Der Weg und das Ziel Algorithmische Zusammenhänge finden zwischen einer Funktion und ihrer Steigungs- (Änderungs-) funktion

Der Weg : Regel entdecken, Vermutung aufstellen, beweisen und einfacher rechnen! 

Das Ziel Zu einer Funktion f(x) die Funktion f‘(x) zu finden, welche die Änderungsrate beschreibt. Wenn wir also zum Beispiel die Funktion eines Weges s(t) in der Zeit t kennen, wie lautet dann die Funktion der zeitlichen Änderung des Weges, also die Geschwindigkeit v(t) ?

Worum geht es? Einordnung in den Zusammenhang Beispiele: Die Funktion beschreibt Ableitungsfunktion die Flughöhe in der Zeit die Steigung des Flugzeuges in der Zeit (Variometergraph) das Höhenprofil eines Radweges den Anstieg bzw. das Gefälle oder die Steigung dieses Weges s(t) , der Weg eines Autos in der Zeit v(t) , die Geschwindigkeit des Autos in dieser Zeit

Bestimmen der Ableitungsfunktion bekannt: graphisches Differenzieren, Graph der Ableitungsfunktion Steigung an einer bestimmten Stelle x0 berechnen ( h-Methode ) neu: Steigung an jeder beliebigen Stelle x berechnen

Wie sieht die Steigungsfunktion aus? Beispiel: f(x) = x2

Regel zur Ableitungsfunktion von f(x) = x2 Für jedes beliebige x0 aus dem Definitionsbereich haben wir gezeigt: f‘(x0) = 2 x0 Deshalb schreiben wir die Regel jetzt allgemein: Für f(x) = x2 gilt: f‘(x) = 2 x oder f‘(x) = 2x ist die Ableitungsfunktion von f(x) = x².

Wie sieht die Steigungsfunktion aus? Beispiel: f(x) = x3 und

Regel zur Ableitungsfunktion von f(x) = x3 Für jedes beliebige x0 aus dem Definitionsbereich haben wir gezeigt: f‘(x0) = 3 x0² Deshalb schreiben wir die Regel jetzt allgemein: Für f(x) = x3 gilt: f‘(x) = 3 x² oder f‘(x) = 3x² ist die Ableitungsfunktion von f(x) = x³.

Sammeln von Ableitungsfunktionen Ein kleine Quiz-Frage: Zu . . . f(x) gehört die Ableitungsfunktion f‘(x) Zu . . . x2 gehört die Ableitungsfunktion 2x1 x3 gehört die Ableitungsfunktion 3x2 Zu . . . x4 gehört die Ableitungsfunktion 4x3 Zu . . . x7 gehört die Ableitungsfunktion 7x6 Zu . . . xn gehört die Ableitungsfunktion nxn-1 Zu . . .

Stimmt das denn ? Jau - es stimmt ! Zu f(x) = x n ist f‘(x) = n x n-1 die Ableitungsfunktion ? S ist die Summe aller übrigen Potenzprodukte, die ja alle mindestens h2 enthalten. Jau - es stimmt !

Ableitungsfunktion f‘(x) = n x n-1 . Potenzregel Die Potenzfunktion f(x) = xn mit n  lN hat die Ableitungsfunktion f‘(x) = n x n-1 .

Rückblick Einordnung (Graphisches Ableiten, Ableitungsfunktion) Ableitungsregel von f(x) = x² ist f‘(x) = 2x Weg: Vermuten, beweisen, dann Regel anwenden Potenzregel: f(x) = xn, f‘(x) = n x n-1 Beispiele: f(x) = x n+3, f‘(x) = (n+3) x n+2 f(x) = f‘(x) = f(x) = f‘(x) =

Viel Erfolg auf eurem Weg!

Raben: Gegenbeweise S 183 A 37 & 38 Aufgaben : Info: S 180 Basiswissen Basics: S 181: A 19 - 23 S 183 A32 ; A 35 TOPs: Beweise S 182 A 26 – 28 Raben: Gegenbeweise S 183 A 37 & 38