Mathematische Beschreibungen des menschlichen Lebens

Warum Mathematik + Mensch ? Im 19. und frühen 20. Jahrhundert passierten enorme Fortschritte im Verständnis der Physik (Naturwissenschaft) – durch verstärkte Mathematisierung Im 20. und frühen 21. Jahrhundert passiert technischer Fortschritt und wachsender Lebensstandard - durch mathematische Modellierung und Simulation Im 21. Jahrhundert stellt sich die nächste Herausforderung - Mathematische Beschreibungen menschlichen Lebens 9.4.2008

Menschliches Leben auf allen Skalen Mathematik + Mensch Menschliches Leben auf allen Skalen Mathematische Probleme stellen sich auf allen Skalen: Molekulare / Subzellulare Prozesse Physiologie / Zellulare Prozesse Zellbewegung und -populationen Prozesse auf Organebene Untersuchungen auf Ganzkörperebene Prozesse mit grosser Anzahl von Menschen(massen) "Mathematics compares the most diverse phenomena and discovers the secret analogies that unite them." Jean Baptiste Joseph Fourier 9.4.2008

Beispiele aus meiner Forschung Mathematik + Mensch Beispiele aus meiner Forschung Simulation von Ionenkanälen Simulation von Zellbewegung Molekulare Bildgebung Bildgebung auf grösseren Skalen Simulation sozio-ökonomischer Prozesse "Mathematics creates our standard of living." Bob Eisenberg " Sozialkompetenz ist auch in der Mathematik eine ganz wichtige Eigenschaft." Wolfgang Lück (FOCUS, Jan 08) 9.4.2008

Mathematical Imaging@WWU Mathematik + Mensch Mathematical Imaging@WWU Christoph Brune Marzena Franek Alex Sawatzky Frank Wübbeling Thomas Kösters Christina Stöcker Claudia Giesbert Astrid Heitmann Mary Wolfram (Linz) Martin Benning Thomas Grosser 9.4.2008

Diplomanden 07/08 Mathematik + Mensch Tanja Mues Katharina Daniel Anna Weisweiler Melanie Schröter Bärbel Schlake Jahn Müller Martin Benning Steffi Sillekens Oleg Reichmann Arvind Sarin Tobias Neugebauer Matthias Tillmann Jan Pietschmann Jan Hegemann Michael Möller (Cambridge) (UCLA) (UCLA) 9.4.2008

Bildrekonstruktion und inverse Probleme Mathematik + Mensch Bildrekonstruktion und inverse Probleme Inverse Probleme bestehen in der Rekonstruktion einer Ursache aus einer beobachteten Wirkung (über ein mathematisches Modell, das sie in Beziehung setzt) Prototyp inverser Probleme: Medizinische Diagnose Nicht-invasive Verfahren in der Medizin basieren immer auf indirekter Beobachtung "The grand thing is to be able to reason backwards." Arthur Conan Doyle (A study in scarlet) 9.4.2008

Molekulare Bildgebung: PET Mathematik + Mensch Molekulare Bildgebung: PET Bildgebung auf molekularer Ebene, funktional und quantitativ Beispiel Positron-Emission-Tomography Externe Messung basierend auf radioaktiven Zerfallsdaten Zerfallsevents zufällig, aber Rate proportional zur Dichte 9.4.2008

Mathematik + Mensch EM-Algorithmus Stochastische Modellierung des Problems, Messungen aus Poisson-Modell Bild u ist Dichtefunktion des Tracers Linearer Operator K entspricht Radon-Transformation Eventuell zu korrigierende Störungen / Messfehler b Johann Radon 9.4.2008

EM-Algorithmus Rekonstruktion als maximum-likelihood Schätzer Mathematik + Mensch EM-Algorithmus Rekonstruktion als maximum-likelihood Schätzer Modellierung der a-posteriori Wahrscheinlichkeit nach Bayes 9.4.2008

EM-Algorithmus als Fixpunktiteration Mathematik + Mensch EM-Algorithmus als Fixpunktiteration Kontinuierlicher Grenzwert für grosse Anzahl von Events (Stirling-Formel) Optimalitätsbedingung führt auf Fixpunktgleichung 9.4.2008

Mathematik + Mensch PET Rekonstruktion Rekonstruktion bei guter Statistik (Kleintier PET) Thomas Kösters Frank Wübbeling 9.4.2008

EM-Algorithmus an der Grenze Mathematik + Mensch EM-Algorithmus an der Grenze Schlechtere Statistik = weniger Radioaktivität / schneller zerfallende Isotope Für Patienten verträglich/ für gewisse Untersuchungen besser Alex Sawatzky Thomas Kösters ~10.000 Events ~600 Events 9.4.2008

