§7.5 Transportprozesse in Gasen Transport von: Gasvolumina Verteilung einer Molekülsorte in einer anderen Energie Impuls – Gasströmung – Diffusion – Wärmeleitung – Viskosität Auftreten bei räumlichem Unterschied von Dichte, Temperatur und Strömungsgeschwindigkeit Gaub WS 2014/15

Diffusion Nettotransport von Teilchen aus einem Gebiet hoher Konzentration in ein Gebiet niedriger Konzentration Gaub WS 2014/15

Fluorescence recovery after photobleaching (FRAP) Gaub WS 2014/15

Aber: die Teilchenzahldichten n sind verschieden! Diffusion Bei gegebener Dichteverteilung der Teilchen nA(x), einer mittleren freien Weglänge Λ und isotroper Geschwindigkeitsverteilung (T=const) ist die Wahrscheinlichkeit W- , dass ein bestimmtes Teilchen die Fläche dA an der Stelle x =x0 nach seinem letzten Stoß bei x =x0 – L cos ϑ unter dem Winkel ϑ zur Flächennormalen nach rechts durch-quert ist gleich der Wahrscheinlichkeit W+, dass ein bestimmtes Teilchen von rechts nach links läuft. dA Aber: die Teilchenzahldichten n sind verschieden! Mit einer Teilchenzahldichte n+ auf der linken Seite durchfliegen dN+Teilchen von links nach rechts in einem Zeitintervall dt aus dem Raumwinkel dΩ mit der Geschwindigkeit v im Intervall dv unter dem Winkel ϑ die Fläche dA: Gaub WS 2014/15

2π/3 Diffusion Die Netto-Teilchenstromdichte durch dA ist: Beitrag der Teilchen mit v zur Stromdichte : 2π/3 Ficksches Gesetz: oder vektoriell: mit der Diffusionskonstanten Gaub WS 2014/15

Schwere Teilchen diffundieren langsamer: Diffusion Schwere Teilchen diffundieren langsamer: Heliumatome viel leichter als Luftmoleküle Heliumatome gleichen den geänderten Partialdruck viel schneller aus! Gaub WS 2014/15

Brownsche Bewegung Bewegung von Mikroteilchen unter Einfluss der thermischen Bewegung kleinerer Gas- oder Flüssigkeitsmoleküle. Die Bewegung besteht aus kurzen geraden Stücken, deren Richtungen und Längen statistisch verteilt sind. Gaub WS 2014/15

Annalen der Physik, Band 17, 1905, p 549- Gaub WS 2014/15

Robert Brown Gaub WS 2014/15

See also Jan Ingenhousz J. Philos. 26, 339- (1785) Gaub WS 2014/15

Annalen der Physik, Band 17, 1905, p 549- See also Dissertation April 1905 Uni Zürich published in Ann Physik 19, 289-(1906) Gaub WS 2014/15

Outline: Concept of osmotic pressure works for makromolecules, no reason why it should not for suspended particles! Einstein proved this first. Osmotic pressure gradient results in force on particle. In steady state this force is balanced by friction (implicit assumption of over-damped regime) Particles move independently + basic statistics Gaub WS 2014/15

Fluktuations- Disssipations- Theorem Smoluchowski Langevin Kubo Memory-less trajectories, ballistic motion decays after ≈ m/6kP ≈ 10-8 s For a comprehensive review see Hänggi, Marchesoni and Nori, Ann. Phys. (Leipzig) 14, 51-70 (2005) Gaub WS 2014/15

Brownian Motor Gaub WS 2014/15

Up-hill Transport Gaub WS 2014/15

Gas zwischen zwei Platten an den Orten und : Wärmeleitung in Gasen Energieübertrag von Orten höherer Temperatur zu Orten niedriger Temperatur durch Stöße. Gas zwischen zwei Platten an den Orten und : Transport abhängig vom Verhältnis der mittleren freien Weglänge zum Plattenabstand. Falls Λ > d : Energie der Moleküle, die von Platte 1 kommen: Auf das Flächenelement dA treffen pro Zeiteinheit bei einer Teilchendichte n aus dem Raumwinkel Ω um die Richtung ϑ kommend: Gaub WS 2014/15

Integriert ergibt sich: Wärmeleitung in Gasen Integriert ergibt sich: Unter der Annahme, dass jedes Molekül beim Kontakt die Temperatur der Platte annimmt, verliert das Flächenelement dA pro Zeiteinheit die Energie: mit: Gleichzeitig gewinnt das Flächenelement Energie: mit: Die Netto-Wärmeleistung ist also: mit der Wärmeübergangszahl κ: Gaub WS 2014/15

Weil der Druck an jeder Stelle gleich ist, gilt für die Dichten: Wärmeleitung in Gasen Weil der Druck an jeder Stelle gleich ist, gilt für die Dichten: Falls Λ << d : Moleküle stoßen oft zwischen den Platten und übertragen die Energie auf andere. Es stellt sich ein Temperaturgradient im Gas ein. Wärme wird „diffusiv“ transportiert => weil: Gaub WS 2014/15

mit der Wärmeleitfähigkeit λ Wärmeleitung in Gasen mit: wird: mit der Wärmeleitfähigkeit λ λ wird im Druckbereich Λ << d unabhängig von der Dichte, weil: Gaub WS 2014/15

Die Bewegung der Moleküle in einer Schicht Viskosität von Gasen Liegt zusätzlich zur thermischen Bewegung noch eine Bewegung des Systems vor (Strömung), tritt viskose Reibung auf. Strömt ein Gas in y-Richtung über eine Fläche, bewegt sich die der Fläche nächste Schicht auf Grund der Reibung nicht. Die Bewegung der Moleküle in einer Schicht ist eine Überlagerung von (statistischer und isotroper) thermischer Bewegung und Strömungsgeschwindigkeit u(x). Aufgrund der thermischen Bewegung wechseln die Teilchen in andere Schichten und übertragen bei Stößen abhängig vom Geschwindigkeitsgradienten Impuls Gaub

mit dem Viskositätskoeffizienten η: Viskosität von Gasen Die Impulsstromdichte (transportierter Impuls pro Fläche und Zeit) lässt sich schreiben als: mit dem Viskositätskoeffizienten η: Gaub WS 2014/15

§7.6 Die Erdatmosphäre Die verschiedenen Bestandteile neigen einerseits dazu, sich durch Diffusion zu vermischen und werden andererseits durch die Gravitation auseinander gezogen. Im stationären Gleichgewicht sind der Diffusionsstrom und der nach unten gerichtete gravitative Strom gleich groß: Bei Fall eines Teilchens wirkt eine Reibungskraft der Schwerkraft entgegen. konstante Sinkgeschwindigkeit, damit konstanter Strom Gaub WS 2014/15

§7.6 Die Erdatmosphäre Aus der barometrischen Höhenformel ergibt sich, dass das Konzentrationsverhältnis eines leichten Gases zu einem schwereren mit der Höhe zunimmt. Das sich aus Messungen ergebende konstante Konzentrationsverhältnis ist mit der nicht konstanten Temperatur zu begründen. Starke vertikale Strömungen schwerere Starke Durchmischung der atmosphärischen Schichten Gaub WS 2014/15

§7.6 Die Erdatmosphäre Standardatmosphäre: Temperaturverlauf: Gaub WS 2014/15