¥ V Unbegrenzt
Das Unendliche (apeiron) ist unerschöpflich Das Unendliche (apeiron) ist unerschöpflich. Wo der Krieger auch steht, kann er seinen Speer weiter ausstrecken. Anaximander (611 - 547) von Milet Es hat aber die Betrachtung über das Unbegrenzte eine Schwierigkeit; denn es ergibt sich viel Unmögliches, mag man aufstellen, daß es nicht existiere oder daß es existiere. Aristoteles (384 - 322)
ohne Ende: unbegrenzt, aber jeder Punkt erreichbar
ohne Ende und unerreichbar
Platon (427 - 348): Lichtstrahlen sind Geraden. Grosseteste (1168 - 1253): Der Euklidische Raum ist überall und in jeder Richtung derselbe. Dies gilt auch für die Lichtausbreitung.
Die fünf regelmäßigen Körper (kosmische Körper) Pythagoreer: Die Grenze ist das Wesen des Gegenstandes, folglich die Fläche mehr als der Körper, die Linie mehr als die Fläche, der Punkt mehr als die Linie. Die Fläche kann ohne Körper, der Körper aber nicht ohne Oberfläche sein. Die fünf regelmäßigen Körper (kosmische Körper) Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder 12 Pentagone 20 Dreiecke
Parkettierung einer unendlichen Fläche mit regelmäßigen Polygonen ist nur möglich mit Dreiecken, Quadraten, Sechsecken. Bienen bauen am ökonomischsten Überlagerung zweier Hexagonalstrukturen Rauten (Rauten sind aber keine regelmäßigen Polygone.)
Halbregelmäßige Parkettierungen
August Ferdinand Möbius (1790 - 1868) Deutscher Mathematiker und Astronom 1816 Professor in Leipzig 1844 Direktor der dortigen Sternwarte Arbeiten über Geometrie (Dualitätsprinzip) 1843 Lehrbuch: Elemente der Mechanik des Himmels Anfang der Topologie: welche Eigenschaften einer Fläche bleiben bei einer Verformung unverändert? 1865 Möbius-Band: eine einseitig orientierte Fläche
Max Bill
zwei Möbius-Bänder zerschnittenes Möbius-Band = kein Möbius-Band
Inversion des Kreises r = 1 b = 1/a Topologie: Ein topologischer Raum ist eine Ansammlung von mathematischen Objekten mit einer Konvergenzdefinition. Ein Beispiel für einen topologischen Raum ist: mit . 1/0 = 1/ = 0
M.C. Escher
Giuseppe Peano (1858 - 1932) ab 1890 Professor in Turin Mitbegründer der symbolischen Logik (e) 1903: Latino Sine Flexione (Kunstsprache) Peano-Axiome der natürlichen Zahlen 1890: Peano-Kurve unendliche Länge: jeder (rationale) Punkt wird überstrichen.
Dimension N = 1/R2 N = 1/R N = 1/Rdim = R-dim logN = -dimlogR dim = -logN/logR für R 0 dim = -log3/log(1/3) dim = -log9/log(1/3) = log3/log3 = 1 = 2·log3/log3 = 2
Helge v. Koch (1870 - 1924) schwedischer Mathematiker 1904: Schneeflocken-Kurve: erstes Fraktal. Faktor 4/3. Die Länge zwischen zwei beliebig dicht liegenden Punkten wird .
Helge v. Koch (1870 - 1924) schwedischer Mathematiker 1904: Schneeflocken-Kurve: erstes Fraktal. Gebrochene Dimension N = 1/Rdim = R-dim logN = -dimlogR dim = -logN/logR für R 0 dim = -log4/log(1/3) = log4/log3 = 1,262 Faktor 4/3. Die Länge zwischen zwei beliebig dicht liegenden Punkten wird .
Girard Desargues (1593 - 1662) französischer Ingenieur und Mathematiker 1639: Projektive Geometrie Alle Parallelen streben zu einem Punkt der Unendlichkeitslinie.
Trinity College
Pietro Perugino: Fresco at the Sistine Chapel, 1482
Meteorschauer
Sir Winston Churchill (1874 - 1965) Hyperbel: y = 1/x I saw, as one might see the transit of Venus, a quantity passing through infinity and changing its sign from plus to minus. I saw exactly how it happened and why the tergiversation [Finte, Wankelmut] was inevitable ... but it was after dinner and I let it go! Sir Winston Churchill (1874 - 1965)
Das Paradoxon des Rotationshyperboloids
Volumen: Bogenlänge: ds2 = dx2 + dy2 = dx2 (1 + dy2/dx2) Mantelfläche: dA = 2pr*ds > 2pr*dx =
Evangelista Torricelli Das Paradoxon des Rotationshyperboloids: unendliche Mantelfläche, endliches Volumen Anstrichfarbe außen unendlich Anstrichfarbe innen endlich falls nicht dünn genug da zwangsweise dünn genug Thomas Hobbes (1588-1679), englischer Philosoph und Staatstheoretiker, Mathematiklehrer des Prinzen von Wales: Evangelista Torricelli (1608-1647) To understand this for sense, it is not required that a man should be a geometrician or logician, but that he should be mad. =
Die Unendlichkeitsmaschine
Euklid: Es gibt nur fünf regelmäßige Körper Außenwinkel im regelmäßigen Dreieck (180° - 360°/3) = 2*30° = 60° Außenwinkel im regelmäßigen Viereck (180° - 360°/4) = 90° Außenwinkel im regelmäßigen Fünfeck (180° - 360°/5) = 108° Außenwinkel im regelmäßigen Sechseck (180° - 360°/6) = 120 Zwei Flächen bilden höchstens eine Kante, aber keine Ecke. Für eine Ecke sind mindestens drei Flächen erforderlich. Die Winkelsumme muß < 360° sein. 3 * 60°, 3 * 90°, 4 * 60°, 3 * 108°, 5 * 60°. 12 Pentagone 20 Dreiecke