Harmonische Wechselspannung VI.3. Wechselstromtechnik VI.3.1. Wechselstrom Harmonische Wechselspannung t U(t) U0 Periode T  1/ν Schaltsymbol:  EL 4.14  Generatormodelle: Wechselstrom, Gleichstrom, Drehstrom EL 4.15  Generator-Motor-Modelle U0: Scheitelwert U( t ): Momentanwert T: Periode Frequenz Kreisfrequenz Phase

 Beispiel: Leistung im ohmschen Verbraucher o.B.d.A.:   0 I( t ) R U( t ) Mittlere Leistung für beliebige periodische Wechselspannung: Effektivspannung: Effektivstrom:

Spezialfall: harmonische Wechselspannung

Allgemeine Wechselspannung: U(t) Periode T Periode T: Fundamentalkreisfrequenz: Fourierzerlegung: Ueff ist gleich der quadratischen Summe der Effektivspannungen der Fourierkomponenten

Allgemeine Wechselspannung: U(t) Periode T: Fundamentalkreisfrequenz: U(t) t Periode T Fourierzerlegung: Folgerung: Für lineare Netzwerke ( Superpositionsprinzip anwendbar) reicht es aus, das Verhalten für harmonische Wechselströme/Wechselspannungen zu untersuchen.

 Beispiel: Rechtecksignale einseitig U0 symmetrisch U0 --- Sinuston, Rechteckton, Sägezahnton Vergl. Ueff aus Fourierzerl. 

Fouriertransformation: Allgemeine, nicht-periodische Spannung: U(t) t (Einschaltvorgang, Testpulse etc.) Inverse Fouriertransformation: Harmonische Zerlegung: Bemerkung: U reell, aber Ũ komplex mit den Fourierkoeffizienten Fouriertransformation: Parsevalsche Formel:

Fouriertransformation: Allgemeine, nicht-periodische Spannung: U(t) t (Einschaltvorgang, Testpulse etc.) mit den Fourierkoeffizienten Fouriertransformation: Inverse Fouriertransformation: Harmonische Zerlegung: Bemerkung: U reell, aber Ũ komplex Folgerung: Für lineare Netzwerke ( Superpositionsprinzip anwendbar) reicht es aus, das Verhalten für harmonische Wechselströme/Wechselspannungen zu untersuchen.

Beispiel: Rechteckpuls Tiefpass (s.u.) Filterschaltung, die kleine Frequenzen überträgt und große Frequenzen dämpft. Charakteristische Größe: Abschneidefrequenz c

DGL VI.3.2. Wechselstromwiderstände Lineares Netzwerk  Lineare Netzwerke: Zeitverhalten  lineare Differentialgleichungen Lineare Komponenten: Ohmsche Widerstände, Kondensatoren, ideale Spulen, Linearverstärker, … Nichtlineare Komponenten: Spulen mit Kernen nahe der Sättigungs- magnetisierung, nichtlineare Verstärker, Multiplizierer, Dioden, Glimmlampen, hochkonzentrierte Elektrolyte, … Lineares Netzwerk  Ist F(t) eine komplexe Lösung der DGL für Ströme oder Spannungen, so auch Re F(t) und Im F(t).

Lineares Netzwerk (Zweipol) Neues (eleganteres) Konzept: Komplexe Spannung/Strom Re I Re Im U0 t I0   Re U Lineares Netzwerk (Zweipol) physikalischer Anteil Definition: Komplexer Wechselstromwiderstand Nach Konstruktion  Gesetze der Quasistatik (Kirchhoffsche Regeln, ) gelten weiter

  UR U R I Beispiel: Ohmscher Widerstand Z reell und unabhängig von  Beispiel: Induktivität UL  U L I EL 4.24  Induktivität im Wechsel - und Gleichstromkreis EL 4.26  Phasenverschiebung bei Kapazität und Induktivität U I Z imaginär und proportional zu  Strom eilt Spannung um 90 nach

 UC U C I Beispiel: Kapazität I U EL 4.25  Kapazität im Wechsel - und Gleichstromkreis EL 4.26  Phasenverschiebung bei Kapazität und Induktivität Z imaginär und umgekehrt proportional zu  Spannung eilt Strom um 90 nach

Anwendung (1): Reihenschaltung komplexer Widerstände Z1 Z2 Zn I U Maschenregel:

Anwendung (2): Parallelschaltung komplexer Widerstände Z1 Z2 Zn I1 I2 In U Knotenregel:

Beispiel: RLC-Serienschaltung Konstruktion im Zeigerdiagramm: Re Z Im Z L Dieses Beispiel: Re Z R  0 Z  R

