Stochastik Grundlagen Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zufallsexperiment Zufallsexperiment: Der Ausgang ist ungewiss, mehrere Ergebnisse sind möglich. Welches der möglichen Ergebnisse eintritt, ist nicht vorhersagbar Ergebnis Alle möglichen Ergebnisse ex bilden die Ergebnismenge: S={e1,e2,...en}

Zufallsexperiment Beispiel: Der Wurf eines Würfels ist ein Zufallsexperiment. Die möglichen Ergebnisse sind 1,2,3,4,5 oder 6 Augen. Also gilt: Ergebnismenge S = {1,2,3,4,5,6}

Zufallsexperiment Ereignis Das Ereignis ist eine Teilmenge der möglichen Ergebnisse: A z.B. ist das Würfeln einer „geraden Augenzahl“ ein Ereignis, das die Ergebnisse 2, 4 und 6 beinhaltet Ergebnismenge: S= {1,2,3,4,5,6} Ereignis „gerade“: A = {2,4,6}

Zufallsexperiment Besondere Ereignisse Unmögliches Ereignis: kann nicht eintreten, da es keine Ergebnisse enthält A = {} Sicheres Ereignis: tritt bei jedem Experiment ein, da es alle Ergebnisse enthält: A = S Elementarereignis: enthält genau 1 Ergebnis der Ergebnismenge

Zufallsvariable Wenn die Ergebnisse eines Versuches Zahlen sind, stellt man sie als Variablen dar X = 5: die Zahl 5 ist gefallen: A = {5} X > 3: die Zahlen 4, 5 oder 6 sind gefallen: A = {4,5,6} X ≤ 3: A={1,2,3}

Häufigkeiten Absolute Häufigkeit von A: Ein Zufallsexperiment wird n mal wiederholt, das Ereignis A tritt dabei H-mal auf: H(A) = absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit von A: h(A) = H/n Beispiel: Bei 10 Würfen fällt 4 mal die Zahl 2 A = {2}, H = 4, h(A)= 4/10 = 0,4

Gesetz der großen Zahlen Gesetz der großen Zahlen: Führt man ein Zufallsexperiment beliebig oft durch, so stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten um einen festen Wert Beispiel: Eine Münze wird 100-mal geworfen. Die relative Häufigkeit des Ereignisses „Kopf“ wird als Funktion von n aufgezeichnet

Gesetz der großen Zahlen

Wahrscheinlichkeit Ordnet man den Ergebnissen feste relative Häufigkeiten zu, so nennt man diese Wahrscheinlichkeit P des Ergebnisses e: 0 ≤ P(ei) ≤ 1 für alle i P(e1)+P(e2)+…+P(en) = 1 Bsp: P(Kopf) + P(Zahl)= ½ + ½ = 1

Summenregel Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses A: Summe der einzelnen Ergebniswahrscheinlichkeiten Beispiel Würfel: „Gerade Augenzahl“ A = {2,4,6} P(2)+P(4) +P(6) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6

Gleichverteilungen LaPlace-Wahrscheinlichkeiten: Alle Ergebnisse eines Experimentes sind gleich wahrscheinlich Bei n Ergebnissen: P(e) = 1/n Beispiel Würfel: 6 mögliche Ergebnisse P(1) = 1/6, P(2) = 1/6, etc.

Gleichverteilungen LaPlace-Wahrscheinlichkeiten: Ereignisse bei LaPlace-Experimenten: P(A) = Anzahl günstige Ereignisse / Anzahl mögliche Ereignisse Beispiel Würfel: „gerade Augenzahl“ S = {1,2,3,4,5,6} A={2,4,6} P(A) = 3 / 6 = ½

Baumdiagramm Mehrstufige Experimente: Führt man mehrere Experimente nacheinander aus, stellt man sie in Baumdiagrammen dar Beispiel Würfel: Wie hoch ist die Wkt., dass man innerhalb von 3 Würfen eine 6 schafft?

Baumdiagramm Im 1., 2. und 3. Wurf kann man jeweils eine „6“ würfeln (P = 1/6) oder keine „6“ würfeln (P = 5/6)

Pfadregel Im Baumdiagramm werden die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert Führen mehrere Pfade auf ein günstiges Ereignis, dann werden diese Wahrscheinlichkeiten wie gewohnt addiert

Viel Spaß bei den Aufgaben! Weiter geht’s in den Übungsgruppen…