Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase 5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen 5.1.1 Ideales Gasverhalten 5.1.2 Reales Gasverhalten 5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase 5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung 5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung 5.3 Kreisprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.1.1 Ideales Gasverhalten • Physikalisches Modell der Idealen Gases: Moleküle haben kein Eigenvolumen und es wirken keine zwischenmolekularen Kräfte • Modellbedingungen sind gut erfüllt für wenige Moleküle im Volumen → Eigenvolumen vernachlässigbar, große Entfernung zwischen den Molekülen Bei stark verdünnten Gasen bzw. niedrigen Drücken • Modellbedingungen sind gut erfüllt für hohe Temperaturen → wegen der hohen kinetischen Energien sind die intermolekularen Kräfte vernachlässigbar Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 2

5.1.1 Ideales Gasverhalten • Ideale Gasgleichung: • Spezielle oder spezifische Gaskonstante: • Ideale Gasgleichung in extensiven Zustandsgrößen: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 3

5.1.1 Ideales Gasverhalten • Differentielle Schreibweise der Idealen Gasgleichung in spezifischen Größen: aus: mit: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 4

5.1.1 Ideales Gasverhalten • Differentielle Schreibweise der Idealen Gasgleichung in extensiven Größen: aus: mit: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 5

5.1.1 Ideales Gasverhalten • Hieraus erhält man für eine isobare (dp = 0) ZÄ in einem Kontrollraum (dV = 0) (z.B. Beheizung eines Wohnraums): bzw. • Mit zunehmender Temperatur muss immer mehr Luft aus dem Raum verdrängt werden Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 6

5.1.1 Ideales Gasverhalten • Ideale Gasgleichung in molaren Größen: mit dem Molvolumen: mit der Molmasse: und der universellen Gaskonstanten: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 7

5.1.1 Ideales Gasverhalten • Erinnern Sie sich? Satz von Avogadro • „Bei gleichem Druck und gleicher Temperatur sind die Volumina von 1 mol unterschiedlicher Gase gleich groß“ Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 8

5.1.1 Ideales Gasverhalten • Normmolvolumen, i.e. Molvolumen bei tn = 0°C und pn = 1.01325 bar : Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 9

5.1.1 Ideales Gasverhalten • Ideale Gasgleichung für stationäre Fließprozesse: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 10

Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase 5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen 5.1.1 Ideales Gasverhalten 5.1.2 Reales Gasverhalten 5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase 5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung 5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung 5.3 Kreisprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.1.2 Reales Gasverhalten • Bei hohen Drücken und niedrigen Temperaturen wie auch in der Nähe der Siedelinie (Dampfzustand) ist die Ideale Gasgleichung sehr ungenau. Realgaszustand • Der Realgasfaktor z ist ein Maß für die Abweichung vom idealen Verhalten: • Lösungsansätze: kubische Zustandsgleichung (z.B. van-der-Waals´sche Gleichung) Virialgleichungen (Reihenentwicklung des Realgasfaktors) (wird nicht weiter behandelt) Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.1.2 Reales Gasverhalten • Der Realgasfaktor z für Wasserdampf z 0,22 0,43 0,87 0,65 100 200 300 400 500 600 z t in °C Taulinie Nach: Stephan et al., Thermodynamik, Band1, Springer Verlag, 18. Aufl. Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.1.2 Reales Gasverhalten • Der Realgasfaktor z für Luft z T in K Quelle: Geller, Thermodynamik für Maschinenbauer, Springer Verlag, 4. Aufl. Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke T in K

5.1.2 Reales Gasverhalten • Der Realgasfaktor z für Luft z p in bar Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke p in bar

Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase 5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen 5.1.1 Ideales Gasverhalten 5.1.2 Reales Gasverhalten 5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase 5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung 5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung 5.3 Kreisprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase • Realen Prozessen werden spezielle ZÄ zugeordnet Isobare: Rohrströmung, Wärmeübertrager ohne Druckverluste, Brennkammer Isochore: geschlossene Behälter, schnell ablaufende Reaktionen im Motor Isotherme: Wärmeübertrager mit Phasenwechsel, langsam ablaufende Kompression bzw. Expansion mit Wärmeab- bzw. zufuhr Isentrope: Adiabate Maschinenprozesse mit vernachlässigbaren Verlusten • Falls keine der speziellen ZÄ zutrifft, wird die so genannte polytrope ZÄ verwendet Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Polytrope: Beliebige ZÄ

