Technische Informatik I Vorlesung 4: Vereinfachung von Schaltfunktionen Mirco Hilbert Universität Bielefeld Technische Fakultät

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra2 Übersicht  Normalformen  disjunktive Normalform  konjunktive Normalform  Vereinfachung von Schaltfunktionen  Systematische Verfahren zur Vereinfachung von Schaltfunktionen  Karnaugh-Diagramme  Quine-McCluskey-Verfahren  Synthese von Schaltwerken

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra3 Literale Definition (Literal) Die Konstanten 0 und 1 sowie alle Variablen und negierten Variablen heißen Literale. 1 undheißen positive Literale. 0 undheißen negative Literale.

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra4 Terme Definition (Term)  Die Konstanten 0 und 1 sowie alle Variablen heißen Terme.  Ist t ein Term, dann ist auch (  t ) ein Term.  Sind t 1 und t 2 Terme, dann sind auch ( t 1  t 2 ) und ( t 1  t 2 ) Terme  Wir lassen die Parenthese weg, falls der Term ohne Parenthese noch eindeutig ist  Aber was bedeutet x  y  x ? Gleich x ? Oder gleich x  y ?

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra5 DNF: Beispiel ist in DNF mit

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra6 Disjunktive Normalform Definition (Disjunktive Normalform) Ein Term ist in disjunktiver Normalform (DNF) gdw. er eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist, d.h. t = t 1  t 2 ...  t n n  1 mit t i = (l i 1  l i 2 ...  l i m i )1  i  n und m i  1 wobei die l i j Literale sind. Etwas kompakter geschrieben, bedeutet das:

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra7 Konjunktive Normalform Definition (Konjunktive Normalform) Analog zur DNF ist ein Term t in konjunktiver Normalform (KNF) gdw. er eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ist, also

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra8 Fundamentaler Satz für bool‘sche Normalformen Zu jedem Term, d.h. zu jeder n -stelligen Schaltfunktion, gibt es einen äquivalenten Term in DNF und einen äquivalenten Term in KNF.

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra9 Algorithmus zur Herstellung einer DNF Algorithmus zur Herstellung einer DNF aus einem beliebigen Term t 1 Ziel: eine Negation steht nur noch vor Variablen. Ersetze in t jedes Vorkommen eines Teilterms der Form bis kein derartiger Teilterm mehr vorkommt.

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra10 Algorithmus zur Herstellung einer DNF 2 Ersetze in t jedes Vorkommen eines Teilterms der Form (Distributivgesetz) bis kein derartiger Teilterm mehr vorkommt.

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra11 Algorithmus zur Herstellung einer DNF Achtung:  der Algorithmus kann exponentiellen Aufwand bedeuten (z.B. Konversion eines Terms in KNF in eine DNF-Form)

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra12 Beispiel: KNF  DNF (1)

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra13 Beispiel: KNF  DNF (2)

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra14 Beispiel: KNF  DNF (3)

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra15 Beispiel: KNF  DNF (4)

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra16 Effizienzbetrachtung  Achtung! Exponentiell heißt impraktikabel!  Ampelbeispiel: 8 Eingangsvariablen  DEP-Decoder: 16 Funktionen mit je 12 Eingangsvariablen

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra17 Minterm Definition (Minterm) Ein Term ist ein Minterm, wenn er eine Konjunktion aller in der Schaltfunktion betrachteten Literale ist. Es gilt:

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra18 Minterm: Beispiel Beobachtung: minterm(0, 1, 1) ist nur 1 für die Belegung (0, 1, 1) der Eingangsvariablen.

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra19 Maxterm Definition (Maxterm) Analog zum Minterm ist ein Maxterm eine Disjunktion aller in der Schaltfunktion betrachteter Literale. Es gilt:

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra20 Wertetabelle  DNF  Nach dem Fundamentalen Satz für bool'sche Normalformen läßt sich jede n -stellige Schaltfunktion in DNF darstellen.  Über eine Wertetabelle kann man auf einfache Weise die Schaltfunktion in DNF herstellen, indem man zu jeder Variablenbelegung (d.h. Zeile in der Wertetabelle) die Konjunktion von Funktionswert und Minterm bildet und diese  - Terme miteinander ver- ODER -t.  Schauen wir uns das an einem einfachen Beispiel an.

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra21 Beispiel - Wertetabelle  Eine Schaltfunktion sei durch ihre Wertetabelle gegeben:

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra22 Beispiel - DNF  Durch Disjunktion der einzelnen Zeilen erhält man die zugehörige Schaltfunktion in DNF:

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra23 Kanonische disjunktive Normalform Definition (Kanonische Disjunktive Normalform) wobei diealle möglichen Belegungen der Eingangsvariablen sind, heißt vollständige oder kanonische disjunktive Normalform.

