technologischer Fortschritt (g), Bevölkerungswachstum (n), und 4.1.4 Zusammenfassung Technologie (f), technologischer Fortschritt (g), Bevölkerungswachstum (n), und Sparquote, d.h. Kapitalbildung (s) bestimmen den stationären Zustand: Für die golden rule ist die Sparquote irrelevant Golden rule: 1
Sparen ist nur Mittel zum Zweck: 4.2 Ramsey Modell Ramsey F.P. (1928), ‘A Mathematical Theory of Saving’, The Economic Journal, Vol. 38, 543-559. Annahmen stimmen weitgehend mit denen des Solow-Modells überein, bis auf die fixe Sparquote. Sparen ist nur Mittel zum Zweck: Heute wird auf Konsum verzichtet, um morgen mehr konsumieren zu können. Es gibt eine Abwägung zwischen Konsum heute und Konsum morgen. (Grafik, siehe Vorlesung) Annahme: kein technologischer Fortschritt, d.h. g = 0 und c(t) ist pro-Kopf Konsum. 2
Intertemporale Nutzenfunktion Optimierungskalkül: Ein repräsentativer Haushalt maximiert seinen Nutzen unter Nebenbedingungen, d.h.: unter den Nebenbedingungen k(0) gegeben, sowie c und k nichtnegativ. Um interpretierbare Resultate zu bekommen, wird die Nutzenfunktion näher spezifiziert. 3
ist die Diskontrate (gewichtet zukünftigen Nutzen). Perioden-Nutzen Diskontfaktor ist die Diskontrate (gewichtet zukünftigen Nutzen). Diese Nutzenfunktion hat in stetiger Zeit die Form Das Optimierungskalkül wird mit einer dynamischen Erweiterung des Lagrange-Verfahrens durchgeführt (optimal control). 4
Diese Funktion wird nach c(t) abgeleitet und gleich null gesetzt. Das Pendant zur Lagrange-Funktion heisst Hamiltonian und wird analog zu dieser gebildet: Diese Funktion wird nach c(t) abgeleitet und gleich null gesetzt. erste Optimalbedingung Anschliessend wird nach k(t) abgeleitet und diese Bedingung gleich gesetzt. zweite Optimalbedingung 5
Nach einigen Umformungen resultiert als Optimalbedingung Im stationären Zustand ( ) gilt eine der golden rule sehr ähnlich Bedingung, Für positive Diskontraten ist der stationäre Kapitalstock unterhalb der golden rule. 6
Modelldynamik 7