Didaktik der Geometrie (5) Vorlesung im Wintersemester 2002/03 Prof. Dr. Kristina Reiss Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Universität Augsburg

Spezielle Beweismethoden

Spezielle Beweismethoden Euklidische Methode oder Kongruenzgeometrische Methode Die Beweise basieren auf Kongruenzsätzen bzw. Ähnlichkeitssätzen. Abbildungsgeometrische Methode Die Beweise basieren auf Kongruenzabbildungen bzw. Ähnlichkeitsabbildungen.

Kongruenzgeometrische Methode Grundlage: Sätze über Kongruenz und Ähnlichkeit. Kernidee: Man sucht in einer Figur Paare kongruenter Teildreiecke und beweist deren Kongruenz mithilfe der Kongruenzsätze. Entsprechend ist eine wesentliche Voraus-setzung die Kenntnis der Kongruenzsätze.

Kongruenzgeometrischer Beweis Satz: Sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck, sodass die Seiten AC und BC kongruent sind. Dann liegt C auf der Mittelsenkrechten mAB. Beweis: Sei M Mittelpunkt der Strecke AB. Dann sind die Dreiecke AMC und MBC nach dem Kongruenz-satz SWS kongruent, denn es ist AC@BC, AM@MB und a@b.

Abbildungsgeometrische Methode Grundlage: Anwendung von Kongruenz-abbildungen unter Verwendung ihrer wesentlichen Eigenschaften Kernidee: Man wendet eine Kongruenzabbildung auf eine Figur oder Teilfigur an und folgert die Gleichheit von Längen und/oder Winkeln.

Abbildungsgeometrischer Beweis Satz: Sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck. Dann liegt C auf der Mittelsenkrechten mAB. Beweis: Es gilt AC@BC, also gibt es eine Gerade m durch C, sodass A durch Spiegelung an m auf B abgebildet wird. Die Gerade m ist aber gerade die Mittelsenkrechte auf der Strecke AB.

Vorteile der beiden Methoden Kongruenz-geometrische Methode Klare Grundlage in den (wenigen) Kongruenzsätzen Klare Ziele bei der Beweisfindung Abbildungs- geometrische Methode Realisierung auf der Handlungsebene möglich (Lehre vom Anschauungsraum) Bezug zu Symeetrieeigenschaften

Beispiele

Kongruenzgeometrischer Beweis

Abbildungsgeometrischer Beweis

Beispiel Satz: In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

Spezielle Beweismethoden Indirektes Beweisen Satz: Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit <ACB=90°. Dann liegt C auf dem Thaleskreis über der Strecke AB. Beweisidee: Man nimmt an, dass C nicht auf dem Thaleskreis liegt und leitet einen Widerspruch zum Winkelsummensatz ab.