Mathematik + Mensch Vom Bild zum Cartoon Wie können wir auch im Fall schlechter Daten vernünftige Rekonstruktionen erhalten ? Anforderungen müssen adaptiert werden Suche Methode, die nicht alle detaillierten Muster zu rekonstruieren versucht, sondern sich auf die wesentliche Struktur konzentriert: Cartoon-Rekonstruktion 9.4.2008

Das Auge des Betrachters Mathematik + Mensch Das Auge des Betrachters Was sind vernünftig rekonstruierte Strukturen ? Hauptanforderung: müssen für den (menschlichen) Betrachter sinnvolle Rückschlüsse zulassen Übersetze Augenfunktion und Psyche in Mathematik Scharfe Objektkanten sind viel wichtiger als Texturen Morel et al, From Gestalt Theory to Image Analysis, Springer 2007 Haddad-Meyer, UCLA CAM Report 2004 9.4.2008

Das Auge des Betrachters Mathematik + Mensch Das Auge des Betrachters Was sind vernünftig rekonstruierte Strukturen ? Was nimmt unser Auge /Hirn wahr ? 9.4.2008

Das Auge des Betrachters Mathematik + Mensch Das Auge des Betrachters Lokale Änderungen von Texturen ändern wenig 9.4.2008

Das Auge des Betrachters Mathematik + Mensch Das Auge des Betrachters Zusätzliche Strukturen ändern viel ! 9.4.2008

Mathematik + Mensch TV-Methoden Bestrafung der totalen Variation Formal Exakt ROF-Modell zum Entrauschen von g : minimiere totale Variation unter Nebenbedingung Rudin-Osher-Fatemi 89,92 9.4.2008

Warum TV-Methoden ? Deswegen ! Linearer Filter TV-Methode Mathematik + Mensch Warum TV-Methoden ? Deswegen ! Linearer Filter TV-Methode 9.4.2008

TV-Methoden und Bayes p ( g j u ) » e x ¡ ¸ 2 Z d p ( u ) » e x ¡ J Mathematik + Mensch TV-Methoden und Bayes Es existiert ein Lagrange Parameter, sodass ROF äquivalent ist zu Erster Term aus log-likelihood für Gauss-Verteilung, zweiter als a-priori Wahrscheinlichkeit ! p ( g j u ) » e x ¡ ¸ 2 Z d p ( u ) » e x ¡ J 9.4.2008

TV-Methoden und Geometrie Mathematik + Mensch TV-Methoden und Geometrie Verbindung zu Längen/Oberflächenminimierung durch coarea-Formel Erster Term zerfällt in Volumsintegrale mit Gewichtung u-g Lösung isoperimetrischer Probleme auf Level Sets ! Stan Osher 9.4.2008

TV-Methoden und Geometrie Mathematik + Mensch TV-Methoden und Geometrie Optimalitätsbedingung Duale Variable p hat geometrische Bedeutung q ist verallgemeinertes Normalenvektorfeld an Level Sets p ist mittlere Krümmung ¸ ( u ¡ g ) + p = ; 2 @ J p = d i v q ; k 1 · 9.4.2008

TV-Methoden Analysis und Numerik von TV-Minimierung ist schwierig: Mathematik + Mensch TV-Methoden Analysis und Numerik von TV-Minimierung ist schwierig: nichtdifferenzierbar nicht strikt konvex degenerierter Differentialoperator keine starke Konvergenz unstetige Lösungen potentiell grosse Datenmengen (3D / 4D Imaging) 9.4.2008

TV-Methoden Fehlerabschätzungen brauchen eigenes Distanzmaß: Mathematik + Mensch TV-Methoden Fehlerabschätzungen brauchen eigenes Distanzmaß: Verallgemeinerte Bregman-distance mb-Osher 04 p muss bei Diskretisierung richtig behandelt werden (primal-duale Methoden) mb 08 DFG-Projekt Regularisierung mit Singulären Energien, 2008-2011 9.4.2008

Mathematik + Mensch Effiziente Löser Parallele Methoden basierend auf Gebietszerlegung – Minimierung auf Teilgebieten mit passender Randkopplung Jahn Müller 9.4.2008

Allgemeinere Probleme Mathematik + Mensch Allgemeinere Probleme Durch Anpassung des Datenfit-Terms (Bayes) Gauss‘sche Entzerrung statt Gauss‘scher Entrauschung (Verzerrung modelliert durch linearen Integraloperator K ) → Poisson-Modell mit TV-Prior: 9.4.2008