VI.3.3. Wechselstromleistung Momentane Wechselstromleistung in Z: Mittlere Wechselstromleistung in Z: Wirkleistung  Wirkleistung  Blindleistung ½ Wirkleistung: Scheinleistung: Blindleistung: Komplexe Leistung: Z Scheinwiderstand, Re Z  Wirkwiderstand, Im Z  Blindwiderstand

VI.3.4. Wichtige lineare Netzwerke Ue Ua VI.3.4. Wichtige lineare Netzwerke ( Passiver ) Hochpass ( erster Ordnung ): Spannungsteilerschaltung  Übertragungsfunktion: Phasendrehung: 1 durchlässig für  ≳  90 1 45

Zeit-Raum: Hochpass als Differenzierer Ue(t) Ua(t) Zeit-Raum: Hochpass als Differenzierer Voraussetzung: Ue t  enthält nur Frequenzen viel kleiner als  ( inverse ) Fouriertransformation: EL 4.28  Hochpass / Rechtecksignal auf Hochpass (Differenzierstufe) Differenziererschaltung für  Amplitude der differenzierten Spannung 

Idealer Operations-verstärker Verbesserte, Last-unabhängige Differenziererschaltung: R Ue(t) C Ua(t)   Idealer Operations-verstärker ZLast Zur Stabilisierung (real life): Kleiner Serienwiderstnd R vor C

( Passiver ) Tiefpass ( erster Ordnung ): C R Ue Ua ( Passiver ) Tiefpass ( erster Ordnung ): Spannungsteilerschaltung  Übertragungsfunktion: Phasendrehung: 1 durchlässig für  ≲  90 1 45

C R Ue(t) Ua(t) Zeit-Raum: Tiefpass als Integrierer Voraussetzung: Ue t  enthält nur Frequenzen viel größer als  (inverse) Fouriertransformation: Integriererschaltung für 0 Amplitude der integrierten Spannung 

Veranschaulichung der Rechnung EL 4.29  Tiefpass / Rechtecksignal auf Tiefpass (Integrator) angenäherte Integrator-Wirkung

Idealer Operations-verstärker Verbesserte, Last-unabhängige Integriererschaltung: C Ue(t) R Ua(t)   Idealer Operations-verstärker ZLast

(Passives) Bandfilter (erster Ordnung): C Ue Ua L (Passives) Bandfilter (erster Ordnung): Spannungsteilerschaltung  Resonanzfrequenz: Bandbreite: Gütefaktor: 90 90 1 durchlässig für  R   EL 4.30  Bandpass

R C Ue Ua L (Passives) Bandsperrfilter (erster Ordnung): Spannungsteilerschaltung  Resonanzfrequenz: Bandbreite: Gütefaktor: 90 90 1 undurchlässig für  R  

VI.3.5. Der Transformator Motivation: I R Verbraucher U U Leistung P U I I U U U Relativer Leistungsverlust in der Leitung: ??? Hochspannungs-Fernleitung Umwandlung der Eingangsspannung auf Hochspannung Übertragung über Hochspannungsleitung Umwandlung der Ausgangsspg. auf Verbraucherspannung (z.B. 230 V)

mögliche Realisierung Schaltbild mögliche Realisierung Gleicher Wicklungssinn von Primär- und Sekundärwicklung bezüglich Richtung des magnetisches Flusses Primär-Wicklung Sekundär-Wicklung Eisenjoch U1 U2 Entgegengesetzter Wicklungssinn von Primär- und Sekundärwicklung bezüglich Richtung des magnetisches Flusses U1 U2

Definition: Kopplungsstärke Z L1 L2 L12 Bemerkung: Idealer Transformator  keine Streufeld- etc. Verluste  gesamter magnetischer Fluss durchsetzt beide Spulen  k  Induktionsgesetz  Maschenregel  Wechselstrom  Tafelrechnung 

U1 U2 I1 I2 Z L1 L2 L12 Phasendrehung:

U1 U2 I1 I2 Z L1 L2 L12 Spezialfall: Spulen gleichen Volumens Windungszahlen N1, N2 Idealer Transformator: k

Spulen gleichen Volumens Windungszahlen N1, N2 Spezialfall: Spulen gleichen Volumens Windungszahlen N1, N2 EL 4.37  Transformator - Modell Unbelasteter Transformator: Z

U1 U2 I1 I2 Z L1 L2 L12 Spezialfall: Spulen gleichen Volumens Windungszahlen N1, N2 Kurzgeschlossener Transformator: Z0

