Myrvold 2. for jeden Knoten v = 1 to n 3. for jedes Kind c von v in G Baumkante (vc, c) in G~ einfügen 4. for jede Rückkante, indizent zu v und einem Nachfolger w Walkup(G~, v, w) 5. for jedes Kind c von v in G Walkdown(G~, vc) 6. for jede Rückkante, indizent zu v und einem Nachfolger w if (vc, w) є G~ / Kuratowski-Teilgraphen aus G~ isolieren return (nicht planar, G~) 7. return (planar, G~)

Boyer-Myrvold positiv: Laufzeit O(n) Rückgabe von - Entscheidung planar/nicht-planar - Kuratowski-Teilgraph (wenn nicht planar) - Einbettung (wenn planar) - robust - einfacher als andere O(n)-Algorithmen negativ: immernoch recht komplex

Demoucron 1. beliebigen Kreis aus G in G‘ einbinden 2. alle Flächen von G‘ bestimmen 3. F(S) bestimmen (verbleibende Fragmente von G) 4. if F(S)=O then return planar / 5. für alle F(S) die angrenzbaren Flächen bestimmen 6. if es gibt F(S) ohne solche Fläche then return nicht-planar 7. if es gibt F(S) mit nur einer Fläche then goto 9. 8. Fragment von F(S) aussuchen 9. α-Pfad aussuchen und in angrenzbare Fläche einbinden 10. goto 2.

Demoucron positiv: - einfach zu implementieren negativ: Laufzeit O(n²) keine Rückgabe außer planar/nicht-planar

Zeichnen von Graphen platzsparende, übersichtliche Einbettung 1 3 platzsparende, übersichtliche Einbettung 2 Einbettung durch Boyer-Myrvold-Aglorithmus oder andere, spezialisierte Algorithmen 5 4 6 2 5 irgendwie halt.. 4 1 6 3

Zusammenfassung planar – p wie platt K5 und K3,3 - die Wurzeln alles Bösen Grundversorgung durch einfache, aber zeiltlich aufwändige Algorithmen mit quadratischer Laufzeit leistungsstarke Algorithmen mit linearer Laufzeit und jeder Menge Goodies, jedoch sehr komplex übersichtliche Zeichnung als Erweiterung des Planaritätstests

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