Das duale Zahlensystem von Ulrich Borchert

Geschichte (Quelle Wikipedia) Der alt-indische Mathematiker Pingala stellte die erste bekannte Beschreibung eines Zahlensystems bestehend aus zwei Zeichen im 3. Jahrhundert v. Chr. vor. Dieses Zahlensystem kannte allerdings keine Null. Das Dualsystem, also das Stellenwertsystem mit der Basis Zwei, wurde von Gottfried Wilhelm Leibniz am Anfang des 18. Jahrhunderts in seinem Artikel Explication de l'Arithmétique Binaire vollständig dokumentiert

Das Dezimalsystem Am Anfang stand das Rechnen überhaupt nicht im Mittelpunkt sondern das Zählen oder abzählen.

Das Dezimalsystem 2 Da der Mensch (üblicherweise) 10 Finger hat konnte man bequem bis zehn zählen. Dabei nimmt die 10 eine Sonderstellung ein- weil sie die erste zweistellige Zahl ist. In unserem Zahlensystem ist nicht nur die Ziffer wichtig, sondern auch deren Position. In diesem positionellen Zahlensystem werden die Ziffern zu einer Zahl zusammengefügt und haben einen Stellenwert. So ist die am weitesten rechts stehende Ziffer der Einerwert- die links davon stehende Ziffer der Zehnerwert, die nächste der Hunderterwert usw.

Das Dezimalsystem 3 Dabei ist die allgemein geläufige Darstellung einer Dezimalzahl die Kurzform Da es bei dieser Schreibweise außerordentlich mühsam ist Zahlen mit einem bedeutend höheren Stellenwert zu schreiben bedient man sich der Potenz. Das die Basis 10 ist kann als Axiom aufgefasst werden. Beispiel Kurzform : 234 eigentlich : 2*100+3*10+4*1

Das Dezimalsystem 4 Da im Einer-Bereich noch kein Vielfaches der Basis 10 vorliegt ist hier die Potenz =0 (10 0 ist 1) und im Zehner-Bereich =1 (10 1 ist 10). Die Darstellung der Dezimalzahl sieht jetzt so aus. Beispiel Kurzform: 234 Darstellung in der Potenzschreibweise: 2*102 + 3*101 + 4*100

Das Dualsystem Der Computer (vermenschlicht) hat nur 2 Finger. Seine Basis ist daher 2. Da das Dualsystem ebenfalls mit den Stellenwert arbeitet lassen sich auch hier Zahlen mit beliebiger Größe darstellen. (Als Gegenbeispiel – Das Römische Zahlensystem hat kein Stellenwertsystem. Das Rechnen gestaltet sich damit ziemlich schwierig)

Das Dualsystem 2 Es lassen sich mit der Basis 2 nur zwei Zustände definieren die aber verschieden definiert werden können Strom<> kein Strom Wahr <> Falsch magnetisiert <> nicht magnetisiert Low <> High Da wir mit Zahlen arbeiten wollen 0 und 1

Das Dualsystem 3 Die Definitionen der beiden möglichen Zustände weisen deutlich auf eine Praktische Einsatzfähigkeit hin. Also seien drei Lampen gegeben die unabhängig voneinander leuchten bzw. dunkel bleiben. Betrachten wir diese drei Lampen als Kombination können wir uns fragen wie viele mögliche Zustände diese Kombination haben kann. 8

Das Dualsystem 4 Kombination Zahlenwert 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 zurück

Vom Zustand zur Zahl Wie kommt man von einen Kombinations-Zustand zu einer Zahl? Der Links nach Rechts Lese- bzw. Schreibweise folgend könnte man definieren = 1 = 2 = 3 Und jede weitere Kombination könnte mit einer anderen Zahl belegt werden

Vom Zustand zur Zahl 2 Diese Variante würde für die Zahlen 1 bis 3 logisch erscheinen ab dann willkürlich und unlogisch. Besser wäre es man bezieht sich auf das Stellensystem, das vom Dezimalen Zahlensystem her bekannt ist. Demnach würde die am weitesten rechts liegende Stelle (Einerstelle) mit dem Zahlenwert (0 oder 1) und der Potenz 0 auf der Basis 2 dargestellt werden können. Für jeden weitere Ziffernwert an der entsprechenden Position kann mittels der Potenz ein dezimaler Wert zugeordnet werden.

Vom Zustand zur Zahl 3 1 0 1 22 21 20 4 2 1 (dezimaler Zahlenwert) 1 0 1 22 21 20 4 2 1 (dezimaler Zahlenwert) (1*4) + (0*2) + (1*1) = 5 (Tabelle)