U1 U2 I1 I2 Z L1 L2 L12 Transformator mit ohmscher Last: ZR

U1 U2 I1 I2 Z L1 L2 L12 Transformator mit induktiver Last: ZiL

Transformator mit kapazitiver Last: Z(iC) U1 U2 I1 I2 Z L1 L2 L12 Transformator mit kapazitiver Last: Z(iC) EL 4.32 Resonanz im Schwingkreis (induktive Kopplung) U2  U1größer als im unbelasteten Fall falls   k2 2 C L2   Resonanzfrequenz:

N S Anwendungen: e Transformation auf Hochspannung Hochstromanwendung: N1 ≫ 1 , N2   Aluminium-Schmelzen  Edelstahl-Gewinnung Punktschweißen Aufheizen von Werkstücken durch Wirbelströme Betatron-Beschleuniger z.B. Rinne mit Metallschmelze groß e- Beschleunigung e N S Primärspulen (Helmholtz-Typ) Elektronenstrahl als Sekundärstromschleife inhomogenes magnetisches Wechselfeld Strahlfokussierung EL 4.38  Induktionsschmelzen EL 4.39  Hochspannungslichtbogen

m VI.3.6. Schwingkreise VI.3.6.1. Freie Schwingung x D γ C Q L I Q Maschenregel  D γ m x Mechanisches Analogon: Übersetzung: Mechanik  Elektrodynamik x  Q m  L   R D  C1

Lösung übersetzt aus Mechanik: Q Schwingfall: Aperiodischer Grenzfall: EL 4.43  Elektromagnetische Schwingung im Hz-Bereich EL 4.44  Gedämpfter Schwingkreis Kriechfall:

VI.3.6.2. Erzwungene Schwingung und Resonanz ( Übersetzung aus Mechanik) Serienschwingkreis: D γ m x F(t) U(t) R C L  Q I Resonanzfrequenz:  Z  R minimal EL 4.31  Reihenschwingkreis / Parallelschwingkreis Bandbreite:

Parallelschwingkreis: U(t) QC I R C L  IL m xm D F(t) γ x Kleine Dämpfung  EL 4.31  Reihenschwingkreis / Parallelschwingkreis EL 4.34  Parallelresonanz Resonanzfrequenz:  maximal Bandbreite:

VI.3.6.3. Gekoppelte Schwingkreise (  gekoppelte mechanische Schwinger ) R1 C1 L1 I1 Q1 R2 C2 L2 I2 Q2 L12 Induktive Kopplung: Lösungsweg: Transformation auf Normalkoordinaten Beispiel: L1L2 L C1C2C R1R2 R Normalkoordinaten: Eigenfrequenzen: Normalmoden ( Schwingfall ):

Analoges Verfahren  Kapazitive Kopplung: R1 C1 L1 R2 C2 L2 Ck Galvanische Kopplung: R1 C1 L1 R2 C2 L2 Rk

     VI.3.6.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen Beispiel: Meißner-Schaltung L C R1 C1   L C R1 C1   sperrt Schwingphase 1 autarker Schwingkreis Schwingkreis npn-Transistor als elektronischer Schalter  Lade-Widerstand Puffer-Kondensator

npn-Transistor als elektronischer Schalter VI.3.6.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen Beispiel: Meißner-Schaltung L C R1 C1   L C R1 C1   leitet Schwingphase 2 Nachladung Schwingkreis npn-Transistor als elektronischer Schalter EL 4.45  Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung EL 4.46  Kippschwingung mit Glimmlampe  Lade-Widerstand Puffer-Kondensator

 VI.3.7. Hochfrequenzleitung: Der Skineffekt r Elektrischer Leiter  ohmscher Widerstand und Induktivität: Z RiL  induktive Effekte dominieren für R  L (typisch ≳ O( MHz ))  Stromschwächung Lenz Folgerung: Bei hohen Frequenzen können Ströme nur nahe der Leiter-Oberfläche fließen ( Skineffekt ). r rL Elektrischer Leiter

(exakte Lösung: Besselfunktionen) Quantitative Untersuchung ( Tafelrechnung)  Eindringtiefe des Stroms j r el r (exakte Lösung: Besselfunktionen) rL r rL rLd Beispiel: Kupferleiter Hz dmm 50 94 103 2 106 0,07

Übergangsbereich (d  rL)   Volumen Übergangsbereich (d  rL)   Oberfläche  ( effektives ) durchströmtes Volumen EL 4.41  Modell Teslatransformator (Skin-Effekt) HF-Spannungen sind relativ ungefährlich Eisendrähte ( großes r ) sind schlechte HF-Leiter Gute HF-Leitung bei großer Oberfläche (  Hohlrohre, Litzen, ... )