5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase • Beschränkt man sich auf reversible ZÄ, so wird es möglich, für reale Prozesse sogenannte Vergleichsprozesse zu definieren, die I. einfach zu berechnen sind II. einige wesentliche Eigenschaften des realen Prozesses wiedergeben III. als optimale Prozesse als Maßstab für die Güte des realen Prozesses dienen können • Für die Berechnung benötigt werden dann lediglich: der Anfangszustand eine Angabe über den Verlauf Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke eine Angabe über den Endzustand

5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase • Im Kapitel 5.2 werden für alle 5 erwähnten ZÄ folgende Angaben gemacht: I. die thermische Zustandsgleichung II. die spezifische Volumenänderungsarbeit III. die spezifische Druckänderungsarbeit IV. die reversibel übertragene Wärme (q12)rev , bzw. die Summe aus Wärme und Dissipationsarbeit q12 + ψ12 • Im Kapitel 5.2 werden Änderungen der kinetischen und potentiellen Energien grundsätzlich nicht berücksichtigt! Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase • Achtung! Die spezifische Volumenänderungsarbeit gibt nur den reversiblen Anteil (w12)rev der an einem einfachen, geschlossenen System verrichteten Arbeit an Die spezifische Druckänderungsarbeit gibt nur den reversiblen Anteil (wt12)rev der technischen Arbeit bei einem stationären Fließprozess an • Die gesamte Arbeit gemäß: w12 = (w12)rev + ψ12 bzw. wt12 = (wt12)rev + ψ12 wird mit Hilfe des 1. HS berechnet: w12 + q12 = u2 – u1 bzw. wt12 + q12 = h2 – h1 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase 5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen 5.1.1 Ideales Gasverhalten 5.1.2 Reales Gasverhalten 5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase 5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung 5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung 5.3 Kreisprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung • Maschinen wie Pumpen, Verdichter und Turbinen können meist als adiabat behandelt werden • Wegen: adiabat + reversibel =► isentrop Der zugehörige isentrope Maschinenprozess kann als Gütebeurteilung des realen Prozesses dienen Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung • Aus den beiden Formulierungen der Gibbs´schen Fundamentalformel T∙ds = du + p∙dv = 0 T∙ds = dh – v∙dp = 0 und der idealen Gasgleichung p∙v = R∙T mit dem Isentropenexponenten κ : Isentropengleichung: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung • Der Isentropenexponent κ ist eine Stoffgröße und für Ideale Gase eigentlich eine Temperaturfunktion • Für einatomige Gase (He, Ne, Ar, Kr, Xe) gilt: • Auch sonst kann man bis 200°C meist mit konstantem κ rechnen: Quelle: Baehr/Kabelac: Thermodynamik, Springer Verlag , 13. Aufl. κ Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke t

5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung • Wegen cp(T) – cv(T) = R > 0, gilt immer κ > 1 Die Isentrope fällt im p-v-Diagramm steiler ab als die Isotherme p v Isentrope: p∙vκ = const v1 p1 1 Isotherme: p∙v = const Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung • Aus der Isentropengleichung: mit der idealen Gasgleichung p∙v = R∙T (Isentropengleichungen) Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung • Spezifische Volumenänderungsarbeit aus: oder: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung ebenso: • Spezifische Druckänderungsarbeit oder: Druck- und Volumenänderungsarbeit unterscheiden sich nur durch den Isentropenexponent κ Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung • Wärme und Dissipationsenergie q12 + ψ12 Eine irreversible ZÄ kann nur isentrop sein, wenn Wärme abgeführt wird Eine reversible ZÄ kann nur isentrop sein, wenn sie adiabat verläuft adiabat + reversibel =► isentrop Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung • Isentroper Verdichterwirkungsgrad ηsV Verhältnis von theoretisch (minimal) aufzuwendender (isentroper) Antriebsarbeit zu tatsächlich aufzuwendender Antriebsarbeit • Ist die spezifischen Wärmekapazität annähernd konstant, gilt: wobei: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung • (adiabate) Kompression in einem Verdichter 2´ 1 → 2´: Idealfall (minimale Arbeit) h in kJ/kg Δhreal = 860 kJ/kg 1 → 2 : Realfall (tatsächliche Arbeit) Δhs = 600 kJ/kg 1 s in kJ/(kg∙K) Beispiel: Kompression von Wasserdampf von 1 bar, 150°C auf 10 bar Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 31

