Optionsbewertung Elena Kostiaeva

Überblick Differential und Integralrechnung Integral Differentialquotient Differential (Totales vs Partielles Differential) Beispiele Integral Riemann Integral Stieltjes Integral Partielle Integration Bewertung von Derivaten Futures, Options

Differential und Integralrechnung Differentialquotient – entspricht Ableitung, also entspricht der Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle Die Steigung entspricht:

Differential und Integralrechnung

Differential und Integralrechnung Ableitung

Differential und Integralrechnung Differentialrechnung wird häufig dazu verwendet Flächen „unter“ Funktionsgraphen zu berechnen Das Differential ist dem Differentialquotient sehr ähnlich; hier frag man sich nach um welchen Betrag sich Y verändert, wenn eine Wertänderung des X erfolgt

Differential und Integralrechnung

Differential und Integralrechnung Anhand dieser Skizze dann

Differential und Integralrechnung

Differential und Integralrechnung Beispiele:

Differential und Integralrechnung Approximation wenn sehr klein ist, dann gilt

Differential und Integralrechnung Kettenregel Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion

Differential und Integralrechnung Riemann Integral Stieltjes Integral Partielle Integration

Differential und Integralrechnung Integralrechnung wird benützt um die Fläche zwischen einem Graphen und X-Achse zu berechnen Im Vergleich zu der Intergral wird für die Summe der unzählbaren kleinen Objekten verwendet

Differential und Integralrechnung Gegeben ist eine deterministische Funktion Annahme, wir wollen diese Funktion integrieren im Intervall

Differential und Integralrechnung Damit wir den Riemann Integral anwenden können, teilen wir den Intervall [ 0;T ] auf n Subintervallen so erhalten wir die Approximationssumme

Differential und Integralrechnung Gegeben ist Riemann Integral wird definiert als

Differential und Integralrechnung

Differential und Integralrechnung Stieltjes Integral wo dann gilt wobei

Differential und Integralrechnung Riemann-Stieltjes Integral

Differential und Integralrechnung Die partielle Integration entspricht der Produktregel des Differenzierens. Hat man ein Integral der Form wobei leicht auf- und leicht abzuleiten ist.

Differential und Integralrechnung Damit ergibt sich es entsteht also ein neues Integral, das nun noch (hoffentlich leichter) zu integrieren ist.

Differential und Integralrechnung Partielle Ableitungen am Bsp “Call option” Ableitung, wenn t = const Ableitung, wenn = const

Differential und Integralrechnung Will man eine Funktion vollständig ableiten, so muß man das totale Differential bilden. Es entsteht aus der Summe der partiellen Ableitungen wie folgt:

Differential und Integralrechnung Taylorreihen Erwartung: Eine Gerade der Form

Differential und Integralrechnung Taylorreihe wird definiert als

Bewertung von Derivaten Bewertungsmethoden: Method of equivalent martingale measures Partial different equation Funktionen Forwards Options Delta Hedging

Bewertung von Derivaten Problem: Die Finanzmarktdaten sind nicht deterministisch! sind ununterbrochen stochastisch