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra24 Beispiel - Wertetabelle  Eine Schaltfunktion sei durch ihre Wertetabelle gegeben:

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra25 Beispiel - KDNF  Dadurch ergibt sich die folgende KDNF

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra26 Beispiel - Vereinfachung der KDNF  Da die 0-Terme bei der Disjunktion keine Rolle spielen, lässt sich die KDNF folgendermaßen vereinfachen:  Im zweiten Schritt wurden die letzten Terme zusammengefasst, da sie sich nur dadurch unterscheiden, dass x 2 einmal als positives und einmal als negatives Literal auftritt.

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra27 Zusammenfassen von Teiltermen  Die eben angewendete Regel lässt sich wie folgt verallgemeinern: Terme der Art können zusammengefasst werden zu:

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra28 Zusammenfassen von Teiltermen  Beweis: (A  x  B)  (A   x  B) = (A  B  x)  (A  B   x) (Kommutativität) = (A  B )  (x   x) (Distributivität) = (A  B )  1 (selber prüfen!) = (A  B ) (selber prüfen!)

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra29 Karnaugh-Diagramme  graphische Darstellung einer Schaltfunktion äquivalent zu Wertetabelle oder Normalform  geeignet um Schaltfunktionen mit bis zu n = 4 Eingangsvariablen zu vereinfachen  Funktionswerte werden in ein Diagramm mit 2 n Feldern eingetragen  durch Blockbildung können mehrere Minterme zu einem einfacheren Term zusammengefasst werden

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra30 K-Diagramm für zwei Eingangsvariablen  Tabellen-Schema für zwei Variablen:  Minterme der einzelnen Tabellenzellen:

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra31 K-Diagramm für drei Variablen  Tabellen-Schema für drei Variablen:  Wertebelegungen für x 2, x 1 werden gemäß Gray-Code angeordnet: Zwei aufeinander folgende Spalten unterscheiden sich in genau einem Bit  Achtung! Variablenreihenfolge!

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra32 K-Diagramm für vier Variablen  Tabellen-Schema für vier Variablen:  Wertebelegungen für x 2, x 1 sowie für x 4, x 3 werden gemäß Gray-Code angeordnet  Achtung! Variablenreihenfolge!

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra33 K-Diagramme: Beispiel 1  Schaltfunktion  vereinfachte Schaltfunktion

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra34 K-Diagramme: Beispiel 2  Schaltfunktion  K-Diagramm  vereinfachte Schaltfunktion

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra35 K-Diagramme: Beispiel 3  Schaltfunktion  K-Diagramm  Die Schaltfunktion ist durch das K-Diagramm nicht weiter vereinfachbar

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra36 K-Diagramme: Unterbestimmte Funktion  Eingangswertkombinationen, für die der Funktionswert nicht festgelegt ist, können zur Blockbildung mit 1 oder 0 belegt werden

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra37 Nachteile und Einschränkungen von K- Diagrammen  Ab vier Eingangsvariablen werden Karaugh- Diagramme zu unübersichtlich für 5 Variablen:für 6 Variablen:

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra38 Quine-McCluskey-Verfahren  Zeilen der Wertetabelle werden so umgeordnet, dass Gruppen aus Mintermen entstehen, die die gleiche Anzahl positiver Literale haben. Hierbei werden nur solche Zeilen betrachtet, bei denen der Funktionswert der Schaltfunktion gleich 1 ist.  Verschmelzung jeweils zweier Minterme aus unterschiedlichen Gruppen, die sich nur um die Negation genau einer Variablen unterscheiden und Streichung doppelter Zeilen.  Wiederholung von Schritt 2 bis keine weitere Vereinfachung mehr möglich ist.  Disjunktive Verknüpfung dieser nicht mehr weiter zusammenfassbaren Terme (Primimplikanten) ergibt vereinfachte Schaltfunktion

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra39 Quine-McCluskey - Beispiel 1  ursprüngliche Wertetabelle

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra40 Quine-McCluskey - Beispiel 1  Schritt 1: Umordnung  Schritt 2: Verschmelzung  Schritt 4: vereinfachte Schaltfunktion

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra41 Quine-McCluskey - Beispiel 2  ursprüngliche Wertetabelle

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra42 Quine-McCluskey - Beispiel 2  Schritt 1: Umordnung

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra43 Quine-McCluskey - Beispiel 2  Schritt 2: Verschmelzung

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra44 Quine-McCluskey - Beispiel 2  Schritt 3  Schritt 2: Verschmelzung  Schritt 4: vereinfachte Schaltfunktion

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra45 Synthese von Schaltwerken

Mai 02, 2002Vorlesung 3: Bool'sche Algebra46 Literatur und Links  Structured Computer Organization Andrew S. Tanenbaum, Prentice Hall, 1999  elearn.rvs.uni-bielefeld.de

Technische Informatik I Nächste Woche: Vorlesung 4: Schaltnetze für Arithmetik Tim Köhler Universität Bielefeld Technische Fakultät