3D-GIS I Simpliziale Komplexe Kerstin Herms

Inhalt Simplizes Simpliziale Komplexe Einschränkungen und Erweiterungen für 3D-GIS Topologische Beziehungen Anwendungsmöglichkeiten in 3D-GIS Literatur

Simplizes (Wh. aus GIS1) Ein 0-Simplex ist ein Punkt Ein 1-Simplex ist eine gerade Kante Ein 2-Simplex ist ein Dreieck (Inneres + 3 Kanten + 3 Knoten) Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder aus: Skript zur GIS-I Vorlesung

Simplizes (Definition) Die Punkte P0, ..., Pn heißen affin unabhängig, falls die n Vektoren von P0 aus linear unabhängig sind. Sei P eine Menge von (d+1) affin unabhängigen Punkten. Ein Simplex der Dimension d ist die konvexe Hülle von P.

Simplizes (Aufbau) Simplizes bestehen selber aus Simplizes einer niedrigeren Dimension (sog. „face“ Simplizes). Im n-dimensionalen Raum hat ein n-Simplex „face“-Simplizes der Dimension d. Zur Erinnerung:

Beispiel: Ein 3-Simplex im 3-dimensionalen Raum besteht aus: Knoten Kanten Dreiecken Tetraeder

Simpliziale Komplexe aus: Hecht5

Simpliziale Komplexe (Definition) Ein simplizialer Komplex ist ein endlicher Satz von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: Der Schnitt zweier beteiligter Simplizes ist entweder leer oder ein „face“-Simplex beider Simplizes. Mit jedem Simplex sind auch alle seine „face“-Simplizes definiert. (D.h. alle „face“-Simplizes sind wieder Teil des Simplizialen Komplex.)

Simpliziale Komplexe (Beispiele) Simplizialer Komplex kein Simplizialer Komplex nicht alle „face“-Simplizes sind definiert aus: Hecht5

Simpliziale Komplexe (Gegenbeispiel) der Schnitt ist nicht leer, aber selber auch kein „face“-Simplex

Simpliziale Komplexe (Dimension) Die Dimension d eines Simplizialen Komplexes ist gleich der maximalen Dimension der Simplizes, aus denen der Simpliziale Komplex zusammengesetzt ist.

Simpliziale Komplexe (Dimension) aus: Hecht5 Þ Dimension 3

Simpliziale d-Komplexe (Einschränkung) Vereinfachung: d-dimensionale Komplexe, die nur aus d-dimensionalen Simplizes bestehen

Simpliziale 3-Komplexe (Tetraedernetze) aus: Hecht5 Entfernen aller Simplizes der Dimension 0, 1 und 2, die nicht „face“-Simplex eines Tetraeders sind

Darstellung als UML-Diagramm 0-Komplex Punkt-objekt 1 2-Komplex Flächen-objekt 1-Komplex Linien-objekt 2-Simplex Dreieck 1-Simplex Kante 0-Simplex Knoten 3-Simplex Tetraeder 1..* 0..2 0..* 4 3 2 geändert nach: Lenk6 3-Komplex Raum-objekt

Erweiterung der Simplizialen Komplexe 3D-Darstellungen benötigen räumliche Information Umsetzung: Speichern von Topologie und Geometrie Þ e-Komplex (e = extended) Definition von Nachbarschaften

Nachbarschaften Ein d-Simplex mit Nachbarschaft (d > 1) besteht aus einem Simplex der Dimension d und maximal d+1 adjazenten Simplizes der Dimension d. 2-Simplex adjazenter 2-Simplex (Nach dieser Definition müssen keine Nachbarschaften existieren!)

Nachbarschaften in 3D aus: Breunig3

Topologische Beziehungen Anwendung: Ausdruck räumlicher Relationen Konsistenzprüfung von digitalisierten, interpolierten oder editierten räumlichen Daten (z.B. Schnittfreiheit von Tetraedern)

4-Schnitt-Modell (Wh. aus GIS1) 6 grundlegende Beziehungen aus: Skript zur GIS-I Vorlesung

Topologie für Simpliziale 2-Komplexe aus: Breunig1

Weitere topolog. Beziehungen Für 3D-GIS reicht es nicht aus, nur Objekte gleicher Dimension zu betrachten Darstellung von Lagebeziehungen von Objekten verschiedener Dimension (z.B. Punktlage bzgl. Linie, Dreieck oder Tetraeder)

Weitere topolog. Beziehungen (Beispiele) aus: Breunig2

Anwendungsmöglichkeiten in 3D-GIS Frage: Wozu sind Simpliziale Komplexe geeignet? Betrachtung zweier Beispiele: Geologie (Modellierung von Bodenschichten) Stadtmodelle

3D-Modellierung von Bodenschichten Geologische Anwendungen erfordern eine Verwaltung von Volumina Vorteile der Verwendung von simplizialen Komplexen: Darstellung von Punkten, Linien, Flächen und Volumina Simplizes bestehen aus der einfachsten Geometrie wenig Fallunterscheidungen bei einem geometrischen Algorithmus auch unregelmäßig verteilte Messpunkte werden erfasst

3D-Modellierung von Bodenschichten Was ist zu Modellieren? Querschnitte (sections) Schichtgrenzen (stratigraphic boundaries) Störungen / Verwerfungen (faults) (durch tektonische Deformation)

Beispiel: Niederrheinische Bucht Arbeit des SFB 370 der Uni Bonn aus: Breunig2

Ablauf der Modellierung Gegeben: digitalisierte Punktdaten aus Messungen aus: Breunig2 Linien aus Punktdaten generieren Flächen aus Linien generieren Volumen aus Flächen generieren

Oberfläche einer Bodenschicht aus: Breunig2

Stadtmodelle Beispiel: „Bauklötzchen-Modell“ Darstellung von Häuserblöcken mit Simplizialen Komplexen

Zerlegung von Blöcken mindestens 5 Tetraeder benötigt

Zerlegungsmöglichkeiten Darstellung nicht eindeutig

Fazit Simpliziale Komplexe sind für Geologische Modelle gut geeignet Simpliziale Komplexe sind für Stadtmodelle weniger gut geeignet

Literatur Breunig, M.: Komponentenbasierte 3D/4D-Geoinformationssysteme für Anwendungen in der Geologie, Habil. Thesis. Breunig, M.: Integration of Spatial Information for Geo-Information Systems. In: Lecture Notes in Earth Sciences, No. 61. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1996. Breunig, M.: On the Way to Component-Based 3D/4D Geoinformation Systems. In: Lecture Notes in Earth Sciences, No. 94. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2001. Cremers, A.B.; Bode, T.; Breunig, M.; Floeren, J. and S. Shumilov: Object Oriented 3D/4D Geo Information System (GIS). Bonn, 2000. Abrufbar unter: http://www.geo.informatik.uni-bonn.de/index_en.html

Literatur (Fortsetzung) Hecht, S.: Konzeption und Implementierung topologischer 3D-Beziehungen in einem GeoToolKit. Bonn, 1999. Abrufbar unter: http://www.geo.informatik.uni-bonn.de/publications/1999/dipl-hecht Lenk, U. und C. Heipke: Neue Untersuchungen zur Integrationvon DGM und DSM mittels Triangulationen zur Berechnung integrierter 2.5D-Landschaftsmodelle. Abrufbar unter: http://www.ipi.uni-hannover.de/html/publikationen/2002/paper/ aga01_mit_bildern.pdf Skript zur GIS1-Vorlesung. Abrufbar unter: http://www.ikg.uni-bonn.de/Lehre/Geoinfo

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!