Schidurchbiegung im Schnee von Dieter Heinrich, Andreas Rudigier, Anita Wibmer
Problemstellung Wie biegt sich der Schi im Schnee durch? UND Wie verteilt sich der Druck unter dem Schi auf dem Schnee?
Modellierung Modell Schi: Modelliere den Schi als einen homogenen Balken mit variabler Biegesteifheit EI(x) Modell Schnee: Modelliere den Schnee als elastische Federn
Differentialgleichung - Biegung Differentialgleichung 4. Ordnung für die Durchbiegung des Balken: Diese Randbedingungen bedeuten, dass das rechte und linke Ende vom Balken frei sind. mit den 4 Randbedingungen:
Differentialgleichung – rechte Seite f(x) … Linienlast bestehend aus 2 Teilen f 1 (x) … Kraft, die der Schifahrer auf den Schi ausübt f 2 (x) … Reaktionskraft des Schnees infolge der Durchbiegung Durchbiegung
Reaktionskraft des Schnees: Modell 1 Modell 1: f 2 = k * e * b mit b = 2*w k … Federkonstante vom Schnee e … Eindringtiefe in den Schnee b … Breite des Schis
Reaktionskraft des Schnees: Modell 2 Modell 2: k * e * b für e ≥ 0 0 sonst Reaktionskraft des Schnees nur bei positiver Eindringtiefe, ist der Schi in der Luft, so wirkt keine Reaktionskraft. f 2 (e) =
Umschreiben Umschreiben in ein System 1. Ordnung liefert:
Methode zur Lösung Wir lösten das Problem mit dem Mehrzielverfahren Dazu : Zwei Lösungsansätze 1.Jacobimatrix durch externe, simultane Differentiation mit Einfrieren der Schrittweite Dies funktioniert nur bei Modell 1, bei Modell 2 treten Konvergenzschwierigkeiten auf. 2.Jacobimatrix durch interne Differentiation (=Variationsgleichung)
Matching Conditions y(x 1,x 0,y 0 ) – y 1 = 0 y(x 2,x 1,y 1 ) – y 2 = 0 ………. ………. y(x N,x N-1,y N-1 ) – y N = 0 matching conditions r(y 0,y N ) = 0 Bei unserem Problem treten je Unterteilung vier Matching Conditions auf.
ausgewählte Ergebnisse Modell Unterteilungen
ausgewählte Ergebnisse Modell Unterteilungen
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