5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung • Isentroper Turbinenwirkungsgrad ηsT Verhältnis von tatsächlich gewonnener Turbinenarbeit zu theoretisch maximal zu gewinnender (isentroper) Arbeit • Ist die spezifischen Wärmekapazität annähernd konstant: wobei: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung • (adiabate) Expansion in einer Turbine 1 → 2´: Idealfall (größtmögliche Arbeit) h in kJ/kg 1 1 → 2 : Realfall (tatsächliche Arbeit) Δhreal = 821 kJ/kg Δhs = 1095 kJ/kg 2 2´ s in kJ/(kg∙K) Beispiel: Expansion in Dampfturbine von 50 bar, 400°C auf 0,1 bar Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 33

Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase 5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen 5.1.1 Ideales Gasverhalten 5.1.2 Reales Gasverhalten 5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase 5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung 5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung 5.3 Kreisprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung • Kann einem realen Prozess keine der Iso-ZÄ zugeordnet werden, wählt man eine Ersatz-ZÄ in der Form: • Vorteil: wegen des gleichen Aufbaus wie muss in den Gleichungen für die isentrope ZÄ nur κ gegen n ausgetauscht werden • Die Zustandsgleichung p∙vn = const wird als Polytropengleichung bezeichnet • Der Paramteter n wird als Polytropenexponent bezeichnet • n ist (im Gegensatz zu κ) keine Stoffgröße Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung • Bei der Polytropengleichung handelt es sich um eine einparametrige Approximationsfunktion, deren Parameter n so gewählt wird, dass die Zustandsfunktion durch Ein- und Ausgangs- bzw. Anfangs- und Endzustand verläuft → Bestimmungsgleichungen für n: (für technische Anwendungen liegt n oft im Bereich 1 < n < κ) (Polytropengleichungen) Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung • Weiter muss gelten: • Spezifische Volumenänderungsarbeit • Spezifische Druckänderungsarbeit Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke Druck- und Volumenänderungsarbeit unterscheiden sich nur durch den Polytropenexponent n

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung • Aus: • Oder mit der spezifischen polytropen Wärmekapazität Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke • cn ist keine Stoffgröße

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung • Jetzt können alle 5 ZÄen auf einfache Weise im p-v-Diagramm dargestellt werden: p∙va = const für a = 0 : Isobare für a = 1 : Isotherme für a = κ : Isentrope für a = n : Polytrope mit: Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke für a → ∞: Isochore

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung Darstellung von p∙va = C im normierten p-v-Diagramm Isotherme (a = 1) 1 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung Darstellung im normierten p-v-Diagramm Isotherme (a = 1) Isentrope (a = 1,4) 1 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung Darstellung im normierten p-v-Diagramm Isotherme (a = 1) Isentrope (a = 1,4) Isobare (a = 0) 1 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung Darstellung im normierten p-v-Diagramm Isotherme (a = 1) Isentrope (a = 1,4) Isobare (a = 0) Isochore (a → ∞) 1 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung • a kann auch beliebige andere Werte annehmen, s. Kapitel 5, Aufg. 3: a = -1 a = -1 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung • a kann auch beliebige andere Werte annehmen, s. Kapitel 5, Aufg. 3: a = -1; Aufg. 5: a ≈ -2 a = -1 a = -2 Polytrope ZÄen Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung • Die Isochore trennt das Diagramm in Expansions- und Kompressionsbereich Kompression Expansion Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung • Die Isotherme trennt das Diagramm in zu- und abnehmende Temperaturen Zunehmende Temperatur Abnehmende Temperatren Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung • Für reversible ZÄ gilt: • Dann gilt: wenn 1 < n < κ cn < 0 bei Expansion mit (T2 - T1) < 0 muss Wärme zugeführt werden bei Kompression mit (T2 - T1) > 0 muss Wärme abgeführt werden Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung Expansion Kompression mit (T2 - T1) > 0 Expansion mit (T2 - T1) < 0 Kompression Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung • Für reversible ZÄ gilt: • Dann gilt: wenn n > κ cn > 0 Bei Expansion mit (T2 - T1) < 0 muss Wärme abgeführt werden bei Kompression mit (T2 - T1) > 0 muss Wärme zugeführt werden Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung Kompression mit (T2 - T1) > 0 n > κ Expansion Expansion mit (T2 - T1) < 0 Kompression Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung • Ebenso: wenn 0 < n < 1 cn > 0 Bei Expansion mit (T2 - T1) > 0 muss Wärme zugeführt werden bei Kompression mit (T2 - T1) < 0 muss Wärme abgeführt werden Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung Expansion Kompression mit (T2 - T1) < 0 Expansion mit (T2 - T1) > 0 Kompression Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung • Ebenso: -∞ < n < 0 cn > 0 Bei Expansion mit (T2 - T1) > 0 muss Wärme zugeführt werden bei Kompression mit (T2 - T1) < 0 muss Wärme abgeführt werden Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung Expansion mit (T2 - T1) > 0 Expansion Kompression mit (T2 - T1) < 0 Kompression Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung Zustandslinie n = κ ist Grenze zwischen Wärmezu- und abfuhr bei reversiblen ZÄen 1 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