Konstruktion numerischer Verfahren Mathematik + Mensch Konstruktion numerischer Verfahren Geeignete numerische Lösung durch 2-Schritt Verfahren Klassischer EM-Teil im ersten Schritt TV-Minimierung im zweiten Schritt 9.4.2008

~600 Events EM EM-TV Alex Sawatzky Thomas Kösters Mathematik + Mensch 9.4.2008

EM-TV Rekonstruktion aus simulierten Daten Mathematik + Mensch EM-TV Rekonstruktion aus simulierten Daten Bild Daten EM EM-TV 9.4.2008

Quantitative Verfahren Mathematik + Mensch Quantitative Verfahren Verbleibendes Problem: systematischer Fehler der TV-Methode Variation wird zu stark reduziert, quantitative Werte können vor allem bei kleinen Strukturen stark abweichen Probleme bei quantitativen Verfahren, z.B. Auswertung von physiologischen Parametern basierend auf PET-Rekonstruktionen Projekt PM 6 im SFB 656 (mb/Klaus Schäfers) 9.4.2008

Rekonstruktion physiologischer Parameter Mathematik + Mensch Rekonstruktion physiologischer Parameter Myokardiales Blutfluss-Modell in jedem Pixel. Vereinfachtes Modell: Bestimmung der Perfusion F und des arteriellen Blutfluss CA aus Bildintensität u berechnet aus CT Nichtlineares inverses Problem Martin Benning @ C T ( x ; t ) = F A ¡ V D 9.4.2008

Quantitative Verfahren Mathematik + Mensch Quantitative Verfahren Kontrastkorrektur durch iterative Regularisierung Die prior probability zentriert bei null Anpassung: sei das Minimum des Poisson-TV Modells Iterativer Algorithmus, EM-TV kann für jeden Schritt verwendet werden mb-Osher-Goldfarb-Xu-Yin 05, mb-Gilboa-Osher-Xu 06 p ( u ) » e x ¡ J ^ u 1 p ( u ) » e x ¡ [ J + ^ 1 h ; i ] 9.4.2008

Nanoskopie – STED & 4Pi Analoge Probleme in der optischen Nanoskopie: Mathematik + Mensch Nanoskopie – STED & 4Pi Analoge Probleme in der optischen Nanoskopie: Stimulated Emission Depletion (Stefan Hell, MPI Göttingen) BMBF Projekt „INVERS“, Göttingen(MPI+Univ)-Münster-Bochum-Bremen, Leica 9.4.2008

Mathematik + Mensch Nanoskopie – STED & 4Pi Ähnliches Modell der Bildformation, K ist Faltungsoperator Verwendet u.a. zum Studium menschlicher Zellen 9.4.2008

Nano-Dekan Simulierte Bildformation → Christoph Brune Mathematik + Mensch Nano-Dekan Simulierte Bildformation → Christoph Brune 9.4.2008

Dekan-Cartoon Iterierte EM-TV Rekonstruktion Christoph Brune Mathematik + Mensch Dekan-Cartoon Iterierte EM-TV Rekonstruktion Christoph Brune 9.4.2008

Nanoskopie an der Grenze: Syntaxin PC12, 53nm Mathematik + Mensch Nanoskopie an der Grenze: Syntaxin PC12, 53nm Christoph Brune 9.4.2008

Mathematik + Mensch 3D Zellstruktur Christoph Brune 9.4.2008

Mathematische Modelle: Kollektives Verhalten Mathematik + Mensch Mathematische Modelle: Kollektives Verhalten Mathematische Modelle lassen sich für verschiedenste Aspekte des menschlichen Lebens herleiten, zB Transport durch Ionenkanäle Zellbewegung und –aggregation (Chemotaxis) Verhalten von Menschenmengen bei Evakuierung Verhalten von Händlern auf Finanzmärkten …. 9.4.2008

Individuelle Modelle d X = F ( ) t ¡ r V + ¾ W F ( X ) d t = H ; Mathematik + Mensch Individuelle Modelle Mikroskopische Modelle (individual based) für den Zustand einzelner Teilchen (Position, Impuls) oder Menschen (Position, Meinung, …) können in Form stochastischer Differential-gleichungen gewonnen werden Interaktion der Teilchen Berechnung der Interaktionskräfte aus weiteren Gleichungen d X N j = F ( ) t ¡ r V + ¾ W F N j ( X ) d t = k 6 H ; 9.4.2008

Chemical Bonds are lines Surface is Electrical Potential Mathematik + Mensch Ionenkanäle Transport durch Zellmembrane passiert durch Ionenkanäle Ionenkanäle sind Proteine mit einem Loch in der Mitte Proteine erzeugen effektive Ladung im Kanal Bob Eisenberg Chemical Bonds are lines Surface is Electrical Potential Red is positive Blue is negative Chemist’s View All Atoms View 9.4.2008

