Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Grundrechenarten x + y = 4; x – y = 2  x = 3 und y = 1 V 0.1

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Zwei Gleichungen mit 2 Variablem (Unbekannten) nennt man Gleichungssystem. x – 3 = 6 X = 5 3a+b=10 x + y = 1 2x–y = x y = 9 b = 22 x - y = 7 Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 12.07.2013

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen EINE Lineare Gleichung mit 2 Variablen Die allgemeine Form einer linearen Gleichung mit 2 Variablen lautet: a * x + b * y = c (x, y ϵ R; a, b, c ϵ R; a, b nicht beide null) Graphisch betrachtet stellt die lineare Gleichung mit 2 Variablen eine Gerade dar. Beispiele: a # 0, b # 0 allgemeine Form: Gleichung mit zwei Variablen x und y. Gerade mit k = - a / b und d = c / b. a = 0, b # 0 Sonderfall: Gleichung mit einer Variablen y. Gerade g ist eine Parallele zur x-Achse. a # 0, b = 0 Sonderfall: Gleichung mit einer Variablen x. Gerade g ist eine Parallele zur y-Achse. KEINE FUNKTION ! Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 12.07.2013

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Anzahl Lösungen Ein System zweier linearer Gleichungen mit zwei Variablen kann genau eine Lösung (Zahlenpaar) haben; keine Lösung haben; unendlich viele Lösungen haben; Beispiel: 2 * x – y = 10 und x + y = 8 Lösung: x = 6 und y = 2 x + y = 9 und x + y = 5 keine Lösung x + y = 3 und 2 * x + 2 * y = 6 unendlich viele Lösungen (welche?) Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 12.07.2013

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Graphische Interpretation Ein System zweier linearer Gleichungen mit zwei Variablen, das genau eine Lösung hat, entspricht zwei sich schneidenden Geraden. Der Schnittpunkt ist die Lösung. Ein System zweier linearer Gleichungen mit zwei Variablen, das keine Lösung hat, entspricht zwei parallelen Geraden. Ein System zweier linearer Gleichungen mit zwei Variablen, das unendlich viele Lösungen hat, entspricht zwei identen Geraden. Beispiele: 2 * x – y = 10 und x + y = 8 ein Schnittpunkt x + y = 9 und x + y = 5 kein Schnittpunkt x + y = 3 und 2 * x + 2 * y = 6 unendlich viele „Schnittpunkte“ (gemeinsame Pkt.) Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 12.07.2013

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Lösungsverfahren Einsetzungsmethode: Eine der beiden Gleichungen wird nach einer der beiden Variablen aufgelöst (x = … oder y = …). Der berechnete Ausdruck wird dann für die Variable in die zweite Gleichung eingesetzt. Beispiel: (a) 2 * x – y = 10 (b) x + y = 8 aus (a) folgt: y = 2 * x – 10 in (b) eingesetzt: x + 2 * x – 10 = 8 | zusammen fassen 3 * x – 10 = 8 | + 10 3 * x = 18 | / 3 x = 6 und weiter: y = 2 * x – 10 = 12 – 10 = 2 Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 12.07.2013

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Lösungsverfahren Gleichsetzungsmethode: Beide Gleichungen werden nach der gleichen Variablen aufgelöst (x = … oder y = …). Die berechneten Ausdrücke werden dann gleich gesetzt. Beispiel: (a) 2 * x – y = 10 (b) x + y = 8 aus (a) folgt: y = 2 * x – 10 aus (b) folgt: y = 8 – x rechte Seiten gleich setzen: 2 * x – 10 = 8 – x | + x | + 10 3 * x = 18 | / 3 x = 6 und weiter y = 8 – x = 8 – 6 = 2 Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 12.07.2013

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Lösungsverfahren Eliminationsmethode (auch Additions- bzw. Subtraktionsmethode): Beide Gleichungen werden so umgeformt, dass die Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen gleich sind (bzw. sich nur um das Vorzeichen unterscheiden). Sodann werden die beiden Gleichungen subtrahiert (bzw. addiert). Beispiel: (a) 2 * x – y = 10 (b) x + y = 8 Da der Koeffizient von y sich nur um das Vorzeichen unterscheidet (-1 und +1), können die beiden Gleichungen addiert werden: 2*x – y = 10 x + y = 8 3*x + 0 = 18 | / 3 x = 6 und …… Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 12.07.2013

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Lösungsverfahren Alle drei Lösungsverfahren führen zum Ziel: die Einsetzungsmethode wird man wählen, wenn man eine Variable in einer der beiden Gleichungen leicht ausdrücken kann, ohne „auf der rechten Seite“ einen Bruchterm zu erhalten; die Gleichsetzungsmethode bietet sich an, wenn die selbe Variable in beiden Gleichungen leicht ausgedrückt werden kann; die Eliminationsmethode führt schnell zum Ziel, wenn die selbe Variable in beiden Gleichungen gleich Koeffizienten hat. Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 12.07.2013

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Zusammenfassung Allgemeine Form der linearen Gleichung mit zwei Variablen lautet: a * x + b * y = c (x, y ϵ R; a, b, c ϵ R; a, b nicht beide null) Gleichungssystem zweier linearer Gleichungen mit zwei Variablen hat genau eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen. Lösungsverfahren für Gleichungssysteme zweier linearer Gleichungen mit zwei Variablen: Einsetzungsmethode (x = … oder y = …), Gleichsetzungsmethode (x = … und x = … oder y = … und y = …), Eliminationsmethode (gleiche Koeffizienten). Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 12.07.2013

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Aufgaben Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Gleichung mit zwei Variablen ? Welches Lösungsverfahren bietet sich an bei: x – 4y = 1 3x + 5y = 19 7x – 3y = 11 14x + 5y = 33 x + 3y = 10 x – 2y = 0 Wie viele Lösungen kann ein System linearer Gleichungen mit zwei Variablen maximal haben ? Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 12.07.2013

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen ENDE Dipl.Ing.Bernhard Schleser Auf der Schmelz, 2013/14 4.Klasse V 1.0 Mathematik macht Spaß! 12.07.2013