Kapitel 5: Zustandsgleichung und Zustandsänderung idealer Gase 5.1 Gasgleichung, Gaskonstante und Molvolumen 5.1.1 Ideales Gasverhalten 5.1.2 Reales Gasverhalten 5.2 Quasistatische Zustandsänderung idealer Gase 5.2.4 Die isentrope Zustandsänderung 5.2.5 Die polytrope Zustandsänderung 5.3 Kreisprozesse Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.3 Kreisprozesse • Jeder Prozess, der ein Fluid von einem gegebenen Anfangszustand über mehrere Zwischenzustände wieder in den Anfangszustand zurück bringt heißt Kreisprozess z.B. der Wasserkreislauf in einem Dampfkraftwerk (Vergleichsprozess) 2 a b 3 Turbine 33 Dampferzeuger Pumpe Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 4 1 Kondensator

5.3 Kreisprozesse • Darstellung des Dampfkraftprozesses im T-s-Diagramm: 2 3 1 → 2 : isentrope Druckerhöhung a b 3 2 → a : isobare Vorwärmung T 1 4 a → b : isobare Verdampfung b → 3 : isobare Überhitzung a b 3 → 4 : isentrope Entspannung 33 4 → 1 : isobare Kondensation 2 Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 1 4 s

5.3 Kreisprozesse • 1. HS für Kreisprozesse: Für einen beliebigen, stationären Kreisprozess bestehend aus n ZÄen gilt für die Gesamtbilanz (geschlossener Kontrollraum): (wt)23 q23 (wt)34 q34 Die Summe aller technischen Arbeiten zuzgl. der Summe aller Wärmen, die über die Grenze geht ist gleich Null: ZÄ 2 ZÄ 3 (wt)12 33 (wt)i,i+1 ZÄ 1 q12 ZÄ i qi,i+1 ZÄ n wobei Zustand n+1 gleich Zustand 1 ist Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke (wt)n,n+1 = (wt)n,1 qn,n+1 = qn,1

5.3 Kreisprozesse • Mit der Definition der Nutzarbeit des Kreisprozesses als insgesamt abgegebene technische Arbeit: 1. Hauptsatz für Kreisprozesse 33 „Die Nutzarbeit des Kreisprozesses (-wt) ist gleich dem Überschuss der als Wärme aufgenommenen Energie über die als Wärme abgegebene“ Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke

5.3 Kreisprozesse Schlussfolgerungen: • Wird dem Kreisprozess insgesamt mehr Wärme zugeführt als abgeführt wird, so ist die Nutzarbeit positiv, (die technische Arbeit des KP insgesamt ist negativ) 33 Der KP gibt Arbeit nach außen ab, es handelt sich um eine Wärmekraftanlage • Zweck der Wärmekraftanlage ist es, Nutzarbeit zu liefern Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke • z.B. Dampfkraftanlage oder Verbrennungsmotor

5.3 Kreisprozesse Schlussfolgerungen: • Wird dem Kreisprozess insgesamt mehr Wärme entzogen als zugeführt, so ist die Nutzarbeit negativ, (die technische Arbeit des KP insgesamt ist positiv) 33 Der KP benötigt Arbeit von außen, es handelt sich um eine Kälteanlage • Zweck der Kälteanlage ist der Transport von Wärme von niedriger zu höherer Temperatur Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke • z.B. Kühlschrank oder Wärmepumpe

5.3 Kreisprozesse • Das Nutzen-Aufwand-Verhältnis bei thermischen Anlagen heißt thermischer Wirkungsgrad: • Thermische Anlage: Anlage, die einen Wärmestrom von einer Wärmequelle erhält und einen Wärmestrom an eine Wärmesenke abgibt. Außerdem wird Arbeit von einem anderen System aufgenommen oder an ein solches abgegeben 33 Die thermischen Anlagen unterteilen sich in Wärmekraftanlagen, Verbrennungskraftanlagen und Kälteanlagen (das Nutzen/Aufwand- Verhältnis bei Kälteanlagen wird als Leistungsziffer ε bezeichnet) Prof. Dr.-Ing. Ch. Franke 64 64