Mathematik + Mensch Ionenkanäle Zustand ist Position der einzelnen Ionen im Kanal und umliegenden Flüssigkeiten Interaktion über elektrische (Coulomb) und chemische Kräfte Externe Kräfte von Proteinen, analoge elektrische und chemische Kräfte 9.4.2008

Fussgängersimulation Mathematik + Mensch Fussgängersimulation Beschrieben durch Newton‘sche Bewegungsgleichungen mit starker Dämpfung (hin zur typischen Gehgeschwindigkeit) „Soziale Kräfte“ (Helbing 93): - Bevorzugte Geschwindigkeitsrichtung (zB zum Ausgang) Externe abstossende Potentiale (Wände, Hindernisse) Lokal abstossende Kraft zu anderen Fussgängern 9.4.2008

Fussgängersimulation Mathematik + Mensch Fussgängersimulation Simulation der Entleerung eines Raumes mit zwei Türen und einem Hindernis Bärbel Schlake 9.4.2008

Finanzmärkte und Meinungsbildung Mathematik + Mensch Finanzmärkte und Meinungsbildung Händlerverhalten nach ähnlichem Muster Externe Potentiale: Wirtschaftsdaten, DAX, Zinsniveau, ... Interaktion: Anpassung an / Abgrenzung von Konkurrenz Bsp: Preisbildung, Volatilitätsmodelle, Einschätzungen des Wirtschaftsklimas, Verteilung von Wohlstand … Lux et al, Helbing et al, Toscani et al, Lasry-Lions, Bianchi-Capasso-Morale, … Daniela Morale Vincenzo Capasso 9.4.2008

Mathematik + Mensch PDE-Modelle Im Grenzwert einer grossen Anzahl von Inviduen Herleitung von Kontinuumsmodellen mit asymptotischen Methoden Liouville (2Nd+1 Dimensionen)  BBGKY-Hierarchie (2kd+1 Dimensionen)  Boltzmann/Vlasov Gleichungen (2d+1) Mean-Field Fokker-Planck Gleichungen (d+1) Ludwig Boltzmann 9.4.2008

Finanzmärkte und Meinungsbildung Mathematik + Mensch Finanzmärkte und Meinungsbildung Analoge Modelle auch aus diskreten Sprungmodellen (random walks). Anwendung auf Finanzmarktdaten, Parameterschätzung Lux et al 05,07 Random Walk / Markov Prozess  [Mastergleichung (hochdimensional)] Mastergleichung (niedrigdimensional) Fokker-Planck Gleichung Katharina Daniel 9.4.2008

Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen Mathematik + Mensch Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen Kanonische Form der Fokker-Planck Gleichung wobei für eine Entropie / Energie E Degenerierte nichtlineare Diffusion, wenn D nicht strikt positiv ist und Peter Markowich @ t ½ = r ¢ ( D ) ¹ ¹ = E ( ½ ) E ( ½ ) = f + n i c h t l o k a e r T 9.4.2008

Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen Mathematik + Mensch Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen Allgemeine Formulierung als metrischer Gradientenfluss Benötigen dafür Riemann‘sche Mannigfaltigkeit Metrik definiert über optimalen Transport Otto, Brenier, DeGiorgi Ambrosio-Gigli-Savare @ t ½ = r M E ( ) d ( ½ ; 1 ) 2 : = i n f V Z D j x s @ s ½ = r ¢ ( D ) V ½ ( ) = ; 1 9.4.2008

Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen Mathematik + Mensch Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen Mathematische Herausforderungen: Struktur der Metrik / Mannigfaltigkeit / Geodäten Geodätische Konvexität der Entropie / Energie Verstanden für D=1 (H - 1 Norm) und D=r (Wasserstein Metrik) Allgemeinerer Fall und Systeme (noch) offen Jan Pietschmann 9.4.2008

Optimaler Transport Weitere Arbeitsgebiete: Mathematik + Mensch Optimaler Transport Weitere Arbeitsgebiete: Robuste numerische Verfahren basierend auf opt. Transport Anwendungen, Modellierung, Mikro-Makro Übergang Mary Wolfram Jose Carrillo 9.4.2008

Optimaler Transport Weitere Arbeitsgebiete: Mathematik + Mensch Optimaler Transport Weitere Arbeitsgebiete: Inverse Probleme: Bestimmung von unbekannten Termen aus Daten, zB Interaktionspotentiale, Ionenkanalstruktur Optimales Design, zB Topologieoptimierung von Fluchtwegen Optimaler Transport in (teilweise) unbekannter Umgebung Heinz Engl Marzena Franek Richard Tsai 9.4.2008